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Sumário
- Aula 11: Relações Binárias
- 11.1 Introdução
- 11.2 Relações Binárias
- 11.2.1 Propriedades das Relações Binárias
- 11.3 Algumas Demonstrações
- 11.4 CONCLUSÃO
- 11.5 RESUMO
- 11.6 ATIVIDADES
- 11.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 12: Relações de Ordem
- 12.1 Introdução
- 12.2 Relações de Ordem
- 12.2.1 Cotas Superiores e Cotas Inferiores
- nimo 12.2.2 Elementos Maximal, Minimal, Máximo e Mí-
- 12.3 Algumas Demonstrações
- 12.4 CONCLUSÃO
- 12.5 RESUMO
- 12.6 ATIVIDADES
- 12.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 13: Relações de Equivalência
- 13.1 Introdução
- 13.2 Relações de Equivalência
- 13.2.1 Partições e Classes de Equivalência
- 13.3 Algumas Demonstrações
- 13.4 CONCLUSÃO
- 13.5 RESUMO
- 13.6 ATIVIDADES
- 13.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 14: Funções
- 14.1 Introdução
- 14.2 Funções
- 14.2.1 Imagem Direta e Imagem Inversa
- 14.3 Algumas Demonstrações
- 14.4 CONCLUSÃO
- 14.5 RESUMO
- 14.6 ATIVIDADES
- 14.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 15: Tipos de Funções
- 15.1 Introdução
- 15.2 Tipos de Funções
- 15.3 CONCLUSÃO
- 15.4 RESUMO
- 15.5 ATIVIDADES
- 15.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 16: Propriedades das Funções
- 16.1 Introdução
- 16.2 Propriedades das Funções Injetoras
- 16.3 Propriedades das Funções Sobrejetoras
- 16.4 Propriedades das Funções Bijetoras
- 16.5 Algumas Demonstrações
- 16.6 CONCLUSÃO
- 16.7 RESUMO
- 16.8 ATIVIDADES
- 16.9 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 17: Números Naturais: Axiomas de Peano
- 17.1 Introdução
- 17.2 Axiomas de Peano
- 17.3 CONCLUSÃO
- 17.4 RESUMO
- 17.5 ATIVIDADES
- 17.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 18: Operações em N
- 18.1 Introdução
- 18.2 Soma no Conjunto dos Números Naturais
- 18.3 Propriedades da soma
- 18.4 Produto no Conjunto dos Números Naturais
- 18.5 Propriedades do Produto
- 18.6 Relação de Ordem no Conjunto dos Números Naturais
- 18.7 Propriedades da Relação de Ordem
- 18.7.1 Demonstração de Algumas Propriedades
- 18.8 CONCLUSÃO
- 18.9 RESUMO
- 18.10ATIVIDADES
- 18.11REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 19: Princípio da Boa Ordem
- 19.1 Introdução
- 19.2 Alguns Teoremas
- 19.3 Princípio da Boa Ordem
- 19.4 Primeiro Princípio da Indução Finita
- 19.5 Segundo Princípio da Indução Finita
- 19.6 Algumas Demonstrações
- 19.7 CONCLUSÃO
- 19.8 RESUMO
- 19.9 ATIVIDADES
- 19.10REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
- Aula 20: Cardinalidade e Conjuntos Enumeráveis
- 20.1 Introdução
- 20.2 Cardinalidade de um Conjunto
- 20.2.1 Conjuntos Enumeráveis
- 20.2.2 Algumas Demonstrações
- 20.3 CONCLUSÃO
- 20.4 RESUMO
- 20.5 ATIVIDADES
- 20.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AULA
LIVRO
Relações Binárias
META
Introduzir o conceito de relações e suas propriedades.
OBJETIVOS
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar a imagem e o domínio de uma relação. Verificar as propriedades de uma relação.
PRÉ-REQUISITOS
Aula-10 os conhecimentos de produto cartesiano
Fundamentos da Matemática: Livro 2
AULA
- R 3 = {(a, 1), (3, b), (c, d)} não é uma relação pois (a, 1) ∈ A × B enquanto que (3, b) ∈ B × A
Figura 11.1: Relação R 1 Figura 11.2: Relação R 2
OBS 11.1. Dados dois conjuntos A e B e uma relação R ⊂ A × B e um par ordenado (a, b), podemos representar de várias formas o fato do par pertencer a relação. A saber: (a, b) ∈ R ou a R b para indicar que a está na relação R com b. Podemos representar o fato do par (a, b) não pertencer a relação escrevendo (a, b) ∈/ R ou alternativamente a R b.
