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An´alise Modal
Introdu¸c˜ao
Este Cap´ıtulo tem como objetivos: basicamente representar a dinˆamica de modelos mecˆanicos lineares e ajudar a desenvolver um entendimento das t´ecnicas de an´alise modal, onde a resposta total do sistema pode ser constru´ıda pela combina¸c˜ao de modos individuais de vibra¸c˜ao. Dados os trˆes sistemas de complexidade crescente a seguir:
[M ]u(t) + [K]u(t) = 0(t). (4-1)
[M ]u(t) + [G]u(t) + [K]u(t) = 0(t). (4-2)
[M ]u(t) + [C + G]u(t) + [K]u(t) = 0(t). (4-3) apresenta-se a an´alise modal de cada um deles. No caso do problema industrial apresentado nesta Disserta¸c˜ao, a an´alise modal, e a dinˆamica do sistema com for¸camento, ser´a baseada na equa¸c˜ao 4-2. A natureza do amortecimento num sistema determinar´a a forma de sua representa¸c˜ao. Em estruturas levemente amortecidas, onde o amortecimento vem de perdas em juntas, por exemplo, pode-se utilizar a an´alise modal, permitindo-se reconstruir o problema em termos de modos individuais de vibra¸c˜ao, com um tipo particular de amortecimento, dito proporcional. Para sistemas fortemente amortecidos, o tipo mais geral com amortecimento n˜ao-proporcional, tem-se que utilizar as equa¸c˜oes diferenciais acopladas para solu¸c˜ao do problema. O diagrama da figura 4.1 mostra a metodologia para analisar uma estrutura levemente amortecida usando modos normais. A solu¸c˜ao come¸ca por se obterem as equa¸c˜oes de movimento n˜ao-amortecido em coordenadas
f´ısicas. O pr´oximo passo ´e solucionar o problema de autovalor, gerando autovalores (freq¨uˆencias naturais) e autovetores (modos de vibrar). Esta ´e a parte mais intuitiva do problema e permite aprofundar-se na dinˆamica da estrutura pelo reconhecimento de seus modos e freq¨uˆencias naturais. Para se obterem as respostas em freq¨uˆencia e no dom´ınio do tempo faz-se necess´ario transformar-se o modelo das coordenadas f´ısicas originais para um novo sistema, o modal ou sistema de coordenadas principais, operando as equa¸c˜oes originais com a matriz de autovetores. Na matriz de coordenadas modais as equa¸c˜oes n˜ao-amortecidas originais acopladas de movimento s˜ao transformadas para um mesmo n´umero de equa¸c˜oes n˜ao-acopladas de equa¸c˜oes. Cada equa¸c˜ao desacoplada representa um modo particular de vibra¸c˜ao do sistema. E neste momento em que o amortecimento proporcional´ ´e aplicado. E trivial resolverem-se estas equa¸´ c˜oes desacopladas para a resposta dos modos de vibra¸c˜ao para fun¸c˜oes de for¸camento ou condi¸c˜oes iniciais, uma vez que cada equa¸c˜ao representa um sistema com um grau de liberdade. A resposta desejada ´e ent˜ao trazida para o sistema de coordenadas f´ısicas, de novo, utilizando-se a matriz de autovetores para convers˜ao, resultando na solu¸c˜ao em coordenadas f´ısicas. A seq¨uˆencia da An´alise Modal de um dado sistema ”complicado”´e:
- transformar o sistema num sistema de coordenadas mais simples;
- solucionar o sistema no sistema mais simples de coordenadas;
- retornar ao sistema de coordenadas original (analogamente ao se utilizar das Transformadas de Laplace para solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes diferenciais).
