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Um curso de engenharia mecânica da universidade itajubá sobre vibrações livres com amortecimento viscoso. Ele aborda as equações de movimento, soluções e constantes indeterminadas, amortecimento crítico e fator de amortecimento, e energia dissipada em amortecimento viscoso. O texto também discute sistemas torcionais com amortecimento viscoso e fornece exemplos de problemas relacionados a bigornas e amortecedores de choque.
Tipologia: Trabalhos
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A força de amortecimento viscoso, pode ser expressa como:
onde c é a constante de amortecimento e o sinal negativo indica que a força de amortecimento é oposta ao sentido da velocidade. Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da massa m , a aplicação da lei de Newton dá a equação de movimento:
ou
2.6.2 Solução
Onde C e s são constantes indeterminadas.
x1(t) e x2(t) :
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.
Constante de amortecimento crítico e fator de amortecimento. O amortecimento crítico cc é definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radical ne Equação (2.62) torna-se zero:
Ou
Para qualquer sistema amortecido
Pelas equações (2.66) e (2.65), podemos escrever
e, por consequência,
Assim, a solução, Equação (2.64), pode ser escrita como
Caso1. Sistema subamortecido (ȶ² - 1) é negativo e as raízes s1 e s2 podem ser expressas como
Equação (2.69) ficará assim:
exemplo, armas de fogo de grande porte tem amortecedores de mola com valor de amortecimento crítico, para que voltem a sua posição inicial após o recuo no tempo mínimo, sem vibrar. Se o amortecimento fornecido fosse maior que o valor crítico, haveria alguma demora antes do próximo tiro.
2.63 Decremento Logarítmico
FIGURA 2.24 - Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento.
Vamos representar por t 1 e t 2 os tempos correspondentes e duas amplitudes (deslocamentos) consecutivas.
O decremento logaritmo pode ser obtido pela Equação (2.84):
FIGURA 2.25 - Lugar geométrico de s 1 e s 2.
se (2.86)
O decremento logarítmico é adimensional
Tomando o logaritmo natural da razão entre x1 e x2, obtemos. Podemos calcular o
fator de amortecimento.
Equação (2.87), FIGURA 2.26 - Plano de fase de um sistema amortecido. Se denotarem as amplitudes correspondentes aos tempos onde é um número inteiro, obtemos
Também podemos calcular a fração da energia total do sistema vibratório que é dissipada em cada ciclo de movimento ΔW/W, como segue. A energia total do sistema W pode ser expressa
como a máxima energia potencial ou energia cinética. As duas serão aproximadamente iguais para valores pequenos de amortecimento. Assim,
FIGURA 2.28 - Mola e amortecedor em paralelo. pelas equações (2.85) e (2.88). A quantidade * é denominada capacidade de amortecimento específico e é útil para comparar a capacidade de amortecimento de materiais de engenharia.
2.6.5 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso
Onde J 0 = momento de inércia de massa do disco, K (^) t = constante elástica do sistema (torque
restaurador por unidade de deslocamento angular), e deslocamento angular do disco
FIGURA 2.29 - Amortecedor viscoso por torção. Onde
e
Onde c (^) tc é a constante crítica de amortecimento por torção.
Resposta da bigorna de um martelo de forjar A bigorna de um martelo de forjar pesa 5.000 N e está montada sobre urna base que tem urna rigidez de 5 x 106 N/m e um amortecimento viscoso constante de 10.000 N.s/m. Durante determinada operação de forjamento, o martelo-pilão (isto é, o martelo de queda, martelo ou pilão) com peso de 1.000 N é acionado e cai de uma altura de 2 m sobre a bigorna (Figura 2.30(a)). Se a bigorna estiver em repouso antes do impacto do pilão, determine a resposta da bigorna após o impacto. Considere que o coeficiente de restituição entre a bigorna e o pilão seja 0,4. Solução: Em primeiro lugar, usamos o princípio de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para determinar a velocidade inicial da bigorna. Vamos denotar as velocidades do pilão um pouco antes e um pouco depois do impacto contra a bigorna por Vt1 e Vt2, respectivamente. De maneira semelhante, Va1 e Va2 representam, respectivamente, as velocidades da bigorna um pouco antes e um pouco depois do impacto (Figura 2.30(b)). Observe que o deslocamento da bigorna é medido em relação a sua posição de equilíbrio estático e admitimos que todas as velocidades sejam positivas quando agem de cima para baixo. O princípio de conservação de momento dá
Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa (Figura 2.31(a)) deve atender às seguintes especificações: quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada, a curva deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada na Figura 2.31(b). Determine as Constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for de 2 s e a amplitude X 1 tiver de ser reduzida a um quarto em um meio- ciclo (isto é, X (^) 1,5 = X 1 /4). Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.
(E.1)
FIGURA 2.31 - Amortecedor para uma motocicleta.
Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 2. [2.8]. Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10.000 N/m. O recuo do canhão após um disparo é 0,4 m. Determine (1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor, (2) a velocidade inicial de recuo do canhão e (3) o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 0,1 m de sua posição inicial. Solução:
onde .
X(t) = 0
