Resumo matemática anpec, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Matem´atica para o exame da ANPEC

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Alexandre L. Madureira

Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica—LNCC, Brasil URL: http://www.lncc.br/∼alm

(^1) 04 de setembro de 2012

Resumo. Estas notas de aula s˜ao relativas ao curso de prepara¸c˜ao promovido pela FGV para a parte de matem´atica do exame da ANPEC. Estas notas devem servir de apoio, e certamente n˜ao eliminam a necessidade de se usar os j´a cl´assicos, aprimorados e v´arios livros did´aticos. Mencionamos alguns deles na biliografia. Neste curso apresento alguns t´opicos de ´algebra linear, c´alculo e an´alise que est˜ao pre- sentes no exame da ANPEC, e que s˜ao importantes para uma forma¸c˜ao mais s´olida de futuros p´os-graduandos em economia. Espero apresentar algum rigor matem´atico aos alu- nos, e mostrar como este deve ser utilizado em conjunto com a intui¸c˜ao matem´atica, nunca esquecendo o objetivo que ´e aprimorar a arte de resolver quest˜oes.

Uma particularidade das notas ´e que, ao fim destas h´a solu¸c˜oes de quest˜oes das provas da ANPEC de matem´atica dos ´ultimos anos. Isto n˜ao seria poss´ıvel sem a ajuda de Gustavo Lopo Andrade, Gustavo Pereira, e Lucas Alves, que gentilmente concordaram em apresentar suas solu¸c˜oes em TEX. Acho que estas solu¸c˜oes ser˜ao ´uteis para a grande comunidade de alunos que se prepara para os exames da ANPEC. Meus agradecimentos mais sinceros a estes trˆes jovens! Eu tomei a liberdade de modificar minimamente a nota¸c˜ao usada em algumas das ques- t˜oes, a fim de torn´a-la homogˆenea e coincidir com as nota¸c˜oes usadas nestas notas. Editei tamb´em minimamente as quest˜oes submetidas pelos alunos, a fim de tornar suas (deles) solu¸c˜oes mais pr´oximas do estilo, linguagem e nota¸c˜oes usadas no restante das notas.

S˜ao usadas estas notas v´arias ideias e nota¸c˜oes de outros livros, como [ 4 , 13 , 20 ] em ´algebra linear. A bibliografia b´asica sugerida pela ANPEC ´e dada por [ 4 , 5 , 23 ], e a com- plementar ´e [ 1 , 9 , 10 , 13 , 27 ].

• Cap´ıtulo 1. No¸c˜oes de Conjuntos
  • 1.1. Conjuntos
  • 1.2. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 2. No¸c˜oes de geometria anal´ıtica
  • 2.1. Coordenadas
  • 2.2. Distˆancia, norma, produtos escalar e vetorial
  • 2.3. Produto vetorial
  • 2.4. A reta no plano e espa¸co
  • 2.5. Planos no espa¸co
  • 2.6. Desigualdade lineares
  • 2.7. Cˆonicas no plano
  • 2.8. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 3. Algebra Linear´
  • 3.1. Opera¸c˜oes com matrizes
  • 3.2. Matriz inversa, transposta e adjunta
  • 3.3. Resolu¸c˜ao de sistemas lineares
  • 3.4. Determinantes e a regra de Cramer
  • 3.5. Espa¸cos vetoriais, subespa¸cos, base e dimens˜ao
  • 3.6. Produto interno, ortogonalidade e proje¸c˜oes
  • 3.7. Transforma¸c˜oes lineares, n´ucleo, imagem e representa¸c˜oes matriciais
  • 3.8. Autovalores, polinˆomios caracter´ısticos e operadores diagonaliz´aveis
  • 3.9. Operadores auto-adjuntos, operadores ortogonais
  • 3.10. Formas lineares e bilineares
  • 3.11. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 4. Limites de fun¸c˜oes
  • 4.1. Defini¸c˜oes b´asicas envolvendo fun¸c˜oes
  • 4.2. Intervalos na reta
  • 4.3. Fun¸c˜oes inversas
  • 4.4. Limites de fun¸c˜oes
  • 4.5. Limites laterais, infinitos e no infinito
  • 4.6. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 5. Continuidade e Fun¸c˜oes Cont´ınuas
  • 5.1. Introdu¸c˜ao e exemplos
  • 5.2. Fun¸c˜oes Cont´ınuas em intervalos fechados e limitados
  • 5.3. Exerc´ıcios iv SUM ARIO´
• Cap´ıtulo 6. Diferencia¸c˜ao
  • 6.1. Defini¸c˜oes e Exemplos
  • 6.2. Propriedades da Derivada
  • 6.3. Aplica¸c˜oes
  • 6.4. Teorema de Taylor e Aplica¸c˜oes
  • 6.5. Regra de L’Hˆopital
  • 6.6. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 7. Fun¸c˜oes trigonom´etricas, logar´ıtmicas e exponenciais
  • 7.1. Fun¸c˜oes trigonom´etricas
  • 7.2. Fun¸c˜oes log e exponencial
• Cap´ıtulo 8. Integra¸c˜ao
  • 8.1. Propriedade b´asicas de integrais de fun¸c˜oes limitadas
  • 8.2. Areas planas´
  • 8.3. Integrais impr´oprias
• Cap´ıtulo 9. Sequˆencias e S´eries
  • 9.1. Defini¸c˜ao e resultados preliminares
  • 9.2. Sequˆencias Mon´otonas
  • 9.3. S´eries
  • 9.4. Exerc´ıcios
• Cap´ıtulo 10. Fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis
  • 10.1. Introdu¸c˜ao
  • 10.2. Derivadas parciais e planos tangentes
  • 10.3. Diferenciabilidade
  • 10.4. Matriz Hessiana, F´ormula de Taylor e pontos cr´ıticos
  • 10.5. Teorema da Fun¸c˜ao Inversa e da Fun¸c˜ao Impl´ıcita
  • 10.6. Minimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes
  • 10.7. Exerc´ıcios
• Apˆendice A. Uma introdu¸c˜ao n˜ao t˜ao formal aos fundamentos da matem´atica
  • A.1. Argumenta¸c˜ao formal
  • A.2. Demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao e contradi¸c˜ao
  • A.3. Exerc´ıcios
• Apˆendice B. Solu¸c˜oes das provas da ANPEC
• Apˆendice. Referˆencias Bibliogr´aficas

