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a20 Resistência dos Matericis Cop. 4. conjugado M (Fig. 4.4). Usando o princípio da superposição; poderemos combinar as tensões obtidas para o caso de carga centrada com as tensões provocadas pela flexão pura, que logo saberemos obter e, com isso, encontrar a distribuições de tensões para a carga excêntrica, O estudo da flexão pura tem também um papel importante na análise das vigas. que são peças prismáticas submetidas a cargas transversais ao eixo. Consideremos, por exemplo, a viga em balanço 4B, que suporta uma carga concentra- da P na sua extremidade livre (Fig. 4.59). Se passarmos uma seção transversal em C, a uma distância de A, vemos pela análise do diagrama de corpo livre de AC (Fig. 4.55) que os esforços internas nessa seção consistem ema uma força P' de mesma intensidade e sentido oposto de P,e de um momenta M de intensidade M = Px. Coma veremos no Cap. 5, a distribuição de tensões de cisalhamento nessa sação depende de P”, enquanto a distribuição de tensões normais pode ser obtida a partir de M, como se a viga estivesse submetida à flexão pura. 43 ANÁLISE PRELIMINAR DAS TENSÕES NA FLEXÃO PURA Vamos utilizar os métodos da estárica para deduzir as relações que devem ser sasisfeitas pelas tensões que atuam em uma seção transversal de uma peça prismática em flexão pura. Vamos chamar de «, à tensão normel em um ponto da seção, e de te, e to às componentes da tensão de cisalhamentol nessa 'seção. O sistema de esforços internos que atuam na seção deve ser equivalente ao conjugado M (Fig. 4.6). Sabemos, através da estática, que ura conjugado M consiste reslmente de duas forças iguais e de sentidas opostos. A soma das componentes dessas forças em qualquer direção é igual a zero. Além disso, o momento do conjugado, em relação a qualquer eixo perpendicular a seu plano, é sempre o mesmo; o momento do conjugado, em relação a qualquer eixo contido no seu piano, é igual a zero. Adotando o sistema de eixos como indica a Fig. 4.6, podemos expressar a equivalência do sistema de esforços internos com o conjugado M. Temos que a soma das componentes a dos momentos dos esforços elementares deve ser igual à soma das componentes e dos momentos do conjugado M: EF, « 0 Jfodá=o (4.2) 2M, = 0 Jzo dA O (4.2) EM, a M Jt-xo) dá » M (43) Ainda poderíamos escrever mais três equações adicionais, reletivas às com- ponentes das tensões de cisalhamento. 2 As componentes da tensão de cisalhamento são ambas nulos, como veremos na próxima seção. * Cop.4 Ficção puro a21 Fig. 4.6 Precisamos fazer dois comentários neste ponto: em prímeiro lugar, o sinal negativo na Eq. 4.3. Esse sinal indica o fato de que a tensão de tração (a, > 0) provoca um momento negativo (sentido horário) da força normal 9, * dÁ em relação 20 eixo z. Em segundo lugar, devemos observar que a Eq. 4.2 se torna simples se a peça prismática é simétrica em relação ao plano do conjugado M, e se adotarmos 2 posição do eixo como indicada. A distribuição de forças normais nessa seção será simétrica ao eixo). Mais uma vez notamos que a distribuição real de tensões em uma seção transversal não pode ser determinada pela estática somente, sendo um problema estaticamente indeterminado. Lançando mão da análise das deformações, conse- guiromos os dados que permitirão estabelecer a distribuição de tensões: 44 DEFORMAÇÕES EM UMA BARRA SIMÉTRICA NA FLEXÃO PURA Passamos à analisar as deformações que aparecem em uma barra prismática que contém um plano de simetria. Para se ter flexão pura, submetemos a. barra à ação dos conjugados M e M”, que atuam no pleno de simetria, com intensidades iguais e sentidos opostos (Fig. 4.7). A barra se flexiona sob a ação dos conjugados, mas permanece simétrica em relação ao plano. Além disso, como o momento fletor M é o mesmo em qualquer seção, a barra se flexiona de maneira uniforme. Desse modo, à linha 42, segundo a qual a face superior da barra intercepta