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UNIVERSIDADE ÓSCAR RIBAS
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS
LICENCIATURA EM ENGENHARIA INFORMÁTICA E COMUNICAÇÕES
APONTAMENTOS DA CADEIRA DE ANTENAS E RADIO PROPAGAÇÃO
Nº De Estudante: Ano de Escolaridade: Nome do Estudante: Nº da sala: Turno: Semestre e ano: Professor: Nº da aula: 03, 04, 05 e 06
TEMA I: PROPAGAÇÃO DAS ONDAS RADIOELÉCTRICAS
SUMÁRIO: PARAMETROS E EQUAÇÕES DAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
OBJECTIVOS
Estudar as equações de Maxwell.
Analisar a influência do meio na propagação da OEM.
Determinar os valores dos campos elétricos, magnéticos e a direção de propagação das OEM.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SOARES , António J os´e Martins; SILVA, Franklin da Costa. Antenas e Radio Propagação. Universidade de Bras´ılia. Agosto de 2003
ALVES , Albino Miguel; FERNANDES Manuel; BORGES, Mariana; FEREIRA Sofia. Utilização do espectro radioelétrico: Como é usado o espectro radioelétrico. Universidade do Porto
WEB SITES
http://slideplayer.com.br/slide/6148352/
http://andre-godinho-cfq-8a.blogspot.com/2013/06/espectro-eletromagnetico.html
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/espectro-eletromagnetico.htm
http://www.if.ufrgs.br/~leila/ondas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/ondas-mecanicas.htm
http://conceito.de/onda-electromagnetica
http://www.areatecnologia.com/ondas-electromagneticas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/ondas-eletromagneticas-ionizantes.htm
http://labcisco.blogspot.com/2013/03/o-espectro-eletromagnetico-na-natureza.html
Características das Ondas Eletromagnéticas (OEM)
OEM é a manifestação do campo eletromagnético (CEM) que caracteriza-se pelo seu deslocamento no espaço e no tempo. CEM=𝐸̅ × 𝐻̅=f (x,y,z,t) O CEM é um fenómeno que envolve o CE e o CM variando no tempo. As equações de Maxwell constituem basicamente a teoria dos fenómenos eletromagnéticos. No entanto, é importante ressaltar que a lei de Faraday da indução, é um dos importantes princípios do fenómeno. A Lei de Faraday da indução afirma que o módulo da Força eletromotriz induzida em um circuito é diretamente proporcional á taxa temporal de variação do fluxo magnético através do mesmo circuito.
𝛆 = - 𝐝∅ 𝐝𝐭𝐁
Esse sinal negativo que aparece na equação de Faraday é decorrente de outra lei proposta pelo físico Heinrich Lenz, onde a polaridade da força eletromotriz induzida que provoca o aparecimento de uma corrente elétrica, gera um fluxo magnético de sentido oposto á variação do mesmo fluxo, através do circuito fechado. Ou seja, com a redução do fluxo magnético com mesmo sentido do fluxo, e com aumento do fluxo magnético no tempo, a corrente induzida cria o mesmo campo com sentido oposto ao do fluxo magnético.
∇ ×( ∇ × 𝑣 ) = ∇ (∇. 𝑣) - ∇^2. 𝑣
∇ × 𝑣=|
𝜕 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑧 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
Usar a segunda propriedade para o campo elétrico, fica: ∇ ×( ∇ × 𝐸⃗ ) = ∇ × (− 𝜕𝐻⃗⃗𝜕𝑡 )
∇ (∇. 𝐸⃗ ) - ∇^2. 𝐸⃗ = - (^) 𝜕𝑡𝜕 (∇ × 𝐻⃗⃗)↔ - ∇^2. 𝐸⃗ = - (^) 𝜕𝑡𝜕 (𝜇 0 𝜀 (^0) 𝜕𝑡𝜕𝐸⃗ 2 ) ↔ 𝛁𝟐. 𝑬⃗⃗ = (^) 𝝏𝒕𝝏 ( 𝝁𝟎𝜺𝟎𝝏𝒕𝝏𝑬⃗⃗𝟐); equação do campo
elétrico.
Para o campo magnético fica: ∇ ×( ∇ × 𝐻⃗⃗ ) = ∇ × (− 𝜕𝐸⃗𝜕𝑡 )
∇ (∇. 𝐻⃗⃗ ) - ∇^2. 𝐻⃗⃗ = - (^) 𝜕𝑡𝜕 (∇ × 𝐸⃗ )↔ - ∇^2. 𝐻⃗⃗ = - (^) 𝜕𝑡𝜕 (𝜇 0 𝜀 (^0) 𝜕𝑡𝜕𝐻⃗⃗ 2 ) ↔ 𝛁𝟐. 𝑯⃗⃗⃗ = (^) 𝝏𝒕𝝏 ( 𝝁𝟎𝜺𝟎𝝏𝒕𝝏𝑯⃗⃗⃗𝟐); equação do campo
magnético.