SUM ARIO´ v

Os t´opicos destas notas seguem a orienta¸c˜ao da pr´opria ANPEC. S˜ao eles:

(1) No¸c˜ao de Conjunto Rela¸c˜ao de pertinˆencia. Rela¸c˜ao de inclus˜ao, opera¸c˜oes de interse¸c˜ao, uni˜ao, diferen¸ca. Produto cartesiano. Rela¸c˜oes. (2) No¸c˜oes de Geometria Anal´ıtica Coordenadas no plano e no espa¸co. F´ormulas de distˆancia. Vetores livres no plano e no espa¸co. Produto escalar, produto vetorial, perpendicularidade. Equa¸c˜oes da reta no plano e no espa¸co, equa¸c˜oes de planos. Inequa¸c˜oes lineares. Par´abola e hip´erbole. (3) Fun¸c˜oes Fun¸c˜oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Representa¸c˜ao gr´afica. Soma, di- feren¸ca, produto, quociente e composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. (4) Algebra Linear´ Opera¸c˜oes com matrizes. Matriz inversa, transposta e adjunta. Resolu¸c˜ao de sistemas lineares. Determinantes. Regra de Cramer. Espa¸cos vetoriais. Subespa¸cos. Base e dimens˜ao. Produto interno, ortogonalidade. Proje¸c˜oes. Transforma¸c˜oes lineares. N´ucleo e imagem. Matriz de uma transforma¸c˜ao linear. Autovalores e autovetores. Polinˆomios caracter´ısticos operadores diagonaliz´aveis. Operadores auto-adjuntos, operadores ortogonais. Formas bilineares. (5) Fun¸c˜oes de uma vari´avel real - Limites. Fun¸c˜oes cont´ınuas. Fun¸c˜oes deriv´aveis. Reta tangente e reta normal. Regras de deriva¸c˜ao: derivada da soma, do produto, do quociente, regra da cadeia, derivada da inversa. Elasticidade. Derivadas sucessivas. Fun¸c˜oes trigonom´etricas. Fun¸c˜ao exponencial e logar´ıtmica. Regra de L’Hˆopital. Intervalos de concavidade e convexidade. Ponto de inflex˜ao. Polinˆomio de Taylor. (6) Integrais Teorema fundamental do c´alculo, primitiva¸c˜ao por partes e por substitui¸c˜ao. Areas planas. Integrais impr´´ oprias. (7) Sequˆencias e s´eries Convergˆencia e divergˆencia de seq¨uˆencias e s´eries. S´erie geom´etrica, teste da compara¸c˜ao, da raz˜ao, da raiz, teste da integral. S´eries alternadas. (8) Matem´atica financeira Juros simples. Juros compostos. Desconto e taxa de desconto. S´eries de pagamento. Fluxo de caixa. Sistema de amortiza¸c˜ao. (9) Fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis reais Derivadas parciais. Diferencial total. Gradiente. Regra da cadeia. Fun¸c˜oes impl´ıcitas. Teorema do envelope. Fun¸c˜oes homogˆeneas. Teorema de Euler. Con- di¸c˜oes de 1a^ e 2a^ ordens para m´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis reais. Condi¸c˜oes de 1a^ e 2a^ ordens para otimiza¸c˜ao condicionada com restri¸c˜oes de igualdade e desigualdade. Integrais duplas. Mudan¸ca de vari´aveis em integrais duplas. (10) Equa¸c˜oes diferenciais e em diferen¸cas Equa¸c˜oes lineares de 1a^ ordem e equa¸c˜oes lineares de 2a^ ordem com coefici- entes constantes. Sistema de duas equa¸c˜oes lineares de 1a^ ordem homogˆeneo com coeficientes constantes.

