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G r u p o M a t e m á t i c o s
Μ α τ ξ Μ α τ γ κ φ δ
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E~mail: matematicafema@googlegroups.com
Luiz Francisco Batista Sampaio
sanuzukesagara@gmail.com
Séries Infinitas
Definição de Série Infinita: Se { u n}é uma seqüência e
s n = u 1 + u 2 + u 3 +... +un
então { u n}é uma seqüência de somas parciais denominada série infinita e se denota por
n 1 2 3 n n 1
u u u u... u...
=
∑^ =^ +^ +^ +^ +^ +
Os números u 1 , u 2 , u 3 , ... , u (^) n, ... são os termos da série infinita.
Definição da soma de uma Série Infinita: Considere que (^) n
n 1
u
=
∑ denota uma série infinita dada para
a qual { s n}é a seqüência de somas parciais. Se
x n
l i m s →+ ∞
existe e é igual a S, então a série converge e S
é a soma da série. Se x n
l i m s →+ ∞
não existe, então a série é divergente, e a série não tem soma.
Teorema: Seja c qualquer constante diferente de 0
u
=
∑ é convergente e sua suma é^ S, então a série^ n
n 1
c u
=
∑ , também é convergente e
sua soma é c. S.
u
=
∑ é divergente, então a série^ n
n 1
c u
=
∑ , também é divergente.
Teorema: Se (^) n
n 1
a
=
∑ e^ n
n 1
b
=
∑ são séries infinitas convergentes cujas somas são^ S^ e^ T, respectivamente,
então
n n n 1
a b
=
∑ + é uma série convergente e sua suma é^ S + T.
• ( n n)
n 1
a b
=
∑ − é uma série convergente e sua soma é^ S + T.
Teorema: Se a série (^) n
n 1
a
=
∑ é convergente e a série^ n
n 1
b
=
∑ é divergente, então^ (^ n n)
n 1
a b
=
∑ ± é uma série
divergente.
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Teorema: Se (^) n
n 1
u
=
∑ é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser
reagrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante, também será convergente e terá a
mesma soma da série original. Definição de Função: Se (^) n
n 1
u
=
∑ é uma série convergente de termos
positivos, então a ordem dos termos podem ser modificados, e a série resultante também será
convergente e terá a mesma soma da série original.
Teorema: Se (^) n
n 1
a
=
∑ e^ n
n 1
b
=
∑ são séries infinitas, que diferem unicamente em seus primeiros m termos
(é dizer, a (^) k = bk se k > m), então as duas séries são convergentes ou ambas são divergentes.
Teorema: uma série infinita de termos positivos é convergente se, e somente se, sua seqüência de
somas parciais tiver um limitante superior.
Definição de Série Alternada:
Se a (^) n> 0 para todos os números inteiros positivos n, então a série
n 1 n 1 n 1 2 3 4 n n 1
1 a a a a a... 1 a...
=
∑^ −^ =^ −^ +^ −^ +^ − −^ +
e a série
n n n 1 2 3 4 n n 1
1 a a a a a... 1 a...
=
∑^ −^ = −^ +^ −^ +^ −^ + −^ +
denominam-se séries alternadas
Definição do Erro depois de k termos:
Se uma série infinita é convergente e sua soma é S, então o erro depois de k termos, se obtém ao
aproximar a soma da série mediante a k-éssima soma parcial k s , denotado por k R é
k n R = S −s
Teorema: Considere a série alternada ( )
n 1 n n 1
1 a
=
∑ − ou^ (^ )
n n n 1
1 a
=
∑ − , aonde^ a^ n>^0 e^ a^ n + 1 >^ an para
todos os números inteiros positivos n. Se (^) n x
l i m a 0 →+ ∞
=. Se R (^) k é o erro obtido ao aproximar a soma da
série mediante a soma dos primeiros k termos, então R (^) k < a (^) k 1+.
