Universidade Estadual do Norte do Paran´a - UENP
Criada pela Lei Estadual 15.300/2006 – Autorizada pelo Decreto Estadual n
º
3909/2008
Campus Corn´elio Proc´opio
Centro de Ciˆencias Humanas e da Educa¸c˜ao
Colegiado de Matem´atica
Lista de Exerc´ıcios - Teoria dos N´umeros e Estruturas Alg´ebricas
1. Demonstre por indu¸c˜ao:
a. 12+ 22+ 32+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6,∀n>1;
b. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n−1) = n2,∀n>1;
2. Demonstre o segundo princ´ıpio de indu¸c˜ao.
3. Prove que h(n) = 22n+ 15n−1 ´e divis´ıvel por 9, para todo inteiro n>1.
4. Sejam m, n ∈Z´ımpares. Prove que
a. 4 |(2m−2n); b. 8 |(m2−n2); c. 8 |(m2+n2−2).
5. Dados dois n´umeros pares consecutivos, mostre que um deles ´e divis´ıvel por 4.
6. Mostre que a diferen¸ca entre os quadrados de dois inteiro consecutivos ´e sempre um
n´umero ´ımpar.
7. Demonstre por indu¸c˜ao:
a. 7 |(23n−1),∀n>0; b. 8 |(32n+ 7),∀n>0.
8. Prove que:
a. Um dos inteiros a, a + 2 e a+ 4 ´e divis´ıvel por 3;
b. Um dos inteiros a, a + 1, a + 2 e a+ 3 ´e divis´ıvel por 4.
9. Prove que o produto entre dois n´umeros inteiros ´e ´ımpar se, e somente se, ambos forem
n´umeros ´ımpares.
10. Prove que, quaisquer que sejam a, b ∈Z, a express˜ao a+b+a2+b2representa um
n´umero par.
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