Coordenadas Equa¸c˜oes de Movimento Acopladas Condi¸c˜oes Iniciais For¸cas
/ /^ Problema de Autovalores Autovalores Autovetores
/ /
Transforma¸c˜ao ao Sistema de Coordenadas Modais Autovalores Autovetores
² ²
² ²
o o
Forma Espa¸co e Estado //
Transforma¸c˜ao da Solu¸c˜ao em Coordenadas F´ısicas Dom´ınio do Tempo Dom´ınio da Freq¨uˆencia
Reescrevendo a equa¸c˜ao 4-8 com as substitui¸c˜oes devidas chega-se a:
X(s) F (s)
1 m s^2 + 2ζωns + ω^2 n
Substituindo-se ”s”por ”jω”para se calcular a resposta em freq¨uˆencia, onde ”j”´e o operador imagin´ario, a equa¸c˜ao 4-9 torna-se:
X(jω) F (jω) =
m (jω)^2 + 2ζωn(jω) + ω n^2 = 1 m −(ω)^2 + 2ζωnωj + ω n^2 =
mω^2 −1 +^2 ζω ω nj+ ω n^2 ω^2
mω^2 (ω
(^2) n ω^2 −^ 1) +
2 ζωnj ω
mω^2 [(ω ωn )^2 − 1] + j 2 ζ(ω ωn )
Observa-se que a equa¸c˜ao 4-10 da resposta em freq¨uˆencia mostra como varia X F em fun¸c˜ao da freq¨uˆencia, ω. A raz˜ao ´e um n´umero complexo como propriedades interessantes em diferentes valores de ωn ω
A baixas freq¨uˆencias relativas `a freq¨uˆencia de ressonˆancia, ω^2 n À ωωn À ω^2 , a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por:
z(jω) F (jω) =
m −(ω)^2 + 2ζωnωj + ω^2 n
m^1 ω^2 n^ =^
mω^2 n^ =^
m( (^) mk ) =^1 k (4-11)
Uma vez que o valor resposta em freq¨uˆencia em qualquer freq¨uˆencia ´e um n´umero complexo, pode-se obter a magnitude e fase.
∣∣ ∣∣^ X(jω) F (jω)
∣∣ =^1
k ∠X F ((jωjω)) = 0 (4-12)
Ent˜ao o ganho a baixa freq¨uˆencia ´e constante (^1 k ), ou o inverso da rigidez. A fase ´e 0o, porque o sinal ´e positivo.
A altas freq¨uˆencias, ω^2 À ωωn À ω n^2.
X(jω) F (jω)
m −(ω)^2 + 2ζωnωj + ω n^2
1 m −ω^2
= −^1
mω^2
∣∣^ X(jω) F (jω)
∣∣^ −^1
mω^2
mω^2 ∠X(jω) F (jω) = − 180 o^ (4-14)
A altas freq¨uˆencias o ganho ´e dado por (^) (mω^12 ) e a fase ´e 180o, porque o
sinal ´e negativo.
A freq¨` uˆencia de ressonˆancia ω = ωn, a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por:
X(jω) F (jω) =
m −(ω)^2 + 2ζωnωj + ω^2 n = m^1 2 ζωωnmj =^
2 ζkmjJ m
= (^2) ζkj^1 = k^1 2 ζj =
−j k 2 ζ (4-15)
Magnitude e fase de ressonˆancia: ∣∣ ∣∣^ X(jω) F (jω)
−j k 2 ζ
1 k 2 ζ
∠X F ((jωjω) )= − 90 o^ (4-16)
A magnitude da ressonˆancia ´e o ganho a baixa freq¨uˆencia, (^1) k , dividida por 2ζ. Desde que ζ ´e um n´umero normalmente pequeno, 1% do amortecimento cr´ıtico ou 0.01, a magnitude na ressonˆancia ´e amplificada. O angulo de fase na ressonˆancia ´e − 90 o, como na figura 4. A rela¸c˜ao entre a magnitude do ˆangulo de fase, variando-se o coeficiente de amortecimento de 0.1 a 1.0 com passo de 0.1 ´e mostrado na figura 4.2. O programa para tra¸cagem dos gr´aficos das figuras 4.1 e 4.2 ´e desenvolvido em MATLABr, sdofxfer.m, obtidos com a referˆencia [12]. Considerando-se que m = k = 1.0. Estes m e k resultam num ωn de valor
Da figura 4.2 observa-se que na ressonˆancia (ωn = 1.0 rad/seg) a fase para todos os valores de amortecimento ´e − 90 o. A baixas freq¨` uˆencias, a fase se aproxima de 0o^ e a altas freq¨uˆencias a fase se aproxima de − 180 o.