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Teorema: Critério de Comparação por Limite
Seja as série (^) n
n 1
u
=
∑ e^ n
n 1
v
=
∑ duas séries de termos positivos
n x n
u l i m c 0 →+ ∞ (^) v
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.
n x n
u l i m 0 →+ ∞ (^) v
= , e se (^) n n 1
v
=
∑ é uma série convergente, então^ n
n 1
u
=
∑ é uma série convergente. Se
n n 1
v
=
∑ é uma série divergente nada podemos concluir.
n x n
u l i m →+ ∞ (^) v
= + ∞ , e se (^) n n 1
v
=
∑ é uma série divergente, então^ n
n 1
u
=
∑ é uma série divergente. Se
n n 1
v
=
∑ é uma série convergente nada podemos concluir.
Teorema: Critério da Integral
Seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para todo x ≥ 1. Então a série infinita
n 1
f (n) f 1 f 2 f 3... f n...
=
∑^ =^ +^ +^ +^ +^ +
é convergente se a integral
1
f (x)d x
existe, e é divergente si
b
b 1
l i m f (x)d x →∞
Teorema: Critério da Série Alternada
Suponha que se tem a série alternada ( )
n 1 n n 1
1 a
=
∑ − ou^ (^ )
n n n 1
1 a
=
∑ − , aonde^ a^ n>^0 e^ a^ n + 1 >^ an para
todos os números inteiros positivos n. Se (^) n x
l i m a 0 →+ ∞
= , então a série alternada é convergente.
Teorema: Critério da Razão
Seja as série (^) n
n 1
u
=
∑ uma série infinita para a qual cada^ u^ n é diferente de zero:
u l i m L 1 u
→+ ∞
= < , então a série é absolutamente convergente.
u l i m L 1 u
→+ ∞
= > ou se n 1 x n
u l i m u
→+ ∞
= + ∞ então a série é divergente.
u l i m 1 u
→+ ∞
= , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.
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Teorema: Critério da Raiz
Seja as série (^) n
n 1
u
=
∑ uma série infinita para a qual cada^ u^ n é diferente de zero:
l i m u (^) + L 1 →+ ∞
= < , então a série é absolutamente convergente.
l i m u (^) + L 1 →+ ∞
= > ou se n^ n 1 x
l i m u (^) + →+ ∞
= + ∞ então a série é divergente.
l i m u (^) + 1 →+ ∞
= , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério.
Teorema: Critério Raabe´s
Seja as série (^) n
n 1
u
=
∑ uma série infinita dada para o qual^
n x n 1
u l i m 1 →+ ∞ (^) u+
=. Então:
u l i m n 1 P 1 u
→+ ∞
−^ =^ >
ou n 1 x n
u l i m n 1 u
→+ ∞
−^ = + ∞
então a série é absolutamente
convergente.
n 1 x n
u l i m n 1 P 1 u
→+ ∞
−^ =^ <
ou
n 1 x n
u l i m n 1 u
→+ ∞
−^ = − ∞
então a série é divergente.
u l i m n 1 1 u
→+ ∞
−^ =
ou n 1 x n
u l i m n 1 u
→+ ∞
−^ = ∃
, não se pode concluir nada acerca da
convergência a partir deste critério.
Resumos dos Critérios de Convergência e Divergência de Séries Infinitas
A fim de adquirir destreza no reconhecimento e aplicação do critério apropriado, se requer
considerável pratica, a qual se obtém realizando vários exercícios. Como ajuda, são listados abaixo
algum passos e se aconselha que sejam aplicados na ordem indicada. Se algum passo em particular não
é aplicável o não pode levá-lo a nenhuma conclusão, continue com o próximo passo. Algumas vezes
poderá ser aplicado mais de um critério, contudo, deve-se aplicar o mais eficaz.
