Trabalho de Planejamento Urbano (1, 2, 3 e 4), Esquemas de Análise de Engenharia

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Diego Amadeu Furtado Torres

M´etodo dos Elementos Finitos

Generalizados aplicado `a an´alise de placas

laminadas compostas inteligentes

Florian´opolis

Fevereiro de 2008

Diego Amadeu Furtado Torres

M´etodo dos Elementos Finitos

Generalizados aplicado `a an´alise de placas

laminadas compostas inteligentes

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia Mecˆanica, do Centro Tecnol´ogico da Universidade Federal de Santa Catarina, para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia Mecˆanica, com ˆenfase em An´alise e Projeto Mecˆanico.

Orientador:

Prof. Paulo de Tarso Rocha de Mendon¸ca, Ph.D.

Universidade Federal de Santa Catarina

Florian´opolis

Fevereiro de 2008

A todos que acreditam que ´e poss´ıvel fazer mais.

Agradecimentos

A minha fam´^ ` ıla, pelo carinho e presen¸ca constantes, apesar da distˆancia, e em especial

a minha querida M˜ae, Miriam, a quem devo os mais nobres ensinamentos e cujo grande

apoio me faz confiante em minhas escolhas.

Ao meu orientador, Prof. Paulo de Tarso, pelo compromisso e dedica¸c˜ao dispensados

ao longo do desenvolvimento deste trabalho, pela competˆencia e paciˆencia em minha

condu¸c˜ao.

Ao Prof. H´ercio de Queiroz, quem primeiro me apresentou a Mecˆanica dos S´olidos

e cuja competˆencia e habilidade me fizeram profundamente admirado e interessado por

esta ciˆencia.

Aos Profs. Luiz Nishiyama e Jesiel Cunha, orientadores durante a gradua¸c˜ao, pela

oportunidade e ensinamentos, amizade concedida e cujo apoio se fez imprescind´ıvel para

minha chegada nesta etapa.

Aos caros companheiros do GRANTE, cuja amizade propiciou um ambiente bastante

agrad´avel para nos conhecermos e nos ajudarmos, onde compartilhamos bons momentos,

os quais n˜ao posso deixar de citar: Andresa, Armin, Augusto, Daniel, Dyego, Emanuel,

Enildo, Fran¸co´a, Jairo, Jorge, Juliana, Louise, M´arcio, Pedro, Ronaldo e Waldemar.

A na¸` c˜ao brasileira, que por meio da CAPES, proveu indispens´avel aux´ılio financeiro

para a minha manuten¸c˜ao ao longo deste trabalho.

Abstract

Intelligent structures are systems whose shape and structural and functionals features may be monitored and modified while in its useful life, allowing to hold the satisfying to design requirements and improving the performance. In this scope, laminated composite structures are very adaptable to this technology, favoring the design of components with sensors and actuators embedded within the laminate or bonded on the surfaces. Allied to the exceptional performance of the composite materials and to the special properties of materials with coupled response, control systems consist of the link which complete the chain that define intelligent systems. Undoubtedly, for the design of such structures, there exist the demand for methodology and tools for analysis and verification. Hence, this work presents a tool implemented under the Generalized Finite Element Method philosophy (GFEM) for numerical analysis of composite laminated plates with piezoelec- tric sensors and actuators. The GFEM, as a nonconventional Finite Element Method (FEM) formulation, employs a finite element mesh to build a Partition of Unity, over which are added p-hierarchical refinements with the proposal of enlarge the solution ap- proximation subspace. The enrichment functions are globally defined and, therefore, such strategy minimize the mesh importance, factor which has motivated the meshfree meth- ods development. The formulation is based on a Mixed Theory model, and in this case, it is proposed the approximation of electrical unknowns through of the Reddy’s Layer- wise Theory and the approximation of mechanical unknowns through of the Levinson’s Higher-Order Shear Deformation Theory, this is, a Equivalent Single Layer Theory. The complete development was conducted for a dynamic system and computational routines was implemented with FORTRAN 90 language for the static analysis of some models, whose solutions obtained by others theories constants in the literature were used for the formulation verification. Moreover, the influence of the way as the essential boundary conditions are enforced was analyzed, the approximation capability when of the use of polynomial enrichment -p for distorted meshes and its influence in the primal and dual fields approximation was showed. The displacement equations and the consistent bound- ary conditions were developed for the mixed model employed in the numerical implemen- tation. A rectangular laminate was analyzed by the GFEM formulation and its results were compared to the analytical solution, using trigonometrical series, obtained from the strong form problem.

