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Fig. P2.C2 203 Aba: é constituída de « elementos, cada qual homogêneo e de seção transversal forme. A extremidade À é fixa, e inicialmente existe uma fenda à entre a extremidade B e 0 anteparo vertical, à direita. O comprimento do elemento i é expresso por L;, sua áres da seção transversal por 4; seu módulo de elasticidade por Eye seu coeficiente de dilatação térmica por 05. Após a temperatura da barra ter sido aumentada de AT, a fenda em B é fochada e o anteparo vertical passa a exercer uma Torga, igual e oposta, sobre a barra. Pede-se: (a) Escreva um programa de computador que possa ser usado pera determinar a intensidade das reações de apoio em À e B,a tensão normal e à deformação em cada elemento; (b) aplique este programa para resolver os Probs. 2.58, 2.60, 2.62 e 2.63. ú : Lt & Bementor di! Fig. Pa.C3 2.04 Uma barra AB tem um comprimento L e é feita de dois materiais diferentes, de seção transversal, módulo de elasticidade e limite de escoamento, como indicado, A barra está sujeita a uma carga P que cresce gradualmente, desde zero até que a deformação da barra venhs à atingir o valor máximo ô,, quando, então, retorna à zero. Pede-se: (0) Escrever um programa de computador o qual, para cada 25 valores de 5, igualmente espaçados mum intervalo desde zero até uro valor igual a 120% da deformação que causa o escoamento em ambos os materiais, possa ser usado para determinar o máximo valor da carga P,, 3 máxima tensão normal em cada material, a deformação permanente 3, da barra e, à tensão residual em cada material: (b) Aplique este programa para resolver os Probs. 2.104 e 2.108, 2.106 e 2.110, e 2.107 e 2.111. Capítulo 3 TORÇÃO 3.1 INTRODUÇÃO Nos dois capítulos precedentes, foram discutidos os membros de estruturas submeti- das a forças axiais, aplicadas na direção do eixo das barras analisadas, Este capítulo vai estudar peças submetidas a efeito de torção. Especificamente, estudaremos as tensões e deformações produzidas em peças do seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças. Teis conjugados são chamados momentos de torção, momentos torcionais ou torque, T e T' (Fig 3.1). Esses conjugados têm a mesma intensidade T e sentidos opostos. São então grandezas vetoriais é podem ser representadas de duas maneiras: setas curvas, como na Fig. 3.1a qu vetores conjugados, como na Fig. 3.1b. be En ta Ee (3) à Fig 31 Peças submetidas a torção são encontradas em muitas aplicações da prática de engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de eixos de transmissão, utilizados para transmitir potência de um ponto à outro, como no caso deuma turbina 182 Resistência dos Meseriois Cap. 3 Fig. P2 128 2.129 Pede-se: (4) Determinar o raio r do adoçamento para o qual a mesma tensão máxima ocorre tanto no furo À como nos adoçamentos; (b) se a tensão admissível é de 140 MPa, qual a correspondente carga P admissível. 2.180 Pede-se: (q) Para P = 45 kN, determinar a máxima tensão na Placa mostrada: (5) resolver o item a, considerando que o furo em À não existe. A VAS ns | Fig. P2,129 e Fig. PR. 130 2.181 Abarra BC tem seção transversal de área.à, e é feita de aço doce que pode ser considerado como elastoplástico, com módulo de elasticidade E e tensão de escoamento q,. Usando o sistema massa-mola indicado, deseja-se simular q desloca- mento do ponto C da barra quando a. força axial P é aplicada e depois removida: quer Sizer, os deslocamentos dos pontos (' e 0" devem ser 08 mesmos para qualquer valor de P. Expressando por u o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície horizontel, deduzir uma expressão para: (2) a massa necessária do bloco; (b) a constante + de mola necessária. 