o plano dos conjugados, tem uma curvatura constante. Em outras palavras, a linha AB, que era inicialmente uma linha reta, se transforma em um arco de circunferência de centro C, do mesmo modo que à nha A' B”, na face inferior da barra (a figura não indica essa linha). Podemos notar que à linha 48 diminui de comprimento quando a barra flexiona da maneira indicada, isto é, quando M > 0. Podemos ver também que a linha A" B' se torna mais longa. az Resistência dos Melericis Cap. 4 Fig. 47 Vamos mostrar agora que qualquer seção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana na flexão; do mesmo modo, mostraremos que o plano dz seção transversal passa pelo ponto C. Realmente, se não ocorressem os fatos acima, pode- riamos encontrar um ponto E, que pertencesse a uma seção transversal por D (Fig. 4.82), que não estaria mais nessa seção após a flexão. Em outras palavras, o ponto É não estaria no plano que passa par CD e é perpendicular 20 plano de simerria da barra (Fig. 4.85). Agora, devido à simetria da barra, haveria um outro ponto E” que se transformaria exatamente da mesma maneira que o ponto E. Vamos supor que, após a flexão, os dois pontos estivessem localizados à esquerda da seção transversal que passa por D, ou à esquerda do plano CD (Fig. 4.35). Como o momento fletor M é o momento para toda a extensão da barra, a mesma situação iria ocorrer em todas as seções, e os poútos dessas seções que correspondem a E e E“ iriam se deslocar para a esquerda também. Assina, um observador colocado em À ebegaria à conclusão de que os pontos E e É' das várias seções transversais estariam se movendo em sua dixeção, por efeito do carregamento. Mas para um observador postado em B, para o qual o carregamento parece o mesmo, e que observa os pontos E e E' na mesma posição (exceto por estarem invertidos), o movimento dos pontos E e E' pareceria se dar em sua direção. Essa inconsistência das observações nos leva a concluir que E e E' devem permanecer no plano definido por CD, e, desse modo, a seção permanece plana e passa. por C. Nessa análise não foi colocada nenhuma restrição às deformações no próprio plano da seção transversal (ver Sec. 4.5). bia icone nã ; í q : opsanedá o cuia Cop. Flexão pure s23 Vamos supor que a barra fica dividida em um grande número de cubos elementares, cujss faces são paralelas aos três planos coordenados. Pela propriedade que estabelecemos, quando à peça se flexiona sob a ação das conjugados M e M, os cubos elementares devem se deformgr como mostra a Fig. 4.9. ê M (bj Seção horizontal Iongauainas 42) Seção vertical longitudina! Fig. 49 Todas as faces representadas nas duas projeções da Fig. 4.9 estão a 90º, e concluímos que 4, =%, 0, sendo então nulas as tensões x,, et Quanto às três componentes de tensão que ainda não analisamos, a saber, G,, 0, é L,, Dotamos que elas devém ser nulas na superfície da barra. Por outro lado, as deformações que ocorrem não exigem interações entre elementos da mesma seção transversal. Podemos assumir que essas componentes são nulas em toda a seção transversal. Essa hipótese pode ser verificada por úbservação experimental, ou pela teoria da elasticidade, para o caso de barras esbeltas que sofrem pequenas deformações? Do que dissemos até agora, podemos ver que à única componente de tensão que não sé anula é a componente normal 9, Desse modo, em qualquer ponto de uma barra esbelta submetida à flexão pura, teremos um estado uniaxial de tensões, Lembrando que quando M>0, a linha AB diminui de comprimento e à linha A'B' aumenta de comprimento, verificamos que a deformação específica £, e a tensão o, são aegativas na parte superior da barra (compressão) e positivas na parte inferior (tração). Ver Proa, 4.84, 326 Resistência dos Materiais Cap. 4 Após esta análise das deformações de uma barra em flexão pura, ainda não estamos aptos a caleular a tensão ou a deformação em qualquer ponto da barra, uma vez que ainda não localizamos a linha neutra na seção da barra. Para localizar a linha neutra ou a superfície neutra, precisamos especificar as relações entre tensão e deformação do material utilizado?. 