−180 10 −1 100 101
−
−
−
−
−
−
−
−
0 SDOF fases de resposta em freqüência para ζ = 0.1 a 1.0 em passo 0.
freqüência em rad/s
Figura 4.2: Fase versus Freq¨uˆencia para Diferentes Coeficientes de Amortecimento
Locus das Ra´ızes E^ ´ interessante obterem-se valores de p´olos e zeros de uma maneira sistem´atica. Utilizando-se o MATLABr, para diversos valores de amortecimento pode-se calcular p´olos e zeros, utilizando-se o programa tdofpz3x3rlocus.m baseado em [12]. Tra¸ca-se o gr´afico para v´arios valores de amortecimento de c1 e c2. Valores de amortecimento nulo fornecem p´olos e zeros no eixo imagin´ario. Os p´olos s˜ao localizados a 0, 0, ± 1 j, ± 1. 732 j. Os zeros s˜ao localizados a ± 0. 62 j e ± 1. 62 j. Na medida em que se incrementa o amortecimento a partir do zero, os p´olos e zeros (exceto os dois p´olos da origem) partem para
a esquerda, longe do eixo imagin´ario. P´olos e zeros movem-se a diferentes taxas a medida que o coeficiente de amortecimento varia. Os p´olos a ± 1 j e zeros ± 0. 62 j movem-se a esquerda menos que os p´olos a ± 1. 732 j e os zeros a ± 1. 62 j.
Polos e Zeros de X
Real
Imag
Figura 4.3: Locus de Ra´ızes de P´olos e Zeros para Fun¸c˜ao de Transferˆencia
Sistema com Trˆes Graus de Liberdade
Para um sistema com trˆes graus de liberdade, sistema massa -mola na horizontal, restringindo-se cada um dos outros dois graus de liberdade, montam-se as matrizes de massa, rigidez e amortecimento. Ap´os montarem-se as equa¸c˜oes de movimento, passa-se do dom´ınio do tempo para o dom´ınio da freq¨uˆencia, utilizando-se da transformada de Laplace nas equa¸c˜oes de movimento. O sistema de trˆes graus de liberdade em forma matricial ´e escrito na forma: ^ m 01 m^02
0 0 m 3
^ ¨x ¨x^12 ¨x 3
+
−^ c^1 c 1 (c 1 − +c^1 c^2 ) −^0 c 2 0 −c 2 c 2
xx^ ˙ ˙^12 x ˙ 3
+
X 2
F 3 =^ {s
(^3) (m 1 c 2 ) + s (^3) (m 1 k 2 + c 1 c 2 ) + s(c 1 k 2 + c 2 k 1 ) + k 1 k 2 }/Den
X 3 F 1 =^ {s
(^2) (c 1 c 2 ) + s(c 1 k 2 + c 2 k 1 ) + k 1 k 2 }/Den
X 3 F 2 =^ {s
(^3) (m 3 c 1 ) + s (^2) (m 1 k 2 + c 1 c 2 )s(c 1 k 2 + c 2 k 1 ) + k 1 k 2 }/Den
X 2
F 2 =
{ (^) s^4 (m 1 m 2 ) + s^3 (m 1 c 2 + m 2 c 1 ) +s^2 (m 2 k 1 + m 1 k 2 + c 1 c 2 ) +s(c 1 k 2 + c 2 k 1 ) + k 1 k 2
/Den
Enquanto Den ´e:
Den = s^2
{ s
(^4) (m 1 m 2 m 3 ) + s (^3) (m 2 m 3 c 1 + m 1 m 3 c 1 + m 1 m 2 c 2 + m 1 m 3 c 2 ) +s^2 (m 1 m 3 k 1 + m 1 m 3 k 2 + m 2 c 1 c 2 + m 3 c 1 c 2 + m 1 c 1 c 2 + k 1 m 2 m 3 ) +s(m 3 c 1 k 2 + m 2 c 2 k 1 ) + m 1 c 2 k 1 + m 1 c 1 k 2 + m 3 c 2 k 1 + m 2 c 1 k 2 ) +(m 1 k 1 k 2 + m 2 k 1 k 2 + m 3 k 1 k 2 )
O denominador, Den, comum `a todas fun¸c˜oes de transferˆencia, gera a equa¸c˜ao caracter´ıstica, Den = 0. Simplificando-se o sistema tem-se:
m 1 = m 2 = m 3 = m c 1 = c 2 = c k 1 = k 2 = k (4-18)
X 11 = X^1
F 1
= (m^2 s^4 + 3mcs^3 + (c^2 + 3mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-19)
X 12 = X F^1
2
= (mcs^3 + (c^2 + mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-20)
X 13 = X F^1
3
= (c^2 s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-21)
X 21 = X F^2
1
= (mcs^3 + (c^2 + mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-22)
X 22 = X F^2
2