193 Fig. P2131 Os problemas que se seguem são para ser resolvidos com auxílio de um computador, - - 201 Uma barra constituída de n elementos, cada qual homogêneo é de seção transveísal uniforme, está sujeita ao carregamento mostrado. O comprimento do elemento é é expresso por L,, sua área da seção transversal por 4, seu módulo de elasticidade por E e a carga aplicada em sua extremidade direita por P; à intensidade P; desta carga é considerada positiva, so P; está dirigida para à direita e negativa, no caso contrário. Pede-se: (a) Escreva um programa de computador que possa ser usado para determinar a tensão normal média é a deformação em cada elemento e a deformação total da barra: (b) aplique este programa para resolver os Probs. 2.9, 2.10, 2,1409215. Elemento n Elemento 1 Fig. P2C1 2.02 Abarra AB é horizontal com ambas as extremidades fixas; é constituída de elementos, cada qual homogêneo e de seção transversal uniforme, é está sujeita ao carregamento mostrado. O comprimento do elemento i é expresso por L,, sua área da seção transversal por 4,, seu módulo de elasticidade por £, e a carga aplicada em sua. extremidade direita por P; a intensidade P, desta carga é considerada positiva se P, está dirigida para a direita e negativa, caso contrário, (Notar que P, «« 0.) Pede-se: (0) Escreva um programa de computador que possa ser usado para determinar as reações de apoio em À e B, a tensão normal média é à deformação em cada elemento; (b) aplique este programa para resolver os Probs. 2.37, 2.38, 2.39 e 2.40. Fig.s3 Fig.34 — Essa relação expressa uma condição importante que deve ser satisfeita pelas tensões do cisalhamento em qualquer seção transversal ao eixo. Ela não indica, no entanto, de que modo as tensões se distribuem na seção transversal. Observamos aqui, como já fizemos na Sec. 1.3, que a distribuição real de tensões devida a certo carregamento é estaticamente indeterminada, não podendo ser determinada pelos métodos da estática somente. De quelquer zaodo, na Sec. 1.3 assumimos que -a distribuição de tensões na seção transversal era uniformemente distribuída, o que ficou confirmado na See. 2.16, exceto para pontos próximos àqueles de aplicação de forças. Lembramos que essas conclusões valem. para o casa de carregamento axial Adotar para as tensões de cisalhamento em. eixos elásticos as mesmas conclusões estaria errado. Devemos evitar qualquer hipótese sabre a distribuição das tensões de cisalhamento, até que tenhamos estudado as deformações produzidas nos eixos por efeito da torção. Essa análise será feita na Seção seguinte. Neste ponto, uma observação se faz importante. Como, já foi visto na Sec. 1.8, tensões do cisalhamento não ocorrem em um só plano. Tomemos um. pequeno elemento da barra circular, como mostra a Fig. 2.5. Sabemos que o momento de torção produz tensões de cisalhamento + nas faces perpendiculares ao eixo da barra circular. No entanto, as condições de equilíbrio vistas na See. 1.7, para serem satisfeitas, exigem a existência de tensões x nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo da barra circular. A existência dessas tensões pode ser demonstrada so analisarmos um “eixo” constituído de lâminas finas, ligadas às extremidades do eixo por pinos presos a discos (Fig. 3.6q). Podemos fazer várias marcas em duas lâminas contíguas, e aplicar momentos de torção de mesma intensidade e sentidos contrários nas extre. midades da peça. Quando isso é feito, observa-se nitidamente que uma lâmina escorrega em relação a outra (Fig. 3.6h). Nos materiais coesivos e homogêneos esse deslizamento não ccorre realmente, mas à tendência ao deslizamento vai existir, provando a existência