Dois conceitos são importantes no estudo das relações: o con- ceito de domínio e o conceito de imagem de uma relação. Abaixo estabeleceremos estes conceitos definindo-os.
Definição 11.2. Sejam A e B conjuntos e R ⊂ A×B uma relação de A em B. Definimos o domínio de R, denotado Dom(R), por: Dom(R) def = {x ∈ A| ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R}
Definição 11.3. Sejam A e B conjuntos e R ⊂ A×B uma relação de A em B. Definimos a imagem de R, denotada Img(R), por: Img(R) def = {y ∈ B| ∃x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R}
Relações Binárias
OBS 11.2. Em palavras simples, o domínio de uma relação é cons- tituído pelos primeiros elementos de todos os pares ordenados que pertencem a relação, e a imagem de uma relação é constituída pelos segundos elementos de todos os pares ordenados que pertencem a relação.
Exemplo 11.2. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = { 1 , 2 , 3 } e a relação R = {(a, 2), (a, 3), (b, 1), (c, 1)} Fig 11.3. Desta forma temos para domínio da relação: Dom(R) = {a, b, c} e para imagem da relação: Img(R) = { 1 , 2 , 3 }
Figura 11.3: Relação R Podemos também definir a inversa de uma relação. A saber:
Definição 11.4. Sejam A e B conjuntos e R ⊂ A×B uma relação de A em B. Definimos a inversa da relação R, denotada R−^1 , por: R−^1 def = {(y, x) ∈ B × A| (x, y) ∈ R}
Exemplo 11.3. Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = { 1 , 2 , 3 } e a relação R = {(a, 2), (a, 3), (b, 1), (c, 1)} Fig 11.4. Desta forma temos para a relação inversa de R−^1 : R = {(2, a), (3, a), (1, b), (1, c)} Fig 11.
Relações Binárias
Definição 11.7. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade coreflexiva, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R → x = y
OBS 11.5. A relação de igualdade (=) no conjunto dos números reais R é um exemplo de relação com propriedade coreflexiva. A verificação é trivial pois, ∀x, y ∈ R se x = y então x = y.
Definição 11.8. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade simétrica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R
OBS 11.6. A relação de parentesco entre as pessoas de uma rua é um exemplo de relação simétrica pois, se x é parente de y então y é parente de x.
Definição 11.9. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade anti-simétrica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y
OBS 11.7. A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos núme- ros reais R é um exemplo de relação com propriedade anti-simétrica pois, ∀x, y ∈ R, x ≥ y ∧ y ≥ x então x = y.
Definição 11.10. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade assimétrica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R → (y, x) ∈/ R
OBS 11.8. A relação “maior do que” (>) no conjunto dos números reais R é um exemplo de relação com propriedade assimétrica pois, ∀x, y ∈ R, se x > y não podemos ter y > x.
Fundamentos da Matemática: Livro 2
AULA
Definição 11.11. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade transitiva, somente se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
OBS 11.9. A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos nú- meros reais R é um exemplo de relação com propriedade transitiva pois, ∀x, y, z ∈ R, x ≥ y e y ≥ z então x ≥ z.
Definição 11.12. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade total, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
OBS 11.10. A relação “maior ou igual” (≥) no conjunto dos nú- meros reais R é um exemplo de relação com propriedade total pois, ∀x, y ∈ R teremos x ≥ y ou y ≥ x, isto é, qualquer par de números reais é comparável pela relação “maior ou igual”.
Definição 11.13. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade tricotômica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R (y, x) ∈ R x = y
OBS 11.11. A relação “maior do que”, (>) no conjunto dos núme- ros reais R é um exemplo de relação com propriedade tricotômica pois, ∀x, y ∈ R teremos de forma exclusiva ou x = y ou x > y ou y > x.
Definição 11.14. Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade euclidiana, somente se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R → (y, z) ∈ R
OBS 11.12. A relação de igualdade (=) no conjunto dos números reais R é um exemplo de relação com propriedade euclidiana. A verificação é trivial pois, ∀x, y, z ∈ R se x = y e x = z então y = z.