Keywords: Generalized Finite Element Method, composite laminated plates, piezoelectric- ity, Higher-Order Shear Deformation Theory, Layerwise Theory.

Sum´ario

• 1 Introdu¸c˜ao
  • 1.1 Motiva¸c˜ao e proposta do trabalho
  • 1.2 Contribui¸c˜oes
  • 1.3 Estrutura da disserta¸c˜ao
• 2 Estado da arte de modelagem de placas inteligentes
• 3 M´etodo de Elementos Finitos Generalizados (MEFG)
  • 3.1 Inser¸c˜ao do MEFG no curso do desenvolvimento dos m´etodos num´ericos
  • 3.2 No¸c˜ao de aproxima¸c˜ao local da solu¸c˜ao
  • 3.3 Constru¸c˜ao do espa¸co de aproxima¸c˜ao
• 4 Mecˆanica de placas laminadas compostas
  • 4.1 Macromecˆanica de uma lˆamina composta
  • 4.2 Teorias de placas laminadas em camada equivalente ´unica
    • 4.2.1 Teoria cl´assica de placas laminados
    • 4.2.2 Teoria de primeira ordem
    • 4.2.3 Teorias de ordem superior
    • 4.2.4 Teoria de deforma¸c˜ao cisalhante de ordem zero
  • 4.3 Teorias de placas laminadas em camadas discretas
  • 4.4 Teorias mistas
• 5 Eletroelasticidade linear
  • 5.1 Revis˜ao hist´orica
  • 5.2 Formula¸c˜ao fenomenol´ogica da eletroelasticidade linear Sum´ario
  • 5.3 Equa¸c˜oes governantes da piezeletricidade linear
  • 5.4 Rela¸c˜ao constitutiva acoplada
    • 5.4.1 Rota¸c˜ao da rela¸c˜ao constitutiva acoplada
• 6 Formula¸c˜ao discretizada em MEFG
  • 6.1 Funcional eletromecanicamente acoplado
  • 6.2 Descri¸c˜ao do comportamento mecˆanico
    • 6.2.1 Discretiza¸c˜ao das vari´aveis mecˆanicas
  • 6.3 Descri¸c˜ao do comportamento el´etrico
    • 6.3.1 Discretiza¸c˜ao das vari´aveis el´etricas
  • 6.4 Associa¸c˜ao das vari´aveis mecˆanicas e el´etricas
    • 6.4.1 Aproxima¸c˜ao via MEF
    • 6.4.2 Aproxima¸c˜ao via MEFG
  • 6.5 Corre¸c˜ao da rela¸c˜ao constitutiva
  • 6.6 Obten¸c˜ao da matriz de rigidez do elemento
  • 6.7 Obten¸c˜ao da matriz de in´ercia elementar
  • 6.8 Obten¸c˜ao das for¸cas elementares
• 7 Solu¸c˜ao anal´ıtica
  • 7.1 Equa¸c˜oes de equil´ıbrio
  • 7.2 Princ´ıpio dos trabalhos virtuais
  • 7.3 Equa¸c˜oes constitutivas do laminado piezel´etrico
  • 7.4 Equa¸c˜oes do movimento em termos de deslocamentos generalizados
  • 7.5 Solu¸c˜ao de Navier
    • 7.5.1 An´alise de flex˜ao est´atica
• 8 Aplica¸c˜oes
  • 8.1 Bimorfo piezel´etrico com atua¸c˜ao Sum´ario
  • 8.2 Placa com pastilhas piezel´etricas discretas
    • 8.2.1 Placa laminada composta com atuadores
    • 8.2.2 Placa laminada composta com sensores e atuadores
  • 8.3 Placa laminada quadrada simplesmente apoiada
    • 8.3.1 Efeito do enriquecimento na aproxima¸c˜ao de deslocamentos
    • 8.3.2 Efeito do enriquecimento na aproxima¸c˜ao de tens˜oes
• 9 Considera¸c˜oes finais
  • 9.1 Sugest˜oes para trabalhos futuros
• Referˆencias bibliogr´aficas
• Apˆendice A -- Solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes no MEFG