de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente. 1 Podemos demonstrar a existência das tensões de cisalhamento am planos longitndinais emo wm dixo, aplicando uma torção a um tubo de pepeião que tenha sido cortado longitudinalmente. Vo Cap. 3 Torção 199 Fig. 3s Fig. 36 33 DEFORMAÇÕES NOS EIXOS CIRCULARES Um eixo circular está fixado a um suporte indeslocável, por uma de suas pontas (Pig. 2.70). Aplicando-se à extremidade livre o momento de torção T, o eixo gira, e à seção transversal da extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo 4, chamado ângulo de tarção (Fig. 3.76). A experiência mostra que para uma certa faixa de variação do valor T, o ângulo de torção é proporcional a T. Mostra também que é é proporcional ao comprimento L do eixo. Isto quer dizer que para um eixo de mesma seção e mesmo material, mas com o dobro do comprimento, o ângulo de torção será duas vezes maior, para o mesmo momento T. Um dos objetivos de nossa análise será determinar a relação existente entre 4, L e 5 outro objetivo será descobrir a real distribuição das tensões na seção transversal do eixo, que não pudemos determinar na Seção anterior, com os recursos da estática. Fig. 37 200 Resistência dos Materiois Cop. 5 Neste ponto, devemos mostrar uma propriedade importante dos eixos circus lares: quando um eixo circular fica submetido à torção, todas as seções transversais se mantêm planas e conservam sua forma. Em curas palavras, enquanto as várias seções transversais, ao longo do eixo, presentam ângulos de torção diferentes. cada seção gira como uma placa rígida. Esse fato é ilustrado pela Fig. 3.54, que mostra à deformação de um modelo de borracha submetido à torção. Essa propriedade é característica de eixos circulares, maciços ou vazados; ela não se apresenta em peças que têm seção transversal diferente da cireulor. Por exemplo, quando uma barra de seção quadrada ésybmetida a momento de torção, suas várias seções transversais não se mantêm planas, perdendo-a forma inicial (Fig. 2.85). , Fig. 38 O fato de as seções transversais de um eixo circular permanecerem planas é indeformadas ocorre porque o eixo circular é axissimétrico, isto é, sua aparência se mantém à mesma quando o eixo é observada de algum ponto fixo e é rodado de certo ângulo arbitrário. (Por otsro lado, barras quadradas só apresentam a mesma aparêncis quando girados de 90º ou 180".) Vamos ver agora como a axissimetria de um eixo circular pode ser usada para demonstrar: que =s seções se mantêm planas e indeformadas. Consideremos os pontos G e D situados na circunferência do contorno de uma seção transversal do eixo, e sejam C' é D' as posições que esses pontos irão ocupar quando o eixo for girado (Fig. 3.96). À axisimetria do eixo e do carregemento requer que uma certa rotação que leve D a ficar na posição de C leva D' a ocupar a posição de Cº Assim D' e C” devem estar situados em uma circunferência, e o arco C'D' deve ser iguai ao arco CD (Fig 3.8b). Fig. 3.9 . Cop.3 Torção 201 A mesma situação ocorre para. qualquer outra seção, uma vez que todas as seções da peça estão sujeitas ao mesmo momento interno 7. Um observador que estiver olhando para o eixo circular do ponto À concluirá que a torção faz as seções transver- sais se afastarem dele. Um observador colocado em B, para o qual o momento torçor & o mestno daquele observado em A (um momento de sentido igual ao dos ponteiros do relógio em 4, e um momento contrário ao sentido dos ponteiros do relógio em B), chegará a uma conclusão oposta, afirmando que qualquer seção transversal se move em sua direção. Esses resultados contraditórios provem que nossa suposição está errada e que Q' é D' estão na mesma circunferência dos pontos C e D. Desse