45 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO Vamos considerar agora o estudo em regime elástico, quando o momento flexor M tem valor tal que as tensões normais se mantêm abaixo do valor de escoamento 0,. Com isso, impomos a condição de que as tensões na barra permaneçam abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade do material. Não vão ocorrer deformações permanentes, e a lei de Hooke pode ser aplicada para o estado unisxial de tensões, Considerando que o material é homogêneo e chamando de E o seu módulo de elastici- dade, teremos na direção lopgitudinal x o = Et (411) Tomando a Eq. 4.10, e multiplicando os dois membros dessa equação por E, escrevemos Es, (Es) ou, usando (4.11) mto (412) onde g,, expressa o maior valor absoluto da tensão. Este resultado mostra que, no regime elástico, a tensão normal varia linearmente com à distância à superfície neutra (Fig. 4.11). 3 Sowma barrs possa, no entanto, plano de simetria nes direções vertical é horizontal (como exernpio, uma barra de seção transversal retangular), e se o diagrazas vonsão-doformação 6 o mesmo para tração e compressão, a superficie neutra vai coincidir cor o plomo de simetria. Cap. 4 Flexão pura 327 Superfície, neutra: Fig. 4311 Devemos determinar agora à posiçã i i 1 ção da superfície neutra e o valor máximo da tensão normal, 0. Essa determinação pode ser feita utilizando as relações (4.1) é (4.3), obtidas antoriormente das condições da estáti ado Eng pa çi ca. Substituindo em (4.1) o valor Sm Sa aa =S(-Eon oa =-Efydãao Da última igualdade, deduzimos que Jfydano (4.13) Essa equação mostra que o momento estático da ár: q — Ess ea da seção transversal em pelação a linha Dentro deve ser zero. Isto quer dizer que, para barras submetidas à xo pura, à linha neutra passa pelo centro geométrico da seção, ent õ permanecerem em regime elástico. (lo, enquanto as tensões Lembrando a expressão da Eq, 4.2, que foi deduzida para um eixo horizontal arbitrário, 2, Sto. daj= M (43) e adotando que o eixo arbitrário z coincide com a linha neutra da seçã tan ! ção transversal, substituímos em (4.3) o valor de o, dado por (4.19) é escrevemos feenf-Eon jus -M Sm Ely da sm (4.14) 4. Ver Apéndico À para um estndo de momento estático, a28 Resistência dos Meterigis Cop 4 Aintegral (4.14) representa o momento de inércia da área da seção transversal em reiação à linha neutra. De (4.14) calculamos à valor da tensão máxima, enton- trandoé En (4.15) Há Se desejarmos o valor da tensão q, a uma distância y da linha neutra, substituímos o,, dado por (4.15) em (4.12): (4.16) As Egs. 4.15 e 4.16 são conhecidas como fórmulas da flexão em regirre elástico, é a tensão normal 9, provocada quando a barra se flexiona, é chamada tensão de flexão. Pademos ver que a tensão é de compressão acima do eixo neutro (9, <0 e y>0), quando o momento M é positivo, sendo de tração quando o momento M é negativo. Na Eq, 4.15, vemos que a relação He só depende da geometria da seção transversal. Essa relação é chamada módulo resistente ou momento resistente e é expressa pela letra W. Temos. VGSls rt .J (417) Substituindo W por 1/c na Eq. 4.15, escrevemos essa. relação de ima outra forma (4.18) Essa relação mostra que a tensão máxima é inversamente proporcional ao médulo resistente W, do modo que uma viga deve ser >rojetada com o maior valor de W possível, nas condições de cada problema. Par exemplo, no caso de uma viga de madeira com seção transversal retangular, de altura A e largura d, vamos ter: 5 Lembramos que na massa dedução o momento fletor foi adotada como pasitivo. Se o momento Iepor for negativo seu. valar dove ser adotado em módulo na Big. 4.15. , Cop.4 Fleção pura 329 (4.19) onde À é a área da seção transversal da viga. Vemos que, tendo duas