Lista de s´ımbolos

Ck^ Espa¸co de fun¸c˜oes com derivadas cont´ınuas at´e a ordem k

Ω Dom´ınio

Rn^ Espa¸co de dimens˜ao n

Gj Conjuntos abertos que definem os suportes das fun¸c˜oes da PU

ϕj Fun¸c˜oes de forma do MEF usadas como PU no MEFG

x Posi¸c˜ao no dom´ınio

t Instante de tempo

∂Ω Contorno do dom´ınio Ω

A Operador linear diferencial

u(x) Fun¸c˜ao cont´ınua

f Fun¸c˜ao prescrita em Ω para o PVC

gk Fun¸c˜ao prescrita em ∂Ω para o PVC

Bk Operadores lineares diferenciais no contorno de Ω

H Espa¸co de Hilbert

X Sub-espa¸co de dimens˜ao finita de H

Qnnos Conjunto de pontos nodais

xj Posi¸c˜ao no dom´ınio do n´o n´umero j

wj Nuvem nodal associada ao n´o n´umero j

rj Raio da nuvem nodal

Xnnos Uni˜ao de todas as nuvens

Ω Interior e contorno do dom´ınio Ω

˜u Aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao u solu¸c˜ao do PVC

αi Valores discretos da fun¸c˜ao u˜ nos pontos nodais

P U Parti¸c˜ao da unidade

C 0 l Espa¸co de fun¸c˜oes com derivadas de suporte compacto e cont´ınuas at´e a ordem l

TN Cobertura aberta do dom´ınio Ω

N N´umero de n´os no dom´ınio ou suportes de nuvens

˜uij Aproxima¸c˜ao local i de u associada ao n´o j

∆ Constante para obten¸c˜ao dos coeficientes da matriz de rigidez do material

ϑi Componente de deslocamento i nas teorias em Camada Equiv- alente Unica´

ϑji Vari´aveis a serem determinadas nas teorias em Camada Equivalente Unica´

u(x, t), v(x, t), w(x, t) Componentes do vetor deslocamento paralelas aos eixos carte- sianos x, y e z, respectivamente

uo, v^0 , w^0 Deslocamentos generalizados na superf´ıcie de referˆencia

ψx, ψy, ψz Deslocamentos generalizadas de primeira ordem nas teorias de placas

ζx, ζy, ζz Deslocamentos generalizados de segunda ordem nas teorias de placas

φx, φy, φz Deslocamentos generalizados de terceira ordem nas teorias de placas

ηx, ηy Deslocamentos generalizados de quarta ordem nas teorias de placas

h Espessura do laminado

zk− 1 Superf´ıcie inferior da lˆamina k

zk Superf´ıcie superior da lˆamina k

UI , VI , WI Valores nodais de deslocamentos na interface I nas teorias em Camadas Discretas

ΦI^ , ΨI^ Fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao na dire¸c˜ao da espessura na interface I para as teorias em Camadas Discretas

P Vetor polariza¸c˜ao

E Vetor campo el´etrico

d Tensor de constantes piezel´etricas de deforma¸c˜ao

ρp Densidade de carga el´etrica equivalente

D Vetor deslocamento el´etrico

χ Tensor de constantes de permissividade diel´etrica

θ Temperatura

p Vetor de coeficientes piroel´etricos

Φ 0 Funcional de energia livre de Gibbs

η Entalpia

e Tensor de constantes piezel´etricas de tens˜ao

βij Coeficientes de expans˜ao t´ermica

cv Calor espec´ıfico por unidade de massa

ΠG Funcional h´ıbrido da piezeletricidade linear

b Vetor de for¸cas de corpo

t Vetor de for¸cas de superf´ıcie

w Densidade superficial de carga el´etrica

φ Potencial el´etrico

• Valor prescrito

St, Su, Sω, Sφ Parti¸c˜oes do contorno do dom´ınio onde se prescrevem tens˜oes, deslocamentos, cargas el´etricas e potencial el´etrico, respecti- vamente