CAP´ıTULO 1

No¸c˜oes de Conjuntos

1 Neste cap´ıtulo falaremos sobre conjuntos, e em particular descreveremos rela¸c˜oes de per- tinˆencia e inclus˜ao, opera¸c˜oes de interse¸c˜ao, uni˜ao, diferen¸ca, produto cartesiano, e rela¸c˜oes.

1.1. Conjuntos

Esta parte do texto pretende apenas expor algumas dificuldades b´asicas, da parte talvez mais fundamental da matem´atica (excluindo-se a l´ogica). Duas referˆencias tamb´em introdu- t´orias, mas muito mais completas, s˜ao os livros do Terence Tao [ 25 ], e do Paul Halmos [ 17 ]. A primeira dificuldade encontrada ´e definir o que ´e um conjunto. Uma sa´ıda (questi- on´avel) ´e simplesmente dizer que um conjunto ´e uma “cole¸c˜ao” ou fam´ılia de objetos (ou elementos ou membros). Se um objeto x faz parte de um conjunto A, dizemos que ele per- tence `a A e escrevemos x ∈ A (o s´ımbolo ∈/ indica que quando um elemento n˜ao pertence a um conjunto). Espera-se que o uso da palavra ”cole¸c˜ao” acima n˜ao traga confus˜oes. O termo cole¸c˜ao ser´a a seguir utilizado para conjuntos cujos elementos s˜ao tamb´em conjuntos.

Considere agora dois conjuntos A e B.

• Dizemos que A est´a contido em B e escrevemos A ⊆ B se todo elemento de A ´e elemento de B. Pode-se tamb´em escrever B ⊇ A (lˆe-se B cont´em A) para indicar A ⊆ B.
• Se A n˜ao est´a contido em B escrevemos A 6 ⊆ B.
• Dizemos que dois conjuntos A e B s˜ao iguais, e escrevemos A = B se A ⊆ B e B ⊆ A.
• Se n˜ao forem iguais, dizemos que s˜ao diferentes e escrevemos A 6 = B.
• Tamb´em escrevemos A ( B se A ⊆ B mas A 6 = B. Dizemos neste caso que A est´a propriamente contido em B. O seguinte axioma ´e importante, nos garante que a “forma usual” de definir conjuntos ´e “segura,” ou seja, quando definimos um conjunto obtemos um e apenas um conjunto (mesmo que seja vazio).

Axioma 1.1.1 (da especifica¸c˜ao). Seja A um conjunto, e para cada x ∈ A, seja P (x) uma afirmativa (verdadeira ou falsa). Ent˜ao existe um ´unico conjunto B composto de todos os elementos x de A tais que P (x) ´e verdade.

(^1) Ultima Atualiza¸´ c˜ao: 17/06/

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2 1. NO ¸C OES DE CONJUNTOS˜

O conjunto acima ´e denotado por {x ∈ A : P (x) ´e verdade}. Quando o conjunto A ´e claro pelo contexto, podemos escrever simplesmente {x : P (x) ´e verdade}. Este conjunto ´e formado por todos os elementos x que estejam em A e tais que a propriedade P (x) seja ver- dadeira. Uma ´ultima forma de denotar os conjuntos ´e simplesmente descrever seus elementos entre as chaves. Por exemplo, o conjunto dos n´umeros pares pode ser denotado por

{x ∈ Z : x ´e divis´ıvel por 2}.

Sendo um pouco menos formal, pode-se escrever este mesmo conjunto como { 2 x : x ∈ Z} ou ainda enumerar todos os elementos do conjunto: {... , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,... }.

Vale aqui descrever uma situa¸c˜ao interessante dada pelo Paradoxo de Russel. E natural´ perguntar-se o qu˜ao grande podem ser os conjuntos. Por exemplo, existe um conjunto U tal que todos os conjuntos existentes sejam elementos de U? Se U existe, ent˜ao, pelo Axioma da especifica¸c˜ao (Axioma 1.1.1) podemos formar

R = {x ∈ U : x ´e conjunto e x /∈ x}.

Ent˜ao R /∈ U. De fato, se R ∈ U , ent˜ao R ∈ R ou R /∈ R. Vamos dividir em dois casos:

(1) Se R ∈ R, ent˜ao R /∈ R pois por defini¸c˜ao, R ´e formado pelos conjuntos que n˜ao se autocont´em. (2) Se R /∈ R, ent˜ao R n˜ao satisfaz as propriedades que definem R. No caso de n˜ao se autoconter. Logo R ∈ R.