Modelo I
1-) Calcule o (^) n x
l i m u →+ ∞
. Se (^) n x
l i m u 0 →+ ∞
≠ , então a série diverge. Se (^) n x
l i m u 0 →+ ∞
= , não se pode concluir nada
através deste passo;
2-) Examine a série a fim de determinar se corresponde a um dos seguintes tipos especiais:
n 1
n 1
a r
=
∑. Convergente para^
a
1 − r
se r < 1. Divergente si r ≥ 1 ;
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7-) Aplique o teste de comparação por limite: seja as série (^) n
n 1
u
=
∑ e^ n
n 1
v
=
∑ duas séries de termos
positivos
n x n
u l i m c 0 →+ ∞ (^) v
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.
n x n
u l i m 0 →+ ∞ (^) v
= , e se (^) n n 1
v
=
∑ é uma série convergente, então^ n
n 1
u
=
∑ é uma série convergente. Se
n n 1
v
=
∑ é uma série divergente nada podemos concluir.
n x n
u l i m →+ ∞ (^) v
= + ∞ , e se (^) n n 1
v
=
∑ é uma série divergente, então^ n
n 1
u
=
∑ é uma série divergente. Se
n n 1
v
=
∑ é uma série convergente nada podemos concluir.
Modelo II
A seguintes etapas podem ser freqüentemente utilizadas para determinar se uma serie infinita (^) n
n 1
u
=
∑ é
convergente ou divergente:
1-) se
n 1 u (^) n a r
− = , sendo a ≠ 0 , é uma série geométrica, onde:
- Se r < 1 , a série é convergente e sua soma é
a
1 − r
- Se r ≥ 1 , a série é divergente.
2-) Se un = a (^) n − a (^) n 1− e (^) n x
l i m a 0 →∞
= , então utilizar o método do encurtamento da série (telescoping serie)
e cuja soma é a 0.
3-) Se (^) n p
a u n
= , sendo a ≠ 0 , a série é uma constante multiplicada por uma p-série.
- Se p > 1 , a série é convergente;
- Se p ≤ 1 , a série é divergente.
4-) Calculando (^) n x
l i m u L →+ ∞
- Se L ≠ 0 , a série é divergente;
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- Se L = 0 e a série é uma série alternada, aplica-se o critério da série alternada: se u (^) n + 1 ≤un
para todo n pertencente aos inteiros positivos, a série alternada é convergente. Caso contrário
nada pode se concluir.
5-) Se n u contem os fatores n! ou
n a , aplica-se o critério da razão. Calculando n 1 x n
u l i m L u
→+ ∞
- Se L = ∃ , nada se pode concluir;
- Se L < 1 , a serie é absolutamente convergente;
- Se L > 1 ou L = + ∞ , a série é divergente;
- Se L = 1 , aplica-se o critério de Raabe’s. Calculando
n x n 1
u l i m n 1 P →+ ∞ (^) u+
−^ =
o Se P > 1 ou P = + ∞ , a serie é absolutamente convergente;
o Se P < 1 ou P = − ∞ , a serie é divergente;
o Se P = 1 ou P ∃ nada se pode concluir.
6-) Se u (^) n contem os fatores
n n , aplica-se o critério da raiz. Calculando n^ n 1 x
l i m u (^) + L →+ ∞
- Se L < 1 , a série é absolutamente convergente;
- Se L > 1 ou L = + ∞ , a série é divergente;
- Se L = 1 ou L ∃ ^, nada se pode concluir.
7-) Se u (^) n> 0 para todo n pertencente aos inteiros positivos, aplica-se o critério por comparação ou o
critério de comparação por limite comparando-a com uma p-série ou uma série geométrica.
- Critério de Comparação: Seja a série (^) n n 1
u
=
∑ uma série de termos positivos
o Se (^) n n 1
v
=
∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e^ u^ n ≤^ vn para todos os
números inteiros positivos n, então (^) n n 1
u
=
∑ é convergente.
o Se (^) n n 1
w
=
∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e^ un^ ≥^ wn para todos os
números inteiros positivos n, então (^) n n 1
u
=
∑ é divergente.
- Critério de Comparação por Limite: Seja as série (^) n n 1
u
=
∑ e^ n
n 1
v
=
∑ duas séries de termos
positivos
o Se
n x n
u l i m c 0 →+ ∞ (^) v
= > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes.