vigas com a mesma área de seção transversal, a viga com maior altura terá um módulo resistente maior, sendo então mais apropriada para resistir tensões de flexão (Fig. 4.12). Fig. 4.12 No caso do aço estrutural, as vigas Z e os perfis de abas largas (Fig. 4.13) são as formas preferidas para trabalhar a flexão, pois uma grande psrte da seção trans- versal está localizada o mais longe possível da linha neutra. Isso proporciona, para uma certa altura e uma certa área, os maiores valores de I e, consequentemente, de W. Para os perfis metálicos, padronizados comercialmente, existem tabelas que fornecem os valores das propriedades geométricas da seção transversal. Assim, pára o cálculo de q,,, busca-se nas tabelas o valor de W relativo ao tipo de perfil desejado, e divide-se o valor M do momento fletor por W'6. Fig. 4,13 8 — Devemos alertar; em relação ao que foi dito sobre a vantagem da utilização de peças altos, que uma xelação jJb muito elevada pode resultar em instabilidade lateral das vigas. 332 Resistência dos Materiais Cop d e-r-F = 12%m - 5,09mm = 6,9imm Fig. ex417 Usando a Ba. 4.9, escrevemos .€ . 691x 100m | ova, gs 2,5 m e aplicando a Lei de Hooke, o, a By = (70 x 10º Po)(2,76 x 108) = 198,2MPa Como esse lado da barra que analisamos está voltado para 6 centro de curvatura, à tensão calculada é de compressão. A máxima tensão de tração ocorre no lado plano da barra. Usando o fato de que à tensão é proporcional à distância até a linha neutra, escrevemos 509 mm = -142,8MP: + 91 mar (198;2MPa) a, 4.6 DEFORMAÇÕES EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL Na See. 4.3 demonstramos que uma seção transversal se mantém plena, em uma barra sujeita à flexão pura. Não excluimos, no entanto, a possibilidade de ocorrerem deformações dentro do plano da seção. Tais deformações realmonte existem. Vimos na Sec. 2.11 que elementos submetidos a um estado uniaxial de tensões, com q, 0 e q,=6,=0, 56 deforimam na direção axial o também nas direções transvereais ye x Aa deformações específicas normais e, e s, dependem do coeficiente de Poison u do material usado e são expressas por & = vê, Ee UE, ou, pela Eq. 4.8, a Cat Fesóopua 339 &- El v (4.22) Ea om p As relações obtidas mostraí» que, para os elementos situados acima da superficie neutra, se verifica uma-expansão nas direções dos eixos y'e 2; pois y > O. Para os elementos situados abaixo da superfície neutra (y < 0) se verifica uma-contra- ção nessas direções. No caso de uma barra com seção transversal retangular, essa expansão e contração nos vários elementos, na direção vertical, será compensada, não ocorrendo mudanças na dimensão vertical da seção. Já para a direção horizontal, q expansão dos elementos acima da superfície neutra juntamente com a contração dos elementos abaixo dessa superfície provocam um encurvamento das linhas horizontais da seção transversal. Elas se transformam em arcos de circunferência (Fig. 4.18), em uma situação semelhante àquela abservada para a seção longitudinal ds barra. A seção transversal se encurvará até se transformar em um arco de raio p' = p/v,. como se pode deduzir analisando as Egs. 4.22 e 4.8. Para M >0, o centro C do arco de circunferência se localiza abaixo da superfítie neutra, do lado oposto ao centro de curvatura C da barra. O inverso do raio de curvatura p' representa a curvatura da seção transversal é é chamada curvatura anticlástica. Temos (4.23) Lmhanetada | | socdovameral | | | prupio | ! | Fig. 418 384 Resistência dos Mutericis Cop. 4 Em nossa análise, até este ponto, não nos preocupamos com a maneira com. que os conjugados M e M' são aplicados à barra. Se todas as seções transversais da peça devem permanecer planas e sem tensões de cisalhamento, devemos nos assegurar que os conjugados sejam. aplicados de maneira que as extremidades da peça perma- neçam planas e livres do tensões de cisalhamento. Para garantia de que isto aconteça, devemos aplicar M.e Mº através de duas placas lisas e rígidas (Fig. 4.19). As placas fazem. com que. os. esforços: elementares que elas aplicam.