Em ambas possibilidades (1) e (2) obtemos absurdos. Logo R /∈ U. Mas U ´e exatamente o conjunto que cont´em todos os outros.... Somos levados a concluir que tal conjunto U n˜ao pode existir.

O pr´oximo passo ´e definir as opera¸c˜oes usuais. Por incr´ıvel que possa parecer, o mais dif´ıcil ´e definir a uni˜ao entre dois conjuntos, e para isto ´e necess´ario um axioma.

Axioma 1.1.2 (da uni˜ao). Para qualquer cole¸c˜ao de conjuntos, existe um conjunto que cont´em todos os elementos pertencentes a pelo menos um conjunto da cole¸c˜ao.

Podemos agora definir a uni˜ao entre dois conjuntos A e B. Para tanto, note que pelo Axioma da uni˜ao, existe um conjunto U que cont´em todos os elementos de A e de B. Definimos ent˜ao A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B}. Observe entretanto a seguinte armadilha. O Axioma da uni˜ao n˜ao garante que o tal conjunto contendo A e de B ´e ´unico, somente garante que existe. Podemos ter por exemplo um outro conjunto Uˆ contendo A e de B. Seja agora C = {x ∈ Uˆ : x ∈ A ou x ∈ B}. Para a uni˜ao ser definida de forma ´unica, temos que garantir que C = A ∪ B. Isto ´e verdade, e para provar basta argumentar que C ⊆ A ∪ B e C ⊇ A ∪ B. Com o Axioma da especifica¸c˜ao, podemos definir as seguintes opera¸c˜oes.

• O conjunto interse¸c˜ao entre A e B ´e A ∩ B = {x ∈ A : x ∈ B}.
• O conjunto diferen¸ca A menos B ´e A\B = {x ∈ A : x /∈ B}. O conjunto resultante tamb´em denotado por A − B e chamado de complemento de B em rela¸c˜ao `a A.
• Quando ´e claro quem ´e o conjunto A, denotamos A\B por C(B), e o chamamos de complemento de B.

4 1. NO ¸C OES DE CONJUNTOS˜

1.2. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 1.1. Mostre que (1) {x ∈ R : x^2 ≥ 0 } = R. (2) {x ∈ R : x > 0 } ( {x ∈ R : x^2 ≥ 0 }. (3) R 6 ⊆ {x ∈ R : x^2 ≥ 0 }. Exerc´ıcio 1.2. Mostre a regra de De Morgam dada em (1.1.1). Exerc´ıcio 1.3. Mostre que {a, a} = {a}. Exerc´ıcio 1.4. Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, i.e., A ∩ B = ∅. Seja X = A ∪ B. Mostre que A = X\B e B = X\A.

Exerc´ıcio 1.5. Sejam A e B dois conjuntos, e C = (A\B) ∪ (B\A). Mostre que C = (A ∪ B)(A ∩ B) e que C ∩ A ∩ B = ∅.

Exerc´ıcio 1.6. Mostre que a rela¸c˜ao de pertinˆencia (⊆) entre conjuntos define uma ordena¸c˜ao parcial, e que a rela¸c˜ao de maior nos reais define uma ordena¸c˜ao simples.

CAP´ıTULO 2

No¸c˜oes de geometria anal´ıtica

1 Neste cap´ıtulo falaremos sobre no¸c˜oes como coordenadas, distˆancia, vetores, produtos escalar e vetorial, perpendicularidade, equa¸c˜oes da reta no plano e espa¸co, equa¸c˜oes de planos, inequa¸c˜oes lineares, par´abolas, hip´erboles. Consideraremos o Rn^ o como o conjunto das n-´uplas ordenadas de n´umeros reais, como definido abaixo.

Defini¸c˜ao 2.0.1. Seja Rn^ o conjunto das n-´uplas ordenadas de n´umeros reais, i.e,

Rn^ = {x = (x 1 ,... , xn) : xi ∈ R para i = 1,... , n}.

Definimos ent˜ao as opera¸c˜oes produto por escalar e soma da seguinte forma:

αx = (αx 1 ,... , αxn), x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn),

onde x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn) est˜ao em Rn, e α ∈ R. Pode-se checar que Rn^ ´e espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes acima descritas.

2.1. Coordenadas

Seja B{v 1 , v 2 ,... , vn} base do Rn. Ent˜ao, segundo o Teorema 3.5.11, todo vetor do Rn pode ser escrito de forma ´unica como combinina¸c˜ao linear dos vetores de B, i.e., dado um vetor w ∈ R qualquer, existem n´umeros reais α 1 ,... , αn que s˜ao os ´unicos tais que

w = α 1 v 1 + · · · αnvn.

Dizemos ent˜ao que α 1 ,... , αn s˜ao as coordenadas de w na base B.