ni Componentes do vetor n normal `a superf´ıcie

De Operador diferencial do campo el´etrico

Dm Operador diferencial de deforma¸c˜oes mecˆanicas

nm Vetor normal ao contorno onde se prescrevem tens˜oes mecˆanicas

ne Vetor normal ao contorno onde se prescrevem cargas el´etricas

[L] Matriz de rota¸c˜ao de tensores de segunda ordem

[T ] Matriz de rota¸c˜ao das componentes do vetor tens˜ao com ´ındices contra´ıdos

[R] Matriz de transforma¸c˜ao entre as defini¸c˜oes do vetor de- forma¸c˜ao

[C] Matriz de coeficientes el´asticos rotacionada

[e] Matriz de coeficientes piezel´etricos rotacionada

[χ] Matriz de coeficientes de permissividade diel´etrica rota- cionada

σ^1 , ε^1 , D^1 , E^1 Vari´aveis definidas no sistema de coordenadas intr´ınseco do material

σx, εx, Dx, Ex^ Vari´aveis definidas no sistema de coordenadas global do prob- lema

K Energia cin´etica total do sistema

P Energia potencial de deforma¸c˜ao total do sistema

W Trabalho total das for¸cas externas aplicadas

f S^ For¸cas de superf´ıcie

f V^ For¸cas de corpo

f P^ For¸cas pontuais

ϕ Potencial el´etrico

ϕ˜ Aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao potencial el´etrico

E^ ˜ Aproxima¸c˜ao do vetor campo el´etrico

hk Espessura da lˆamina k

[Bk e no]^ Fun¸c˜oes^ de^ aproxima¸c˜ao^ do^ campo^ el´etrico^ na^ lˆamina piezel´etrica k relativas ao n´o no

[Bk

e ] Matriz de aproxima¸c˜ao do campo el´etrico na lˆamina piezel´etrica k no elemento e

[ Ĉ ] Matriz de coeficientes de rigidez el´astica corrigida

[̂ e] Matriz de coeficientes piezel´etricos corrigida

[ χ̂ ] Matriz de coeficientes de permissividade diel´etrica corrigida

[B^0 k e ] Matriz de aproxima¸c˜ao da parcela constante do campo el´etrico na lˆamina piezel´etrica k no elemento e

[B^1 k

e ] Matriz de aproxima¸c˜ao da parcela com varia¸c˜ao linear do campo el´etrico na lˆamina piezel´etrica k no elemento e

A, B, D, F, H, L Sub-matrizes constitutivas do laminado de membrana e flex˜ao

Ac, Dc, Fc Sub-matrizes constitutivas do laminado de cisalhamento transversal

Ok, Pk, Qk, Rk, Sk^ Sub-matrizes constitutivas da lˆamina piezel´etrica k de acopla- mento eletromecˆanico de membrana e flex˜ao

Tk, Uk, Wk^ Sub-matrizes constitutivas da lˆamina piezel´etrica k de acopla- mento eletromecˆanico de cisalhamento transversal

Xk, Yk, Zk^ Sub-matrizes constitutivas da lˆamina piezel´etrica k de com- portamento puramente el´etrico

Bm e , Bf^ e , B^3 f^ e Parcelas da matriz de aproxima¸c˜ao das deforma¸c˜oes de mem- brana e flex˜ao

Bc

e , B^2 c

e Parcelas da matriz de aproxima¸c˜ao das deforma¸c˜oes cisal- hantes transversais