à peça sejam normais às extremidades da barra. Essas extremidades, permanecendo planas, se deformarão da maneira descrita anterjormente nesta Seção. A ” Fig. 4.19 As tundições em que ocorre o carregamento não são realmente as descritas acima, nos casas práticos. laso porque as placas devem exercer tensões de tração na parte inferior da barra, ao mesmo tempo em que permitem que a seção se deforme em seu próprio plano. Tais placas não podem ser realizadas fisicamente, mas sua idea- lização, como indica a Fig. 4.19, é importante para que possamos visualizar as condições de carregamento que correspondem às expressões deduzidas até agora. Mesmo que as condições reais de carregamento sejam diferentes, o princípio de Saint-Venanz nos garante que as expressões podem ser utilizadas para o estudo das seções que não se situem em pontos muito próximos daqueles em que os conjugados são aplicados. PROBLEMA RESOLVIDO 4.1 O tubo retangular é fabricado por extrusão, de uma liga de alumínio para a qual 9,= 150MPa, cy» 300MPa e E» 70GPs. Desprezando o efeito dos adoçamentos, - determinar: e) o momento fletor M para o qual o coeficiente de segurança é 3,0; b) 0 raio de curvatura correspondente no tubo. Cap.4 Flexão pura E Mamento de inércia. Podemos considerar a área da seção transversal como a diferença de dois rerângulos. Adotando todas as medidas em metros, temos 1» 5 (0,08040,1208 — 3:(0,069(0,1048 1 = 5,52 10-Smt Tensão admissível. Para um coeficiente de segurança 3,0 e tensão últim: de 300 MPa, temos Funda e Su . 800MPa Sta GS 80 100MPa Como Gsam < 9 O tubo permanece em regime elástico, e podemos aplicar os resultados da Sec. 4.4. 38 Resistência dos Moteriais Cap. & = 5 (0ONBO)Ê + (90 x BONIZP + 1 (S0)(40)? + (30 x 40/18)? = 868x 10º mm? 1 » 868 x 10%mé 7 Sarisa ce curvatura (a) Máxima tensão de tração. O momento fletor aplicado flete a peça para baixo, de modo que o centro de curvatura se situa abaixo de seção transversal. A máxima tensão de tração em A, ponto mais distante do centro de curvatura. Mes a SEN - m/0,022m) 4 8 To cPand 4 = + 76,0MPa 4 Máxima tensão de compressão, Essa tensão ocorre em B; temos Mes 2 kN - m0,088m) dg mus aaço à ="- 181 'B T 68 4 10 md o 81,3MPa « , Cap 4 Flexão pura a39 (6) Raio de curvatura. Da Eq. 4.21, temos 1 M 3kN-m p TEL” 16 GParEss x 10279 . e = 20,95 x 10-?m-1 p=47,7m «4 PROBLEMAS 41642 Sabendo-se que o momento mostrado atua no plano vertical, determinar | a tensão no: (a) ponto A; () ponto B. Fig. Pá Fig. Paz 43 Resolver o Prob, 4.2, considerando que o raio de cada furo circular é de 25 mm. i 44 A viga de aço mostrada é feita de um aço com 0, = 250 MPa e oy = 400 MPa. Usando um coeficiente de segurança de 2,5, determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga, quando ela se encurva em torno do eixo z. e Eco mme] 18mm Fig. Pas 45 Besolvero Prob. 44, considerando que a viga de aço se encurva em torno do eixo. 46 Uma viga de seção transversal, como indicado, é extrudada de uma liga de Alumínio com q, = 810 MPa e oy= 480 MPa, Usando um coeficiente de segurança 3,0, determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga, quando ela se encurva em. torno do eixo 2. Fig. P4,6 47 Resolver o Prob. 4.6, considerando que a viga se encurva em torno do eixo y. são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. 48 Duas forças verticais e compressão na porção BC da viga. Determinar as máximas tensões de tração s : Cop.