A base mais simples que existe ´e a base canˆonica, dada por {e 1 ,... , en}, onde, para i ∈ { 1 ,... , n}, o vetor ei ´e definido tal que a i´esima coordenada vale um e as demais coordenadas valem zero, i.e.,

e 1 = (1, 0 , 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 , 0 ,... , 0),... , en = (0, 0 ,... , 0 , 1).

Chamamos este vetores de vetores da base canˆonica. Note que podemos escrever um ponto x = (x 1 , x 2 ,... , xn) ∈ Rn^ como x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + xnen. Neste caso, x 1 ,... , xn s˜ao as coordenadas de x na base canˆonica. Existe uma identifica¸c˜ao natural dos pontos em Rn^ com suas coordenadas na base canˆo- nica. Usaremos neste texto a seguinte nota¸c˜ao. Para cada x = (x 1 ,... , xn) ∈ Rn, indicaremos

(^1) Ultima Atualiza¸´ c˜ao: 18/06/

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2.3. PRODUTO VETORIAL 7

Em R^2 , se x = (x 1 , x 2 ), e y = (y 1 , y 2 ), o produto interno canˆonico ´e dado por x · y = ~xT^ ~y = x 1 y 1 + x 2 y 2.

Em Rn, para x = (x 1 ,... , xn), e y = (y 1 ,... , yn), definimos

x · y = ~xT^ ~y = x 1 y 1 + · · · + xnyn.

Note que podemos definir as normas euclidianas usando o produto interno

(2.2.1) ‖x‖ =

x · x =

x^21 + · · · + x^2 n Assim como no caso de norma, um produto interno n˜ao precisa ser o canˆonico, basta obedecer algumas “regras”. Veja a Defini¸c˜ao 3.6.1. O que ´e interessante ´e que a rela¸c˜ao entre norma e produto interno vista em (2.2.1) ´e somente um exemplo do caso mais geral. Sempre que temos um produto interno, podemos definir uma norma. Isto ser´a visto no Cap´ıtulo 3. Abaixo temos a desigualdade de Cauchy–Schwartz no Rn. Deixaremos a demonstra¸c˜ao para o caso geral visto no Teorema 3.6.3.

Teorema 2.2.1. Considere a norma e o produto interno canˆonicos do Rn. Ent˜ao vale a desigualdade de Cauchy–Schwartz

(2.2.2) |x · y| ≤ ‖x‖‖y‖ para todo x, y ∈ Rn.

Al´em disto, a igualdade |x · y| = ‖x‖‖y‖ vale se e somente se x = αy para algum α ∈ R.

Finalmente, dados dois vetores x, y do Rn, definimos o cosseno do ˆangulo formado por eles por

(2.2.3) cos θ =

x · y ‖x‖‖y‖

Dizemos ent˜ao que dois vetores x, y s˜ao ortogonais, ou perpendiculares, se x · y = 0. Note que devido `a desigualdade de Cauchy-Schwartz (2.2.2) que o cosseno toma sempre valores entre −1 e 1.

2.3. Produto vetorial Uma outra opera¸c˜ao com vetores ´e o produto vetorial. Sejam x, y vetores em R^3. Ent˜ao definimos x × y = (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ).

Uma outra forma de escrever ´e

x × y =

det

x 2 x 3 y 2 y 3

, − det

x 1 x 3 y 1 y 3

, det

x 1 x 2 y 1 y 2

onde det(A) denota o determinante da matriz A. Algumas propriedades do produto vetorial s˜ao dadas abaixo:

(1) x × y = −y × x (2) x × y ´e ortogonal a x e y (3) (αx) × y = α(x × y) = x × (αy), para todo α ∈ R (4) (x + y) × z = x × z + y × z (5) ‖x × y‖^2 = ‖x‖^2 ‖y‖^2 − (x · y)^2 (6) ‖x × y‖ = ‖x‖‖y‖ sin θ

8 2. NO ¸C OES DE GEOMETRIA ANAL´˜ ıTICA

(7) x × x = 0

(8) x · (y × z) = det

x y z

 (^) = det

x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3

(9) x × y = 0 se e somente se x = αy para algum α ∈ R (10) e 1 × e 2 = e 3 , e 2 × e 3 = e 1 , e 3 × e 1 = e 2

2.4. A reta no plano e espa¸co

Uma reta ´e um conjunto de pontos do Rn^ que pode ser definida por um ponto a ela pertencente, e a uma dire¸c˜ao dada. Se chamamos de r uma reta, seja x ∈ r e um vetor v na dire¸c˜ao de r. Definimos ent˜ao

r = {x + tv : t ∈ R}.

Analogamente, se x, y s˜ao dois pontos de r, ent˜ao v = x − y determina a dire¸c˜ao da reta.

Exemplo 2.3. Seja r 1 reta dada por

r 1 = {(1, 2) + t(3, −1) : t ∈ R}.