modo, quando o eixo é torcido, uma circunferência simplesmente roda em seu próprio plano. Como esse comportamento se dá em qualquer circunferência concêntrica com a primeira, deduzimos que toda a seção transversal se mantém plana (Fig. 3.10). Fig. 3.10 A argumentação acima não inclui a possibilidade das várias circunferências concêntricas rodarem de ângulos diferentes quando o eixo é torcido. Se isso aconte- cesse, um certo diâmetro da seção transversal se transformaria er uaa curva, como a mostrada na Fig, 2.114. Um observador olhando esse curva do ponto À chegaria à conclusão de que as seções externas do eixo giraram mais que aquelas do seu interior, enquanto um observador que olhasse a curva do ponto B concluiria exatamente o contrário. Essa contradição nos leva a. concluir que um certo diâmetro de qualquer seção transversal se mantéro reto (Fig. 3.110) e, portanto, a seção transversal se mantém plana e indeformada. ( A q Fig. 3.1t Na análise feita até este ponto não se levou em conta a maneira como são aplicados os momentos de torção Te T”. Como todas as seções transversais do eixo devem permanecer planas é indeformadas, precisamos assegurar que os momentos 204 Resistência dos Maseriois Cap. 3 .e (8.4) e a tab. 34 TENSÕES NO REGIME ELÁSTICO ê ' É Nesta discussão sobre torção de eixos circulares, não adotamos até agora nenhuma relação particular entre tensões e deformações. Vamos considerar agora o caso em que o momento de torção T tem um valor tal que as tensões no material se mantêm abaixo ãa tensão de cisalhamento de escoamento, Sabemos através do Capítulo 2 que, nesse caso, as tensões no material permanecem abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade. Podemos aplicar a Lei de Hooke e sabómos que não haverá deformação permanente. Aplicando a Lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento, temos: ta Gy (8.5) onde G é o módulo de elasticidade transversal do material. Tomando a Equação 3.4 e multiplicando por G escrevemos i Gy = E Oria . ou usando a Equação 3.5, (3.6) A equação obtida mostra que enquanto à tensão de escoamento (ou limite de proporcionalidade) não for atingida, a tensão de cisalhamento ma barra circular varia linearmente com a distância p do eixo da barra. A Fig. 3.140 mostra a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo circular maciço. Na Fig. 3.14 é mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento em um oixo circular vazado, de raio interno €,, e raio externo cy. Da Equação 3.6 vemos que, no segundo caso, a EL. En Tin Go Cute Cap.3 Toção 205 7 (lim [ra SAI p Fig. 3.14 Recordamos agora. que a Sec. 3.2 mostrou que 2 soma-dos momentos das forças elementares que atuam na seção do eixo circular deve ser igual à intensidade do momento T aplicado an eixo: Soteday= 7 [E] Substituindo o valor de x dado em (3.6) escrevemos, Tede poa q Te for da « - foda “A integral no segundo maezabro da expressão representa o momento de inércia polar J da seção transversal em relação ao seu centro O. Temos então qm mil e ou, calculando para longitudinal do corpo de prova (Fig. 3.205). PROBLEMA RESOLVIDO 3.1 O eixo circular BC é vazado, e tem diâmetros de 90 mm e 120 mim, respectivamente interno é externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar, para o carregamento indicado: (q) o valor máximo e o valor mínimo da tensão de cisalha- mento no eixo BC; (b) qual o diâmetro necessário nos eixos AB e CD sc a tensão admissível no material é 65 MPa. Te=26kNm Tom tan em / Tegaimo (NE il E TINg õ dm dm 05m Condições da Estática. Passamos uma seção transversal no trecho AB, caleulamos o valor no momento Ts por meio do diagrama de corpo livre mostrado, Tas 6kKNm E T sy A Tam 6hiem Ton MA Nem (Arre | end , Cap. 3 Torção 2 EM, - 0 (SkN-m-To-0 Tas » SEN -m Passando uma seção transversal no eixo BC, pelo diagrama de corpo livre, vamos ter: ame EM,» O (6kN-m)+(14kN-m)-Tao- 0 Tro=20EN-m a) Eixo BC. Para este eixo vazado temos Ta Sieg - 08) = S(0,080M — (0,045%] = 13,92 x 10-8 mé Máxima tensão de cisalhamento. Na superfiício externa, temos Tacês (204N-o)(0,060m) «4 nec toe Cj Tax 10Smi “mix” 862MPa Tensão de cisalhamento minima. As tensões são proporcionais à distãn- cia do eixo geométrico da barra. 