= (m^2 s^4 + 2mcs^3 + (c^2 + 2mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-23)
X 23 = X F^2
3
= (mcs^3 + (c^2 + mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-24)
X 31 = X F^3
1
= (c^2 s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-25)
X 32 = X F^3
2
= (mcs^3 + (c^2 + mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-26)
X 33 = X F^3
3
= (m^2 s^4 + 2mcs^3 + (c^2 + 2mk)s^2 + 2cks + k^2 )/Den 1 (4-27)
onde:
Den1 = {m^3 s^4 + 4m^2 cs^3 + (4m^2 k + 3mc^2 )s^2 + 6mcks + 3mk^2 }s^2 (4-28)
An´alise Modal de um Sistema de M´ultiplos Graus de Liberdade N˜ao-Amortecido
A an´alise modal de um sistema dinˆamico de m´ultiplos graus de liberdade ´e uma extens˜ao natural de um sistema de um grau de liberdade. Para muitos sistemas mecˆanicos e estruturas mecˆanicas, mais de uma coordenada ´e necess´ario para descrever seu movimento e vibra¸c˜ao suficientemente. O resultado ´e um sistema de m´ultiplos graus de liberdade. Tal modelo ´e caracterizado pelas matrizes de massa e rigidez.
Modos Normais de Um Sistema de M´ultiplos Graus de Liberdade N˜ao-amortecido
A equa¸c˜ao de movimento livre para um sistema de m´ultiplos graus de liberdade leva ao seguinte problema de autovalor:
([K] − λ^2 [M ])Ψ = 0 (4-29)
e
Normalmente em an´alise modal representam-se os autovalores e autovetores em forma de matrizes de maneira que:
[λ^2 r ] =
(rad/s)^2 (4-33)
e
[Ψ] =
Ou seja
[λ^2 r ] =
ω^21 ω 22 ω^23
............ ω n^2
(rad/s)^2 (4-35)
e
[Ψ] =
[
Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3... Ψn
]
[λ^2 r ] ´e dita de matriz espectral e [Ψ] ´e dita matriz modal. Com as equa¸c˜oes 4-35 e 4-36, a equa¸c˜ao 4-29 pode ser escrita na forma:
[K][Ψ] = [M ][Ψ][ω r^2 ] (4-37)
Verifica-se o seguinte do exemplo num´erico:
[K] =
2000 − 1000 0 0 − 1000 2000 − 1000 0 0 − 1000 2000 − 1000 0 0 − 1000 2000
N/m^ ×
- 37363 0. 60455 0. 60455 0. 37363 − 0. 36180 − 0. 22361 0. 22361 0. 36180 − 0. 44721 0. 27639 0. 27639 − 0. 44721 − 0. 82706 1. 33821 − 1. 33821 0. 82706
=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
- 37363 0. 60455 0. 60455 0. 37363 − 0. 36180 − 0. 22361 0. 22361 0. 36180 − 0. 44721 0. 27639 0. 27639 − 0. 44721 − 0. 82706 1. 33821 − 1. 33821 0. 82706
×
- 966
- 97
- 03
- 03
(rad/s)^2 (4-38)
Ortogonalidade de um Sistema N˜ao-amortecido de M´ultiplos Graus de Liberdade As propriedades de ortogonalidade de um sistema n˜ao-amortecido de m´ultiplos graus de liberdade s˜ao manifestas entre o seu modelo espacial e o seu modelo modal. Considere o resimo^ e sesimo^ modo do sistema. A equa¸c˜ao 4-29 torna-se: ([K] − ω r^2 [M ])Ψr = 0 (4-39)
e ([K] − ω^2 s [M ])Ψs = 0 (4-40)
Premultiplicando-se 4-40 por ΨTr d´a:
ΨTr ([K] − ω s^2 [M ])Ψs = 0 (4-41)
Transponde-se a equa¸c˜ao 4-39 e p´os-multiplicando-a por Ψs, d´a:
ΨTr ([K] − ω r^2 [M ])Ψs = 0 (4-42)
Subtraindo-se as equa¸c˜oes 4-41 e 4-42 obt´em-se:
(ω s^2 − ω r^2 )ΨTr [M ]Ψs = 0 (4-43)
Desde que ω^2 s 6 = ω^2 r , a equa¸c˜ao 4-43 mostra que, para r 6 = s
ΨTr [M ]Ψs = 0 (4-44)
Substituindo-se a equa¸c˜ao 4-44 na equa¸c˜ao 4-42, d´a, para r 6 = s:
ΨTr [K]Ψs = 0 (4-45)
Com as equa¸c˜oes 4-44 e 4-45 significa que os modos de vibrar s˜ao
do sistema converte-se num problema de autovalor.