[Keuu] Matriz de rigidez puramente mecˆanica do elemento e

[Keuϕ] Matriz de rigidez mecˆanica eletricamente acoplada do ele- mento e

[Keϕu] Matriz de rigidez el´etrica mecanicamente acoplada do ele- mento e

[Keϕϕ] Matriz de rigidez puramente el´etrica do elemento e

[Ke] Matriz de rigidez do elemento e

N^0 , N^1 , N^3 Fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao dos deslocamentos generalizados de transla¸c˜ao, rota¸c˜oes de primeira ordem e rota¸c˜oes de ordem superior, respectivamente

ρ 0 , ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 6 Massas generalizadas

I Matriz identidade

[Me] Matriz de in´ercia elementar

Fe V Vetor de for¸cas de corpo elementar

Fe

S Vetor de for¸cas de superf´ıcie elementar

Fe P Vetor de for¸cas pontuais elementar

{F } Componentes da for¸ca de corpo

{T } Componentes da for¸ca de superf´ıcie

{F } Componentes da for¸ca de corpo equivalente

qe Carga el´etrica livre por unidade de ´area

ϕ(k)(z) Fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao do potencial el´etrico na lˆamina k na dire¸c˜ao da espessura

{N }, {M }, {M 3 } Resultantes de tens˜oes de membrana e flex˜ao

{Q}, {Q 2 } Resultantes de tens˜oes cisalhantes transversais

{L}(k)^ Resultante do deslocamento el´etrico coplanar na lˆamina piezel´etrica k

Jk Resultante do deslocamento el´etrico na dire¸c˜ao da espessura da lˆamina piezel´etrica k

qsx, qsy, qsz Componentes da for¸ca de superf´ıcie na face superior do lami- nado

qix, qiy, qiz Componentes da for¸ca de superf´ıcie na face inferior do lami- nado

qek Carga el´etrica livre distribu´ıda na face inferior da lˆamina piezel´etrica k

qx, qy, qz For¸cas generalizadas no dom´ınio plano

mx, my Momentos generalizados no dom´ınio plano

m 3 x, m 3 y Momentos generalizados de ordem superior no dom´ınio plano

N (^) n, N (^) ns For¸cas generalizadas normais aplicadas no contorno

M (^) n, M (^) ns Momentos generalizados aplicados no contorno

M (^3) n, M (^3) ns Momentos generalizados de ordem superior aplicados no con- torno

Qn Cortante generalizado aplicado no contorno

fx, fy, fz For¸cas generalizadas de in´ercia

fmx, fmy For¸cas generalizadas de in´ercia

f 3 mx, f 3 my For¸cas generalizadas de in´ercia

1

1 Introdu¸c˜ao

1.1 Motiva¸c˜ao e proposta do trabalho

O aprimoramento das metodologias de an´alise de estruturas tem conduzido e estimu-

lado a concep¸c˜ao de sistemas integrados, juntamente com a aplica¸c˜ao de materiais com

propriedades bastante peculiares, capazes de perceber e se adaptar a poss´ıveis altera¸c˜oes

nas condi¸c˜oes ambientais e operacionais, objetivando garantir o desempenho satisfat´orio

da estrutura em face `as solicita¸c˜oes e aos requisitos de projeto.

Na ind´ustria da mobilidade, especialmente na aeroespacial, o peso pr´oprio ´e uma das

principais restri¸c˜oes e existe uma busca inscessante por materiais mais leves que permitam

satisfazer as mesmas propostas que seus similares convencionais. Grandes estruturas

espaciais que usualmente envolvem trabalho de precis˜ao s˜ao frequentemente flex´ıveis, leves

e possuem baixo amortecimento, de tal forma que o comportamento vibrat´orio se torna

um item importante (Chee, Tong e Steven, 1998).

M´etodos passivos para redu¸c˜ao de ru´ıdo e vibra¸c˜ao ou para garantir um desempenho

estrutural ´otimo tˆem alcan¸cado certos limites. Por esta raz˜ao, o desenvolvimento de es-

truturas inteligentes (smart structures) tem se tornado bastante importante. Os termos

estruturas inteligentes, estruturas adaptativas, estruturas ativas e adaptrˆonica (do inglˆes

“adaptronics”) fazem todos parte do referido campo de estudo (Hurlebaus e Gaul,

2006). Todos estes termos se referem `a integra¸c˜ao de atuadores e sensores aos com-

ponentes estruturais, al´em de alguma esp´ecie de unidade de controle ou amplifica¸c˜ao e

processamento de sinal. Em suma, o objetivo desta integra¸c˜ao ´e a concep¸c˜ao de um sis-

tema capaz de melhorar o desempenho estrutural, com reduzido aumento de massa e com

baixo consumo de energia.