Ache r 2 passando por (1, 1) e paralela a r 1. Solu¸c˜ao. A solu¸c˜ao ´e simples pois como r 2 ´e paralelaa r 1 , ambas tem a mesma dire¸c˜ao, que no caso ´e (3, −1). Como (1, 1) ∈ r 2 , ent˜ao r 2 = {(1, 1) + t(3, −1) : t ∈ R}.

O exemplo abaixo lida com interse¸c˜ao de retas.

Exemplo 2.4. Determine se as retas r 1 = {(0, 0 , 1)+t(1, − 1 , 3) : t ∈ R} e r 2 = {(1, 2 , 0)+ t(0, 3 , −1) : t ∈ R} se interseptam, e em qual ponto. Solu¸c˜ao. Note que as retas se interseptam se e somente se elas tiverem um ponto em comum, ou seja se existirem t, s tais que (1, − 2 , 1) + t(1, − 1 , 3) = (1, 2 , 0) + s(0, 3 , −1). Isto equivale a resolver o sistema

1 + t = 1; − 2 − t = 2 + 3s; 1 + 3t = −s.

Este sistema de equa¸c˜oes pode ter uma, zero ou infinitas solu¸c˜oes.

No exemplo a seguir, consideramos como, dada a equa¸c˜ao reta, podemos determinar sua dire¸c˜ao.

Exemplo 2.5. Seja agora um reta r no plano, i.e., no R^2 , dada por ax + by + d = 0, onde a e b n˜ao s˜ao simultaneamente nulos. Caso b = 0, temos que a reta ´e simplesmente dada por x − d/a, ou seja, ´e a reta vertical dada por x constante. Suponha agora b 6 = 0. Para determinarmos sua dire¸c˜ao, vamos achar dois pontos pertencentes `a r. Para tal, basta determinar o valos de y quando x for igual a zero e a um, por exemplo. No caso temos que (0, −d/b) e

1 , (−d − a)/b

pertencem `a r. Logo, v =

1 , (−d − a)/b

− (0, −d/b) = (1, −a/b)

´e paralelo a r. Note que −a/b ´e exatamente o n´umero que indica a inclina¸c˜ao de r. E´ interessante e ´util notar que (a, b) ´e vetor perpendiculara r.

10 2. NO ¸C OES DE GEOMETRIA ANAL´˜ ıTICA

Exemplo 2.8. Ache os pontos de R^2 tais que

3 x + 4y − 5 ≤ 0 , y ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0.

E um problema t´^ ´ ıpico tentar agora minimizar uma fun¸c˜ao linear nalguma regi˜ao como a dada no exemplo 2.8.

Exemplo 2.9. Ache o m´ınimo de p(x, y) = 2x + 3 − 5 na regi˜ao determinada no exem- plo 2.8. Solu¸c˜ao. Note que as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao p s˜ao dadas por retas no plano. Neste caso, para achar os pontos de m´aximo e m´ınimo de p, basta procurar entre os v´ertices. Este ´e apenas um exemplo do caso geral, como enunciado no resultado a seguir.

Teorema 2.6.1. Se uma regi˜ao admiss´ıvel D definida por desigualdades lineares ´e li- mitada, ent˜ao m´aximos e m´ınimos de p(x, y) = ax + by + c em D ocorrem nos v´ertices de D.

2.7. Cˆonicas no plano

Uma cˆonica no plano ´e o conjunto de pontos {(x, y) ∈ R^2 : ax^2 +bxy +cy^2 +dx+ey +f = 0 }, onde a,... , f ∈ R. Pedimos ainda que a, b ou c seja diferente de zero. Uma outra forma de exigir isto ´e impor que |a| + |b| + |c| 6 = 0. Se definirmos a forma quadr´atica Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 , e a forma linear F (x, y) = dx + ey, temos que Q(x, y) + F (x, y) + f = 0. A seguir mostramos exemplos de cˆonicas em sua forma reduzida.

Exemplo 2.10. x^2 a^2

y^2 b^2

= 1 (elipse),

x^2 a^2

y^2 b^2

= 1 (hip´erbole), x^2 − dx = 0 (par´abola).

No caso da elipse e da hip´erbole, impomos que a e b sejam n˜ao nulos. No caso da par´abola, a imposi¸c˜ao ´e que d seja n˜ao zero.

Podemos ainda ter casos degenerados, como o exemplo a seguir nos mostra.

Exemplo 2.11. O caso da hip´erbole degenerada ´e dado, para a e b n˜ao nulos, por (x^2 /a^2 ) − (y^2 /b^2 ) = 0, o que implica em y = ±bx/a.

No caso da par´abola degenerada, para a 6 = 0, temos ax^2 − f = 0, e portanto x = ±

f /a. Elipses degeneradas s˜ao dadas por ax^2 + by^2 = 0, com a e b positivos. Logo x = y = 0 ´e o ´unico ponto da cˆonica. Finalmente, temos cˆonicas dadas por conjuntos vazios (elipses e par´abolas degeneradas), se ax^2 + by^2 + r^2 = 0 e r 6 = 0, a ≥ 0 e b ≥ 0, e a ou b s˜ao n˜ao nulos.