45 mm «4 352 MPa" G0mm “min” 647MPa Téo Tt Og b) Eixos AB e CD. Nessas duas partes podemos ver que o torque é T=6kN-m e Tom = 65 MPa Sendo c o raio do eixo circular, escrevemos (SkN + md % Te 65 MPa = z et E cg = 58,8 x 10-6mê ce - 389 10m d = 2 -2(88,9mm) d = T7,8mm «4 aus Resistência dos Mutericis Cop. 3 . Cop.3 Tórção 213 b) Eixo maciço de mesmo peso. Para ecorrer o mesmo peso nos dois eixos, com o mesma. comprimento, eles devem ter a mesma área de seção transversal Ay = Ao) N =H75 mm - (50mm)Z = x cf cs = 56mm 4 Sendo am 83 MPa, temos T(56 x 1008) + a ; «4 XE (56 x 10SF T = 22,9kN-m ua = Te] 83MPa é) Eixo de seção vazada com 200 mm de diâmetro. Para o mesmo peso, as áreas devem ser iguais. Determinamos o diâmetro interno do eixo escrevendo Meg "Ao - x1(25 mm? - (50 um] = xl(100 mm? — eg] es = 82,97mm PROBLEMA RESOLVIDO 3.2 O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma. barra de seção vazada, com diâmetro interno de 100 am e diâmero externo de 150 mm. Pede-se determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 83 MPa, nas seguintes situações: (a) do projeto preliminar; (b) supondo um eixo sólido-maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto: (v) supondo um eixo de seção vazada com 200 mm de diâmetro e de mesmo peso do eixo do anteprojeto. &J = m/2[(100 x 105% — (82,9 x 10-78 J «83x 10Smt vs «O 25 a) Eixo vazado do anteprojeto. Pars à seção vazada temos Para tu q * 886MPa e e, = 100mm Sm m/2ef - 08) » a/21(75x 10-9K — (50 x 10-88] = 39,8 x 10-6mt T(100 x 10-3) Usando a Equação 3.8, escrevemos 83MPa = ga E ati = T05 x 1058) - . ” “oie e Ti] SEMPa um ongs T » 68,9kN:m «4 T = 44EN-m 4 Cap. 3 Torção 217 216 Resistência dos Materiais Cop 3 311 O eixo maciço AB tem um diâmetro d, = 38 mm e é feito de aço, com uma tensão admissível ao cisalhamento de 80 MPa, enquanto que o tubo CD é foito de latão, com uma tensão admissível ao cisalhamento de 50 MPa. Determinar o maior torque T que pode ser aplicado em. 3.12 O eixo maciço AB é feito de um aço, com uma tensão admissível ao cisalha- mento de 80MPa e o tubo CD é feito de latão, com uma tensão admissível ao cisalhamento de 50 MPa. Determinar: (a) o maior torque 'T que pode ser aplicado em À, se a tensão ádmissível não pode exceder a do tubo CD; (b) o correspondente .valor do diâmetro d, necessário ao eixo AB. . 38 Os torques mostrados são aplicados às polias A, B; O e D. Sabendo-se que todo o eixo é maciço, determine: (a) em qual trecho da eixo ocorre a maior tensão de cisalhamento; (b) a intensidade dessa tensão. Fig. Pa8 3.9» O eixo AB é feito de um aço com tensão admissível ao cisalhamento de 90 MPa, eo eixo BC é feito de uma liga de alumínio com tensão admissível de cisalbamento de 60MPa. Sabendo-so que o diâmetro do eixa BC é de 50 mm, e desprezando-se o efeito da concentração de tensões, determine: (2) o maior torque T que pode ser aplicado em A, se à tensão admissível não pode ser excedída 20 eixo BC; (b) o correspondente diâmetro necessário para o eixo AB. Fig. PaiteP312 3.13 Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determinar a máxiraa tensão de cisalhamento em cada eixo, quando um torque T de 4kN-m é aplicado em D. 810 O