é Fleopura 34 Fig. Pas 4.9: 4.10. Duas forças verticais são apli ij ã S 8 plicadas a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar as máximas tensões de tração ecompressão a porção BC da dom 500 mem Fig. Pas Fig. pato 4117 Resolver o Prob. 4,10, side a considerando que a largura da aba é aumentada de 4.12 e 4.13 Sabendo-se que uma viga de seçã e It seção transversal, como-mostrad: encurveda dorm Se mão horizontal e está submetida a um momento fator e 7 kN -m, determinar a intensidade total da £ ] i asa bend dera le tot orça atuando: (a) na aba superior; (b) vespa La Fig. P4.20 421 Um momento de 7,5ENm é aplicado ao perfil de aço laminado S810x 74 mostrado, Pede-se: (2) sendo que 0 momento encurva à viga em torso de um eixo Borisontal, determinar a máxima tensão e o raio de curvatura; (6) Resolver a parte a, considerando que a viga é encurvada em torno de um eixo vertical, pelo momento de 7,5kN-ma. Usar E = 200 GPa. . Fig. P4.21 4.22 Uma lâmina de aço, que originalmente estava reta, é montada sobre uma serra de fita, que passa sobre polias de 300 mm de diâmetro. Determinar a máxima tensão vã lâmina, sabendo-se que ela tem uma espessura de 0,5mm e uma largura de 16mm Usar E » 200GPa. Cop. 4 Flexão pura Era 4.23 Barras retas de 6 mm dé diâmetro e 30 cm de comprimento são enroladas e armazenadas dentro de um tambor de 1,25 m de diâmetro interno. Considerando que a resistência ao escosmento não deve ser excedida, determinar: (x) à máxima tensão em uma barra enrolada; (b) o correspondente momento fletor em uma barra. Usar E- 200 GPa. Fig. Pa 2a 424 Uma tira de aço de 900mm de comprimento é encurvada, formando uma circunferência completa, por dois momentos aplicados como mostrado. Determinar: (a) à másima espessura é da tira, se a tensão admissível do aço é 420 MPa; (b) os correspondentes momentos M aplicados. Usar E » 200.GPa. smm, 9) Ela, Fig. Pa.24 4.25 Uma prancha de 38 mm x 290 mm pode ser reforçada pregando-so firmemente dois blocos de 38 mm x 38 mim, como mostrado. Sabendo-se que Gm = 9,8 MPa é &- 12 GPa, determinar q maior momento que pode ser aplicado e o correspondente raio de curvatura para: (q) a prancha original, sem reforçadores; (b) a prancha zeforçada com os blocos. Fig. Pa2s me Resistência dos Matericis Cop. 4 4.26 Um momento M deve ser aplicado a uma viga de seção transversal retangular, que é serrado de um tarugo de seção transversal circular. Determinar o raiod/b, para que: (a) a máxima tensão 9, seja à menor possível; (5) o raio de curvatura da viga seja máximo. Fig. pa.26 4.27 Um tubo de parede grossa é encurvado, em torno de um eixo horizontal, por um momento M. O tubo pode ser projetado com ou sem as quatro aletas. Pede-se: (a) usando uma tensão admissível de 140 MPa, determinar o maior momento que pode ser aplicado, se o tubo for projetado com as quatro aletas; (b) resolver a parte a, considerando que o tubo é projetado sem nenhuma aleta. Fig. PAZ 428 Uma torção de uma barra quadrada é removida por fresagem, tai como é mostrado. À barra 6 então encurvada em torno de eixo horizontal diagonal por um. momento M. Considerando o caso onde k = 0,9hy, escrever a máxima tensão na barra na forma G, - hoy onde & é a máxima tensão que poderá ocorrer, se a barra originalmente quadrada tiver sião encurvada pelo mesmo momento M, e determinar o valor de k. Fig. Pazs 4.29 No Prob. 4.28, determinar: (a) a: variação dos valores de A para que Gm 1) ou estreitamento (se n < 1), deve ser efetuado em uma direção paralela à linha neutra da seção transversal, pois é essencial que a distância y de cada elemento à linha aeutra permaneça a mesma. A nova seção transversal assiza obtida é chamada seção transformada da barra (Fig. 4.29). * Cop. 4 Flexão pura 381 da Ea E patas": DD Ei ES boo a Fig. 422 — Seção transformada da barra composta. Como a seção transformada representa a seção transversal de uma barra feita de material homogêneo com módulo de elasticidade E4, o método descrito na Sec. 4.4 pode ser usado na determinação da posição da linha neutra, bem como na determi- nação da tensão normal em qualquer ponto dessa seção. Alinha neutra será desenhada, no centróide da seção transformado (Fig. 4.23), e à tensão q, em qualquer ponto da seção fictícia será obtida da Ea, 4.16- My — (4.16) 7 (4.16) onde » é a distância à superfície neutra é 1 é o momento de inércia