Como dissemos, todos os exemplo acima est˜ao em sua forma reduzida, mas este n˜ao ´e a forma mais geral poss´ıvel. Por´em, todas as cˆonicas podem ser reescritas em forma reduzida ap´os mudan¸cas de coordenadas. Veja o exemplo abaixo.

2.7. C ONICAS NO PLANOˆ 11

Exemplo 2.12. (Boldrini) Seja a cˆonica dada por 2x^2 +2y^2 +4xy+

2 x+

2 y−8 = 0. Para reescrevˆe-la na forma reduzida, seguimos os passos abaixo. Passo i: reescrever a cˆonica em forma matricial: [ x y

]

A

[

x y

]

[

]

[

x y

]

− 8 = 0, onde A =

[

]

Passo ii: diagonalizar a matriz A. Primeiro vemos que A tem como autovalores λ 1 = 0 e λ 2 = 4 e os correspondentes autovetores

~v^1 =

[

]

, ~v^2 =

[

]

Note que se definirmos a matriz M =

[

~v^1 ~v^2

]

, ent˜ao M −^1 = M e [ 0 0 0 4

]

= M −^1 AM = M AM.

Se (x 1 , y 1 ) s˜ao as coordenadas de (x, y) na base {v^1 , v^2 }, i.e., se

~x = x 1 ~v^1 + y 1 ~v^2 = M

[

x 1 y 1

]

ent˜ao

Q(x, y) =

[

x y

]

A

[

x y

]

[

x 1 y 1

]

M T^ AM

[

x 1 y 1

]

[

x 1 y 1

]

[

] [

x 1 y 1

]

Passo iii: reescrever a parte linear em termos de (x 1 , x 2 ). Note que temos [ 4

]

[

x y

]

[

]

M

[

x 1 y 1

]

Passo iv: eliminar as constantes. Note que em termos de (x 1 , x 2 ) a cˆonica ´e dada por [ x 1 y 1

]

[

] [

x 1 y 1

]

[

]

M

[

x 1 y 1

]

Reescrevendo a express˜ao acima em sua forma n˜ao matricial, temos que

y 12 + 2x 1 + 4y 1 − 2 = 0.

Completando quadrados temos que (y 12 + 4y 1 + 4) + 2x 1 − 6 = 0, e portanto

(y 1 + 2)^2 + 2(x 1 − 3) = 0.

Introduzindo novas coordenadas y 2 = y 1 + 2 e x 2 = x 1 − 3 obtemos que

y^22 + 2x 2 = 0,

e a cˆonica ´e uma par´abola.

As contas acima podem ser feitas em geral, como mostra o resultado abaixo.

Teorema 2.7.1. Seja a cˆonica definida por ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0, i.e., [ x y

]

A

[

x y

]

[

d e

]

[

x y

]

• f = 0, onde A =

[

a b/ 2 b/ 2 c

]

e sejam λ 1 e λ 2 os autovalores de A. Ent˜ao

CAP´ıTULO 3

Algebra Linear^ ´

1 Neste cap´ıtulo trataremos resumidamente de v´arias no¸c˜oes de ´algebra linear, como ope- ra¸c˜oes com matrizes, matriz inversa, transposta e adjunta, resolu¸c˜ao de sistemas lineares, determinantes, regra de Cramer, espa¸cos vetoriais e subespa¸cos, base e dimens˜ao, produto interno, ortogonalidade, proje¸c˜oes, transforma¸c˜oes lineares, n´ucleo e imagem, matriz de uma transforma¸c˜ao linear. Autovalores e autovetores, polinˆomios caracter´ısticos, operadores dia- gonaliz´aveis, operadores auto-adjuntos, operadores ortogonais, e formas bilineares.

3.1. Opera¸c˜oes com matrizes

Denotaremos por Rm×n^ o espa¸co das matrizes reais com m linhas e n colunas. Se A ∈ Rm×n, Denotaremos por Ai,j o elemento da i-´esima linha e j-´esima coluna de A. A soma e multiplica¸c˜ao de matrizes ´e definida da forma usual, isto ´e, se A, B ∈ Rm×n, ent˜ao C = A + B ∈ Rm×n^ ´e dada por Ci,j = Ai,j + Bi,j. A multiplica¸c˜ao para matrizes D ∈ Rm×n, E ∈ Rn×o, ´e definida tal que C = AB ∈ Rm×o^ ´e dada por Ci,j =

∑n k=1 Ai,kBk,j^. Chamaremos de matriz identidade, e denotaremos por I, `a matriz tal que Ii,i = 1 e Ii,j = 0 se i 6 = j, para i, j = 1,... , n.