Devido `a sua natureza, a an´alise e desenvolvimento de estruturas inteligentes requer

interdisciplinaridade, visto que numerosas competˆencias (ciˆencia dos mateiais, mecˆanica

aplicada, teoria de controle, etc.) est˜ao envolvidas no projeto de uma estrutura inteligente.

1.1 Motiva¸c˜ao e proposta do trabalho 2

Estruturas inteligentes s˜ao sistemas cuja geometria e caracter´ısticas estruturais po-

dem ser satisfatoriamente modificadas durante sua vida operacional. Por causa de suas

capacidades de auto-monitoramento e auto-adapta¸c˜ao as estruturas inteligentes, recen-

temente, tˆem atra´ıdo a aten¸c˜ao de in´umeros pesquisadores, cujos focos variam desde o

controle de forma e controle de vibra¸c˜oes `as aplica¸c˜oes de auto-diagn´ostico para detec¸c˜ao

de fraturas e danos na estrutura. A motiva¸c˜ao para utiliza¸c˜ao de estruturas inteligentes

´e permitir mudar sua forma ou suas propriedades materiais ou estruturais evitando os

problemas mencionados, melhorando desempenho e vida ´util (Chee, Tong e Steven,

1998).

Os quatro elementos fundamentais de uma estrutura inteligente s˜ao: os elementos

sensores, destinados a captar as altera¸c˜oes nas condi¸c˜oes ambientais e/ou modifica¸c˜oes no

funcionamento; os elementos atuadores, respons´aveis pela a¸c˜ao de adapta¸c˜ao do sistema;

os procedimentos de controle, geralmente implementados em microcomputadores digitais

e que determinam as a¸c˜oes de controle a serem executadas pelos atuadores a partir das

informa¸c˜oes adquiridas pelos sensores; e ´e claro, a pr´opria estrutura (Faria, 2006).

Os materiais empregados em estruturas inteligentes frequentemente possuem interes-

santes e incomuns propriedades e s˜ao classificados de acordo com a capacidade de trans-

forma¸c˜ao energ´etica. Materiais piezel´etricos, eletrostrictivos e fluidos eletroreol´ogicos,

que transformam energia el´etrica em mecˆanica e vice-versa; materiais magnetostrictivos

e fluidos magn´eto-reol´ogicos, que sofrem transforma¸c˜oes do tipo magn´etico-mecˆanica e

ligas com mem´oria de forma, que sofrem tranforma¸c˜oes termomecˆanicas, por exemplo,

podem ser usados para projeto e desenvolvimento de estruturas que podem ser chamadas

inteligentes.

O uso de materiais adaptativos substitui a necessidade de complexos mecanismos

e sistemas de atua¸c˜ao e o material adaptativo por si pr´oprio ´e embutido ou colado na

estrutura, resultando na redu¸c˜ao de material e peso. Em geral, as propriedades mecˆanicas

de materiais adaptativos s˜ao controladas por temperatura, campo magn´etico ou campo

el´etrico (Chee, Tong e Steven, 1998).

Materiais piezel´etricos tem sido usados em uma variada gama de aplica¸c˜oes tais como

em transdutores ultrasˆonicos, acelerˆometros, gramofones, resonadores, filtros, impresso-

ras `a jato de tinta bem como em v´arios tipos de sensores e atuadores. Comparados

aos materiais piezel´etricos, materiais adaptativos de outras categorias s˜ao de integra¸c˜ao

mais dif´ıcil `as estruturas existentes e, por serem relativamente novos, carecem de mo-

delos matem´aticos consistentes, ao passo que para os piezel´etricos foram desenvolvidos