eixo AB tem diâmetro de 30 mm e é feito de um aço, com tensão admissível ao cisalhamento de 90 MPa, enquanto que o eixo BC tem diâmetro de 50 mm e é feito de uma liga de alumínio, com tensão admissível ao cisalhamento de 60 MPa Despre- zando-se o efeito da concentração de tensões, determine o maior torque T que pode ser aplicado sm 4. Alumínio Fig. P2.9 e Fig. P3.to Fig. P3I3 Fat Resistência dos Moderiois Cop. 2 Cop. 8 Torção E 814 Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determinar a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo, quando um torque T de 600N -m é aplicado em A 3.15 Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determine o maior torque T' que pode ser aplicado em A, se a tensão mimissível de cisalhamento é de 50 MPa, para ambos os eixos. Fig. Pais e pa.1s 3.16 Para os eixos do Prob. 8, 13, determinar o maior torque T que pode ser aplicado am D, se a tensão admissível de cisalhamento é de 50 MPa para ambos os eixos. 3.17 Um torque de intensidade Te 120N-m é aplicado ao eixo AB do trem de engrenagens mostrado. Sabendo-se que 2 tensão admissível de cisalhamento é de dE MPa, nos três eixos maciços, determinar o diâmetro necessário para o: (0) eixo AB: 66) eixo CD); (o) eixo EF. 318 Um torque de intensidade T = 100N -m é aplicado ao eixo AB do trem de Engrenagens mostrado. Sabendo-se que os dimetros dos três eixos maciças são, Tespectivamente, 44p = 21 mm, dc = 30mm é de= 40 mm, determinar a máxima Tensão de cisalhamento no: (a) eixo AB; (b) eixo CD; (0) eixo EF. Fig. PIT e Pas ii b é E ir de uma 8.19 Um tubo de aço de diâmetro interno de 300 mm é fabricado & partir placa de 6,4 mm. de espessura, soldada ao longo de uma linha helicoidal, que forma um, ângulo de 45º com um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo-se que a máxima tensão admissível de tração na solda é 80 MPa, determinar o maior torque que pode ser aplicado ao tubo. 7 Gamm Fig. P3.19 il i à ic T. 20 Uma amostra cilíndrica de 25 mm de diâmetro está submetida a um torque 1 Determina o valor do torque T, para que a amosira falhe é que tipo de falha (tração ou cisalhamento), se esta amostra for de: (a) latão-amarelo laminado a frio toy = 510 MPa; try = 300 MPa); (b) ferro fimdido cinzento (o, = 170 MPa; Tg = 240 MPa). 3.21 Enquanto a distribuição exsta de tensões de cisalhamento em um eixo cilin. drico vazado é como mostrado na Fig. (a), um valor aproximado pode ser obtido para Twéo considerando-se uma distribuição uniforme de tensões ao longo da espessura, como mostrado em (b), e assumindo ainda que todas as forças elementares de cisalha- 222 Resistência dos Matericis Cop, 3 A Equação 3.16 nos dá um método conveniente para a determinação do módulo de elasticidade transversal G de am certo material. Um corpo de prova do material, em forma de barra cilíndrica, com comprimento e diâmetro conhecidos, é levado a uma máquina de testes de torção (Fig. 3.22), O valor do momento de torção aplicado pela máquina é aumentado gradativamente, e os correspondentes ângulos de torção são medidos em certo comprimento L do corpo. de prova, Enquanto o início de escoamento não ocorre, os valores de q e 7 serão tais que, se levados à um gráfico 4x7, resultarão em uma linha reta. A declividade da reta representa a quantidade “GIL, de onde podemos calcular o módulo de elasticidade transversal 6. pu Fig. 3.22 Máquina de testes de sorção. (Cortesia Acco Industries, Ine.) EXEMPLO 3.2 Que valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular do Ex. 3.1, de modo que a ângulo de torção produzido seja de 2º? Adotar para o módulo de elasticidade G o valor 80 GPa, para o aço. Calculando 7 da Equação 3.16, temos Je Ta 4 g Cep. 3 Torção 223 