Fundamentos da Matemática: Livro 2
AULA
PROVA É suficiente mostrar que R−^1 ∩ S−^1 ⊂ (R ∩ S)−^1 e (R ∩ S)−^1 ⊂ R−^1 ∩ S−^1. a) Primeiramente mostraremos que: R−^1 ∩ S−^1 ⊂ (R ∩ S)−^1. ∀(x, y) ∈ R−^1 ∩ S−^1 temos: (x, y) ∈ R−^1 ∧ (x, y) ∈ S−^1. Da definição de relação inversa temos: (x, y) ∈ R−^1 → (y, x) ∈ R. Do mesmo modo da definição de relação inversa temos: (x, y) ∈ S−^1 → (y, x) ∈ S. Logo temos: (y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S. Da definição de interseção temos: (y, x) ∈ R ∩ S. Da definição de relação inversa temos: (x, y) ∈ (R ∩ S)−^1. Daí, temos: ∀(x, y) ∈ R−^1 ∩ S−^1 → (x, y) ∈ (R ∩ S)−^1. Da definição de contido temos: R−^1 ∩ S−^1 ⊂ (R ∩ S)−^1. b) Em seguida mostraremos que: (R ∩ S)−^1 ⊂ R−^1 ∩ S−^1. ∀(x, y) ∈ (R ∩ S)−^1. Da definição de relação inversa temos: (y, x) ∈ R ∩ S. Da definição de interseção temos: (y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ S. Da definição de relação inversa temos: (y, x) ∈ R → (x, y) ∈ R−^1. Do mesmo modo da definição de relação inversa temos: (y, x) ∈ S → (x, y) ∈ S−^1.
Relações Binárias
Logo temos: (x, y) ∈ R−^1 ∧ (x, y) ∈ S−^1. Da definição de interseção temos: (x, y) ∈ R−^1 ∩ S−^1. Daí, temos: ∀(x, y) ∈ (R ∩ S)−^1 → (x, y) ∈ R−^1 ∩ S−^1. Da definição de contido temos: (R ∩ S)−^1 ⊂ R−^1 ∩ S−^1. Das partes a) e b) temos: (R−^1 ∩ S−^1 ⊂ (R ∩ S)−^1 ) ∧ ((R ∩ S)−^1 ⊂ R−^1 ∩ S−^1 ) Portanto, da definição de igualdade de conjuntos temos: R−^1 ∩ S−^1 = (R ∩ S)−^1
11.4 CONCLUSÃO
Caro aluno, ao final dessa aula, podemos concluir que relações constituem-se em um dos aspectos da Matemática de aplicação prática mais ampla. Podemos, em teoria, fazer relações com qual- quer par de conjuntos.
11.5 RESUMO
Nosso resumo consta das seguintes definições: Definição de relação binária: Definição: Sejam A e B dois conjuntos. Definimos como uma relação binária do conjunto A com o conjunto B, denotado R, à qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B: R ⊂ A × B Definição de domínio de uma relação.
Relações Binárias
Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade anti-simétrica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y Definição de propriedade assimétrica de uma relação. Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade assimétrica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R → (y, x) ∈/ R Definição de propriedade transitiva de uma relação. Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade transitiva, somente se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
Definição de propriedade total de uma relação. Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade total, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R
Definição de propriedade tricotômica de uma relação. Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade tricotômica, somente se: ∀x, y ∈ A, (x, y) ∈ R (y, x) ∈ R x = y Definição de propriedade euclidiana de uma relação.
Definição: Seja A um conjunto e R ⊂ A × A uma relação de A em A. Dizemos que R tem propriedade euclidiana, somente se: ∀x, y, z ∈ A, (x, y) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R → (y, z) ∈ R
11.6 ATIVIDADES
Deixamos como atividade a demonstração de algumas propri- edades acima.
Fundamentos da Matemática: Livro 2
ATIV. 11.1. Sejam A um conjunto e R, S ⊂ A × A duas relações^ AULA
sobre o conjunto A. Mostre que, se R e S são transitivas então R ∪ S é transitiva. Comentário: Volte ao texto e reveja com atenção as demons- trações desta aula.
ATIV. 11.2. Sejam A, B conjuntos e R, S ⊂ A × B relações de A em B. Mostre que: R−^1 ∪ S−^1 = (R ∪ S)−^1. Comentário: Volte ao texto e reveja com atenção as demons- trações desta aula.
11.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
DOMINGUES, Higino Hugueros. e IEZZI, Gelson. Álgebra Moder- na. Atual Editora LTDA. São Paulo. 1979. CASTRUCCI, Benedito. Elementos da Teoria de Conjuntos. São Paulo: GEEM, 1970.