([K] − λ^2 [M ])X = 0 (4-53)
Assim tem-se:
X = [Ψ]Y (4-54) A equa¸c˜ao 4-53 se torna:
([K] − λ^2 [M ])[Ψ]Y = 0 (4-55) Premultiplicando-se a equa¸c˜ao 4-55 por [Ψ]T^ e usando-se o princ´ıpio da ortogonalidade, a equa¸c˜ao se transforma em:
([ki] − λ^2 [mi])Y = 0 (4-56) Desta forma, descobre-se que os modos de vibra¸c˜ao podem diagonalizar a equa¸c˜ao matricial de movimento e desacoplar as ’n’ equa¸c˜ao acopladas em ’n’ equa¸c˜oes independentes. Isto significa que um sistema de m´ulitplos graus de liberdade agora efetivamente se transforma num conjunto de sistemas de um grau de liberdade. O desacoplamento n˜ao s´o permite uma conveniente an´alise num´erica, como tamb´em oferece a interpreta¸c˜ao f´ısica de seu comportamento modal.
Resposta em Freq¨uˆencia de Um Sistema N˜ao-amortecido com M´ultiplos Graus de Liberdade
Matriz de Rigidez Dinˆamica e Matriz de Receptˆancia
O sistema de m´ultiplos graus de liberdade com for¸camento tem a seguinte equa¸c˜ao de movimento:
[M ]¨x(t) + [K]x(t) = f (t) (4-57)
Na equa¸c˜ao 4-57 f (t) ´e um vetor de for¸ca n × 1 de ’n’ for¸cas externas. Se estas for¸cas s˜ao harmˆonicas, com a mesma freq¨uˆencia e fase (assume-se fase
zero), ent˜ao:
f (t) =
F 1
F 2
Fn
sin ωt (4-58)
Na equa¸c˜ao 4-58 Fr (r = 1 , 2 , ..., n) s˜ao as amplitudes das for¸cas harmˆonicas. Estas s˜ao grandezas reais. Seja uma barra engastada exccitada por um conjunto de for¸cas externas. O sistema vibrar´a harmonicamente. Os vetores de acelera¸c˜ao e deslocamento podem ser expressos como:
x(t) =
X 1
X 2
Xn
sin ωt = X sin ωt (4-59)
e
x¨(t) = −ω^2
X^ ¨ 1
X^ ¨ 2
X^ ¨n
sin ωt = −ω^2 X¨ sin ωt (4-60)
Susbstituindo-se as equa¸c˜oes 4-59 e 4-60 na equa¸c˜ao 4-58, tem-se:
−ω^2 [M ]X sin ωt + [K]X sin ωt = F sin ωt (4-61)
ou
([K] − ω^2 [M ])X = F (4-62)
A matriz ([K] − ω^2 [M ]) ´e conhecida como matriz de rigidez dinˆamica de um sistema de m´ultiplos graus de liberdade n˜ao-amortecido (e possui unidades de rigidez), e ´e denotada por [Z(ω)], isto ´e:
[Z(ω)] = [K] − ω^2 [M ] (4-63)
e zij (ω) = kij − ω^2 mij. Ent˜ao a equa¸c˜ao 4-62 pode ser escrita como:
[Z(ω)]X = F (4-64)
Seja a amplitude de resposta na coordenada ’i’, a equa¸c˜ao 4-67 pode ser reduzida a:
Xi = α(ωi 1 )F 1 + α(ωi 2 )F 2 +... + α(ωin)Fn (4-68) Caso apenas uma for¸ca seja aplicada ao sistema, por exemplo Fj , ent˜ao a equa¸c˜ao 4-68 se reduz a:
α(ωij ) = X Fi j
(Fr = 0, r = 1, 2 , ..., n e r 6 = j) (4-69)
Isto sugere que o ijesimo^ elemento na matriz [α(ω)] ´e a fun¸c˜ao resposta em freq¨uˆencia quando o sistema tem apenas uma for¸ca de entrada aplicada `a coordenada ’j’ e a resposta ´e medida na coordenada ’i’. Esta ´e a interpreta¸c˜ao f´ısica da receptˆancia FRF para um sistema com m´ultiplos graus de liberdade. Se houver uma for¸ca adicional, (por exemplo Fr e r 6 = j), aplicada ao sistema, ent˜ao a raz˜ao X Fi j
n˜ao dar´a aa receptˆancia FRF α(ω)ij , pois, neste caso: Xi Fj^ =^ α(ω)ij^ +^ α(ω)ir