Substituindo os valores dados G= 80x 10fPa L-15m o [ 2x rad) cas 6-2 (E) = 849 x 10-tras e recordando do Ex, 3.1 que, para a seção transversal dada J = 1,021 x 10-6mé temos JE, (1021 x 108 miBO x 109 Pa) x 1. PTD Lam (849 x 10 rad) T= 1,900 x 108N -m = 1,900kN -m EXEMPLO &3 Calcular, para o eixo de seção vazada do Ex. 3.1, o valor do ângulo de torção que provoca uma tensão de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo. O método de resolução deste problema que primeiro vem à mente é utilizar a Equação 3.9 para determinar o momento de torção 7 correspondente ao valor de x dado, e a Equação 3.16 para determinar o ângulo de torção correspondente so valor de T encontrado. Podemos usar, no entanto, uma solução mais direta. Pela Lei de Hooke, ealculamos inicialmente a deformação de cisalhamento na face interna do eixo: Tonto x 10 Pa tmn =G "80x 10Pa - 875 x 1058 Recordando da Equação 3.2, que foi obtida expressando o comprimento dé arco MA! (Fig. 3.13) em função de y e 4, temos Via 1500mm 5 6) = -3 e 20 mma (875 x 10-8) = 65,6 x 10-3 rad é Para obter q ângulo de torção em graus, escrevemos 360º + o Ierad | = 3,76 9 = (65,6 x 10-Srad) [ | 224 Resistência dos Materiais Cop. 3 A Fórmula 2.16 para o esleulo do ângulo de torção só pode ser usado no caso de material homogêneo (G constante), para eixos de seção transversal constante e momentos aplicados nas extremidades da barra. Se o eixo estiver submetido a momen- tos de torção aplicados em outros pontos, e se tiver várias seções transversais, compostas de materiais diferentes, devemos dividi-lo em várias partes, onde cada uma delas, individualmente, satisfaça às condições de utilização da Fórmula 3.16. No caso do eixo AB, mostrado como exemplo na Fig. 2.23, devemos considerar quatro partes diferentes; AC, CD, DE e £B. O ângulo de torção total do eixo, ista é, o ângulo segundo o qual a seção À gira em relação à seção B, será obtido se somermos algebricamente os ângulos de torção de cada parte componehie. Chamando respectivamente de T; Li, +; é 6; o momento de torção interho, o comprimento. o momento de inércia poiar da seção e o módulo de elasticidade transversal correspondente à parte à, o ângulo de torção total será expresso por (3.17) Fig. 328 O esforço interno de torção T, em qualquer parte do eixo é obtido passando uma seção por essa parte e desenhando o diagrama de corpo livre da porção do eixo localizada em um dos lados da seção. Este procedimento, que já foi expiicado na Sec. 3.4 e ilustrado na Fig. 2.16, será aplicado no Problema Resolvido 3.5. No caso de um eíxo circular com seção transversal variável, como indica a Fig. 3.24, a Fórmula 3.16 deve ser aplicada a um disco de espessura dx. O ângulo, segundo o qual uma face do disco gira em relação à outra, é dado por: Pdx Je do onde é uma função de x a ser determinada. Integrando em relação a x, desde O até L, obtemos o mgulo de torção toral do eixo: (3.18) Fig. 3.20 Os eixos mostrados nas Figs. 3.15 e 3.21, paraos Exs. 3.2e 3.3e para a dedução da Fórmula 3.16, tinham ambos uma extremidade engastada a um suporte fixo, Nos dois casos, o ângulo de torção 4 do eixo circular é igual ao ângulo de rotação da extremidade livre. No entanto, quando as duas extremidades do eixo girar, o ângulo de torção do eixo é igual ao ângulo segundo o qual uma extremidade girou em relação & outra. Consideremos, por exemplo, o conjunto mostrado na Fig. 3.254, que consiste em dois eixos elásticos AD e BE, ambos de comprimento L e raio c, com módulo de elasticidade transversal G, ligados em C pelas rodas dentadas indicadas. Quando um torque T é aplicado em E (Fig. 3.25%), os dois eixos ficarão submetidos à torção. Como a barra circular AD tem extremidade