da seção transformada em relação so seu eixo centroidal Y Y — am 7 Ina. 1! T EA Fig 423 — Distribuição de tensões na seção transfarmada, Atensgo o, de qualquer ponta localizado na parte superior da seção transver. sai da barra composta original pode ser calculada pela expressão de q, tensão da seção transformada no mesmo ponto. Por outro lado, a tensão o; de qualquer ponto locali- zado na parte inferior da. barra composta original é igual à tensão q, da seção 352 Resistência dos Mutericis Cop. £ transformada, multiplicada por 2: Coma vimas anteriormente, a mesma força clemen- tar dF, se aplica à elementar 2 dA da seção transformada e à área elementar dá da seção original. Desse modo, a tensão orem um ponto da seção original deve ser n vezes maior que a tensão no mesmo ponto da seção transformada. As deformações de uma barra de seção composta também podem ser determi- nadas com o uso da seção transformada. Lembramos que a seção transformada representa a seção transversal de uma barra de material homogêneo de módulo de elasticidade E, é que 5% deforma do mesmo modo que a barra composta. Então, usando a Eq. 4.2], escrevemos a expressão da curvatura da barra composta: 1. M p El onde 1 é o momento de inércia da seção transformada em relação à linha neutra. EXEMPLO 4.3 Uma barra constituída de aço é latão (E, =» 200 GPa, E; = 100 GPa) tem a seção indicada (Fig. 4.24). Determinar a máxima tensão no aço é no latão quando a barra fica sujeita à ilexão pura com um momento M = 2 EN -m, tomam, smm— a f-smm Fig. ex 4.24 A seção transformada que corresponde a uma barra equivalente feita inteira- mente de latão está indicada na Fig, 4.25. Como E, — 200GPa 2" E,” W0GPa ” a largura êa parte central de latão, que substitui a parte original de aço, é obtida . quando se multiplica a largura inicial de 10 mm por 2. - Cop. 4 Fleção pura E Sum [-20mm— [Sum a | e 20mm LN, Seção de latão equivalenta adeaço me E sam Fig. ex4.25 É importante.lembrar que .a variação da dimensão ocorre na direção paralela à linha neutra. Calcula-se então o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo centroidal, que é 1- 35h = 5 (80 x 10-0m)dO x 10-8m) = 160 x 10-9 mt A maior distância à linha neutra, de qualquer Sbra da barra, é c = 20 mm. A Eq. 4.15 fornece o valor da tensão máxima na seção transformada: Me 2 x 108N - my20 x 103 m) =” mero 160 x 105 mi = 250MPa O valor obtido representa também a máxima tensão na parte de latão da barra original. A máxima tensão na parte composta de aço será duas vezes maior que aquela encontrada para a seção transformada, uma vez que a parte central terá reduzida sua área pelo fator 1 = 2, quando retornarmos à seção original. Podemos então concluir que Satioimis = 250MPa inseri = 500 MPa Uma eplicação importante para as peças estruturais constituídas de dois materiais ocorre nas vigas de concreto armado. Essas vigas, quando estão submetidas a momentos fietores positivos, são reforçadas por barras de aço circulares, colocadas a ums pequena distância da face da vigas (Fig. 4.250). O concreto é um material pouco resistente à tração, ele trinca na região abaixo da superfície neutra, e as barras de aço passam a resistir todo o esforço interno de tração. O esforço interno de compressão é resistido pela porção de concreto que fica acima da superfície neutra. Para obter a seção transformada de uma viga de concreto armado, substitui se a área das barras de aço 4, por uma área equivalente n4,, onde x é a relação B,/E. entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do concreto (Fig. 4.26b). Por outro lado, como o concreto resiste realmente só às tensões de compressão, aparece ne seção transformada apenas parte de concreto acima da linha neutra. 