Fr Fj^ (4-70) As FRF de mobilidade e acelerˆancia de um sistema de m´ultiplos graus de liberdade derivam-se da receptˆancia. Ent˜ao, se a matriz FRF de acelerˆancia ´e denotada por [A(ω)] e mobilidade por [Y (ω)], ent˜ao se tem:
[Y (ω)] = −jω[α(ω)] (4-71) e [A(ω)] = −ω^2 [α(ω)] (4-72)
Gr´afico de FRF para Sistema de M´ultiplos Graus de Liberdade N˜ao-amortecido
A FRF de um sistema de m´ultiplos graus de liberdade n˜ao-amortecido pode ser mostrado de diferentes formas. Uma sele¸c˜ao apropriada de gr´aficos pode dar ˆenfase em alguns aspectos que se queiram chamar a aten¸c˜ao na FRF. Gr´afico de magnitude, gr´aficos de magnitude log-log e da inversa da FRF s˜ao v´arias formas usuais de se mostrar uma FRF. O gr´afico de magnitude de uma FRF pode mostrar magnitude de uma FRF contra a freq¨uˆencia em escala linear. Por exemplo pode-se mostrar α 11 de um sistema de 4 graus de liberdade. A magnitude do gr´afico mostra claramente
as ressonˆancias. No entanto detalhes da curva s˜ao ofuscados por causa da proeminˆencia dos picos de ressonˆancia. Em particular, caracter´ısticas como anti-ressonˆancias s˜ao vis´ıveis. Mudar a escala do gr´afico de linear para logar´ıtmica ´e uma possibilidade de melhor visualizar caracter´ısticas do gr´afico de FRF. Na pr´atica ´e mais conveniente utilizar decib´eis que qnado se refere a uma quantidade unit´aria de FRF. No entanto a receptˆancia de um sistema de 4 graus de liberdade se tra¸cado em escala dB, torna-se uma curva mostrada em gr´afico. A compara¸c˜ao entre as curvas de receptˆancia em escala linear e em dB mostra que a vantagem de se usar a escala dB onde se vˆe claramente as anti-ressonˆancias. No gr´afico log-log tamb´em se vˆem anti-ressonˆancias e se revelam as propriedades assint´oticas de uma FRF. Uma FRF pode tamb´em ser representada em forma inversa, em escala linear e em dB. Aparentemente a inversa de uma FRF ajuda a expor as vizinhan¸cas das anti-ressonˆancias e a m´ınima de uma FRF. No entano seu real significado recai sobre a extra¸c˜ao dos dados modais.
Modos de Massa-normalizada e Modelo Modal de um Sistema de M´ultiplos Graus de Liberdade N˜ao-amortecido Modos de vibrar de um sistema s˜ao ´unicos desde que m´ultiplos dos mesmo sejam igualmente v´alidos. Modos de vibrar nomalizados pela massa s˜ao representa¸c˜oes particulares dos modos de vibrar. Eles s˜ao importantes no desenvolvimento subseq¨uente de uma teoria de an´alise modal, especialmente quando aplicado `a analise modal experimental. Um modo de vibar massa-normalizado ´e um modo normaizado usando a massa modal. Desde que ΨTr [M ]Ψr = mr (r = 1, 2 , ..., n) os modos de vibrar Ψr podem ser normalizados da seguinte forma:
φr = √^1 m r
Ψr (r = 1, 2 , ..., n) (4-73)
Na equa¸c˜ao 4-73 φr ´e chamado de modo de vibrar massa-normalizado do sistema. A equa¸c˜ao 4-73 tamb´em pode ser escrita na forma:
[Φ] = [Ψ][mi] − 21 (4-74) Desta forma pode-se verificar que usando-se os modos de vibrar