D fixa, o ângulo de torção de AD é medido pelo ângulo de rotação é, da extremidade A. Para o eixo BE, que tem as extremidades Livres, o ângulo de torção é igual à diferença entre os ângulos de rotação dg € 0e, quer dizer, o ângulo segundo o quai a extremidade E gira em relação à extremidade B. Chamando esse ângulo relativo de 97» escrevemos temmdem do TE EXEMPLO 3.4 No conjunto da Fig. 3.25, sabe-se que 74 e 2rg. Determinar o ângulo de rotação da extremidade E do eixo BE, quando o momento torçor T é aplicado em E. Vamos inicialmente determinar o momento de torção Tap, que atua no eixo AD. No ponto de contato das duas rodas dentadas (Fig. 3.26) ocorrem as duas forças iguais e do sentido contrário, E e F'. Lembrando que r4 = 2';, concluímos que o momento torçor do eixo AD é o dobro do momento torçor no eixo BE; dessa forma, Tap- 27. 228 Resistência dos Maseriais Cap. 3 Fig, ex 327 Desenhando o diagrama de corpo livre do eixo todo, e chamando de 7, e Tz os momentos torçores exercidos pelos apoios (Fig. 3.284), obtemas a equação de equilíbrio Ta + Ta = 120Nem Esta equação não é suficiente para a determinação das duas incógnitas T, e Tg; £ 0 eixo é estaticamente indeterminado. , - No entanto, podemos encontrar outras condições que nos levam a determinar Ty e Th, se observarmos que o ângulo de'torção total de AR é zero, uma vez que as suas extremidades são fixas e engastadas. Chamando de 4 e é, 205 ângulos de torção das partes AC e CB, respectivamente, escrevemos Pe trtgmo Tomando uma pequena parte do eixo, que inclua a extremidade A (Pig. 3.285), e amalizando o diagrama de eorpa livre, vemos que o tarque 7; em AC é iguai a Ty; do mesmo modo, para 0 diagrama de corpo livre de uma pequena parte do eixo que inclua. a seção B, vemos que o esforço intemo de torção To é igual a Ty. Tomando agora a Equação 3.16, e observando que as partes AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, escrevemos - Tah Tolo LE HO dedrtom -0 a Cop.3 Torção 229 8 (10) ta Fig. ex. 3.28 Dessa expressão, calculamos Tg Lado PA To a ET Substituindo os valores numéricos: Ly = Ly = 125mm dh e E(10mmt « 15,71 x 10 mm! Jo e E nf(10 mm)é — (8 zom)t) » 9,27 x 108 mmé escrevemos, então, Tg = 0,590T, Substituindo essa expressão na equação de equilíbrio inicial, obtemos TT, 755Nom Toe 45N-m PROBLEMA RESOLVIDO 3.3 Um cixo vertical AD é engastado a uma base fixa D, e fica submetido ao momento torçor indicado. A porção CD do cixo tem seção transversal vazada de 44ma de diâmetro interno. Sabendo-se que o eixo é feito de aço, com módulo de elasticidade transversal G = 80 MPa, calcular o ângulo de torção no ponto 4. 250 — Retistência dos Materiais Cop. 3 Cop. Torião 237 Momentos de inércia polares É ud pe 5m)f -8 mt Jap = ef = S (0,015)! = 0,0795 x 10 my Es Joe a = 5 (0,080m)t » 1,272 x 108mt dep = Slef — eb = 5 U0,080m)* — (0,022m)1 = 0,904 x 10-5mt 30mm :5mm & as Solução. O eixo é constituído de três partes, onde cada uma delas tem seção transversal uniforme e resiste a um momento torçor constante. Podemos usar a Equação 3.17. Condições da estática, Cortando o eixo por uma seção entre À e E, o diagrama de corpo livre mostra que EM, «O; (250Nm) - Tag » O Tas » 250N-m Ângulo de torção. Usando & Equação 3.17 e lembrando que G = 80 MPa, temos Tl, . 1 (Taplas , Teclac , TenLo ADE E To dao! os Passando agora uma seção entre os pontos B e €, temos 24, = 0; (250N mm) + (2000N - m) — Pag = O Too = 2250N m Como não existe momeato torçor aplicado em C, dam E cr 08 mt 7: z -E Te = Tao = 2250N- 80 GPa | 0,0795 x 10% mt — L272 x 1075 * 0,904 x 10 1 | (250N - mí04m) | (225000) | (2250/08) | = 0,01572 + 0,00442 + 0,01867 da = 0,0388tadianos 360º da = (00888 radaD Tm da = 2,22º | 