3.2. Matriz inversa, transposta e adjunta

Dada A ∈ Rn×n, se existir B ∈ Rn×n^ tal que AB = I e BA = I, ent˜ao dizemos que A ´e invert´ıvel e que B ´e a inversa de A. Escrevemos ainda B = A−^1. Uma forma de se computar a matriz inversa de A, quando esta existir, ´e via matriz dos cofatores. Seja Aˆi,j^ ∈ Rn−^1 ×n−^1 obtida de A “retirando” de A sua i-´esima linha e j-´esima coluna. Por exemplo, dada

A =

temos que

Aˆ^1 ,^1 =

[

]

, Aˆ^1 ,^2 =

[

]

, Aˆ^1 ,^3 =

[

]

, Aˆ^2 ,^1 =

[

]

, Aˆ^2 ,^2 =

[

]

A^ ˆ^2 ,^3 =

[

]

, Aˆ^3 ,^1 =

[

]

, Aˆ^3 ,^2 =

[

]

, Aˆ^3 ,^3 =

[

]

(^1) Ultima Atualiza¸´ c˜ao: 18/06/

13

14 3. ALGEBRA LINEAR´

Definimos ∆ ∈ Rn×n^ como sendo a matriz cofator de A, onde ∆i,j = (−1)i+j^ det Aˆi,j^. No caso do exemplo acima, temos

det Aˆ^1 ,^1 − det Aˆ^1 ,^2 det Aˆ^1 ,^3 − det Aˆ^2 ,^1 det Aˆ^2 ,^2 − det Aˆ^2 ,^3 det Aˆ^3 ,^1 − det Aˆ^3 ,^2 det Aˆ^3 ,^3

Observa¸c˜ao. A matriz ∆T^ ´e tamb´em chamada de adjunta. E um p´´ essimo nome, que provavelmente deriva de uma tradu¸c˜ao infeliz do inglˆes adjugate. O termo matriz adjunta ´e utilizado mais comumente como sendo simplesmente a transposta de uma matriz (no caso real). Entretanto, na ANPEC, pode aparecer o termo “matrix adjunta” para denominar ∆T^. Ap´os o cˆomputo de ∆ temos que se A for invert´ıvel, ent˜ao

A−^1 =

∆T

det A

No exemplo acima temos que det A = 0, e portanto a matriz n˜ao ´e invert´ıvel. Na verdade temos o importante resultado que afirma que A ´e invert´ıvel se e somente se seu determinante ´e n˜ao nulo. Note que para conferir se uma matriz ´e ou n˜ao inversa de outra, basta executar a mul- tiplica¸c˜ao matricial e checar se resulta na matriz identidade. Por exemplo, se A e B s˜ao invert´ıveis, ent˜ao (AB)−^1 = B−^1 A−^1 pois

(AB)(B−^1 A−^1 ) = ABB−^1 A−^1 = AA−^1 = I, (B−^1 A−^1 )(AB) = BAA−^1 B−^1 = BB−^1 = I.

Voltando ao caso geral, dada A ∈ Rm×n^ definimos a matriz transposta de A denotada por A′^ (ou AT^ ), onde A′ i,j = Aj,i. Neste caso, as linhas se tornam colunas, e as colunas se tornam linhas. Note que se A ∈ Rm×n^ e B ∈ Rn×o, e al´em disto, C = AB, ent˜ao C′^ = B′A′ pois

C i,j′ = Cj,i =

∑^ n

k=

Aj,kBk,i =

∑^ n

k=

B′ i,kA′ k,j.

No caso mais geral, considere dois espa¸cos vetoriais V e W , que tenham produtos internos 〈·, ·〉V e 〈·, ·〉W , e seja T : V → W operador linear. Definimos ent˜ao a transposta de T como sendo T ′^ : W → V tal que

(3.2.1) 〈v, T ′w〉V = 〈T v, w〉W para todo v ∈ V, w ∈ W.

Na verdade, na defini¸c˜ao acima estamos considerando Espa¸cos de Hilbert, mas isto ´e outra conversa. No caso V = W = Rn^ com o produto interno usual, se tomarmos v = ei e w = ej em (3.2.1), temos [T ]′ i,j = [T ]j,i (onde [T ] ´e a representa¸c˜ao matricial de T na base canˆonica).

3.3. Resolu¸c˜ao de sistemas lineares

Seja A ∈ Rm×n^ e ~b ∈ Rm. Queremos descobrir se existe, e neste caso, quem ´e, ~x ∈ Rn tal que A~x = ~b (chamado de sistema linear ). Este problema pode n˜ao ter solu¸c˜ao (0x = 1), ter solu¸c˜ao ´unica (2x = 1), ou ter infinitas solu¸c˜oes (x + y = 1). Note entretanto que se A

for invert´ıvel, ent˜ao o sistema tem solu¸c˜ao ´unica dada por ~x = A−^1 ~b.