34 Besistêncio dos Materiais Cop, a It [ Fig. 426 “a: posição da linha neutra-fica determinada pelo valor x, distância da fibra superior da viga ao centro de gravidade da seção transformada, ponto C. Chamemos de b à largura da viga e de d À distância da fibra superior da viga à linha do centro das barras de aço. Sabemos que o momento estático da seção transformada em relação à linha neutra deve sernulo. Multiplicando as áreas das duas partes que constituem a seção transformada pela distância dos respectivos centréides à linha neutra, temos End ==) 0 ou duto nd -n4do- 0 (428) A solução dessa equação do 2º grau fornece a posição da linha neutra da viga, e mostra a parte de concreto que realmente será utilizada. Para determinação das tensões na seção transformada, devemos seguir a mesma sequência vista na Sec. anterior (v. Problema Resolvido 4.4). A Fig. 4.26c mostra a distribuição de tensões de compressão no concreto.e à resultante F, dos esforços de tração no aço. 8 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES Na Sec. 4.4.deduzimos a Fórm. o = Mc/I, que se aplica. uma barra que possui um plano de simetria.e cuja seção transversal é uniforme. Na Sec, 4.5 vimos que essa fórmula. se aplica a todas as seções ao longo da barra, desde que os.conjugados M e + : Copc4 Flexão puro 355 Mº sejam aplicados por meio.de-plavas rígidas e lisas: Sob outras condições. de aplicação dos. conjugados, ocorre concentração de tensões nas-. prorimidades- dos pomdos de aplicação do carregamento. Valores altos de tensão ocorrem também nos casos em que a a seção transversal da barra sofre uma variação súbita. Duis casos de maior interesse foram estudados”, o caso de barras chatas com variação bruta na largura e o casa de barras chatas com entalhes. A distribuição de tensões nas seções transversais críticas depende apenas da forma geométrica da barra, de medo que é possível obter coeficientes de concentra- ção de tensões para várias relações entre os parâmetros envolvidos. Esses coeficientes são relacionados nas Figs. 4.27 e 4.28. O valor da máxima tensão na seção crítica pode ser calculada por (4.29) onde K é o coeficiente de concentração de tensões, e c e 1 se referem à seção crítica, quer dizer, à seção de largura d, nos dois casos analisados aqui. Examinando as Figs. 4.27 6 4.28, percebemos a importância da utilização do raio r dos arredondamentos (ou adoçamentos) e entalhes tão grande quanto possivel. So 28] 28; 24 f E Did a 110 4 Diga125 ia Dró= iso | Ta Ng at = 200 | 14 Pl meo nal =: CRS ES EIS ECECENKO Fig 4.27 Cosficiantes de concentração do tonsões para barras chatas com adoçamento sujeitas à flexão pura. 7º MM Frocht, “Pholoelastio Studies in Stress Concentration”, Mechanical Engincering, ago. 1936, Pp. asp-4go. 356 Resistêincia'dos Mutériais Cop 4 “2. - Finalizando; deveroos lembrar que, como no. casódas forças axiais.e da torção, os valores dei K-fáramá obtidos.com a hipótese de-uma-relação-linear entre tensão & deformação. Em muitas aplicações práticas, ocorrera deformaçõesplásticas, oque leva à valores de tensões márimas menores que aqueles dados pela Eq, 4.28. 12 “Oy -21 8205 04,05,05 07 08 nar Fig. 428 — Coeficiontes ce concentração de tensões para barras chatas cem entalhes sujeitas à nexão pura. EXEMPLO 4.4 Fam uma barra de aço com 60 mim de largura e 9 mm de espessura serão executados dmhes de 10 ua de profundidade (Fig. 4.29). À jensão na barra não deve exceder a 150 MPa, com a aplicação de um momento fletor de 180 N m. Determinar a menor largura admissível para os entalhes. Da Fig. 4.29 temos à - 60mm - 2(107m) = 40mm e = id -20mm b = mm Cop. 4 Flexão pura 357 O momento de inércia da seção crítica em relação à linha neutra é 1 Ebdê = L(9 x 109m)40 x 10-2m) « 48 x 10-9m$ O valor da tensão Mcil é, então, Me | (180N : m)2O x 10-2m) T 48 x 1 m* = 76 MPa Levando esse valor à Eq. 4.29, com «,, « 150 MPa, temos: 150MPa = K (75 MPa) E-2 Temos também, por outro lado, D, Sum d ” aomm — 5 Na Fig. 4.28, usando a curva 5 03 a DE 426 sendo ac crua correspondente aDfi= 1,5, encontramos, para r q” 01 rm 0d m 0,1(40mm) = 4mm A menor largura admissível para os entalhes é 2r = 2(4mm) - 8mm 