𝐸⃗ (V/m) e 𝐻⃗⃗ (A/m)→ Intensidade vetorial do campo elétrico e magnético. 𝐷⃗⃗ = 𝜀. 𝐸⃗ ( (^) 𝑚𝑐 2 ) 𝑒 𝐵⃗ = 𝜇. 𝐻⃗⃗ (Web/𝑚^2 ) → Indução elétrica e magnética. 𝜀 = 𝜀𝑟. 𝜀 0 (F/m) e 𝜇 = 𝜇𝑟. 𝜇 0 (H/m) → Permitividade dielétrica e magnética. 𝜀 0 = (^) 36𝜋^1. 10−9^ (𝐹/𝑚) e 𝜇 0 = 4𝜋. 10−7^ (H/m) → Permitividade dielétrica e magnética no vazio.
Equações do campo elétrico e magnético
𝐸⃗ (z, t) =𝐸 0. 𝑒−𝛼𝑧.cos (wt-𝛽𝑧)𝑖
Onde:
𝛼 = 𝑤√𝜇𝜀 2 .√√1 + (^) 𝑤𝜀𝜎 − 1
𝐻⃗⃗ (Z, t) =𝐸 |ɳ^0 |. 𝑒−𝛼𝑧.cos (wt - 𝛽𝑧 − 𝜃𝑛)𝑗
Parâmetros das OEM
- Frequência angular: é a frequência com que oscila a OEM durante a propagação.
W = 2πf (rad/seg) ; f é a frequência (Hz)
- Longitude de onda: é a distância que percorre a OEM ao transcorrer um período de tempo (T).
λ= V.T = 𝒗𝒇 (m); v é a velocidade da luz = 3.10^8 m/seg e T= (^1) 𝑓 (seg)
- Velocidade de propagação: é a velocidade com que propaga-se a OEM na direção de propagação.
V = (^) √𝝁𝜺𝟏 (m/seg); onde ε = εr. ε 0 e μ = μr. μ 0
Para o vazio
V= C = (^) √𝝁𝟏𝟎𝜺𝟎 = 3.10^8 m/seg ; 𝜀𝑟 = 1 e 𝜇𝑟 = 1
- Impedância Intrínseca própria: é a impedância própria que exerce o meio de propagação á OEM.
ɳ = (^) 𝑯𝑬𝒙𝒚 = (^) 𝜺.𝒗𝟏 = √𝝁𝜺 ( 𝛀 )
Para o vazio
ɳ = (^) √𝝁 𝜺𝟎𝟎 =120π = 377 ( 𝛀 )
- Constante de fase: é o atraso em fase que experimenta a OEM na medida que propaga-se ao meio.
𝜷 = 𝝎 𝒗 = 𝟐𝝅 𝝀 (rad/m)
Conceitos das ondas planas, uniforme, linearmente polarizada e monocromática num meio sem perda
Meio sem perda (MSP): é aquele que apresenta igual (constante) valor de amplitude da onda em qualquer ponto, a quando da sua propagação. O 𝜎 = 0 S/m, é também designado por meio homogéneo.
Onda Plana: A fase do 𝐸̅ 𝑒 𝐻̅ dependem só de uma coordenada, indica que a direção de propagação e a direção dos campos é perpendicular a dita coordenada.
Onda uniforme: é aquela onda que os campos elétricos e magnéticos não dependem das coordenadas transversais a direção de propagação, só depende da direção de propagação.
Equação do campo elétrico: ∇^2 .𝐸̅ = 𝜎𝜇 𝜕𝐸̅𝜕𝑡 +𝜀𝜇 𝜕𝜕𝑡^2 𝐸̅ 2
Derivando cada equação fica: ∇^2 .𝐻̅ =𝜎𝜇𝑖𝑤𝐻̇ - 𝜀𝜇𝑤^2 𝐻̇= - (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐻̇
∇^2 .𝐸̅ =𝜎𝜇𝑖𝑤𝐸̇ - 𝜀𝜇𝑤^2 𝐸̇= - (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐸̇
Note: 𝐸 ̅ = 𝐸.̇ 𝑒𝑖𝑤𝑡; 𝜕 𝜕𝑡𝐸̅ = iw𝐸̇ = iwE 0 𝑒𝑖φ
𝜕^2 𝐸̅ 𝜕𝑡^2 = (iw)^2 .𝐸̇^ =^ -^ 𝑤^2 .E^0 .𝑒𝑖φ
A partir das equações ∇^2 .𝐻̅ =𝜎𝜇𝑖𝑤𝐻̇ - 𝜀𝜇𝑤^2 𝐻̇= - (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐻̇↔ ∇^2 .𝐻̅ + (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐻̇=
Onde = √𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇 é a constante de propagação, logo ∇^2 .𝐻̅ + 𝛾^2 𝐻̇=0.
Para o CE fica ∇^2 .𝐸̅ =𝜎𝜇𝑖𝑤𝐸̇ - 𝜀𝜇𝑤^2 𝐸̇= - (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐸̇↔ ∇^2 .𝐸̅ + (𝑤^2 𝜀𝜇 − 𝑖𝑤𝜎𝜇)𝐸̇ =0 ↔ ∇^2 .𝐸̅ +𝛾^2 𝐸̇ = 0
Propagação da OEM em diferentes meios
Meio condutor sem perda
Um dielétrico sem perda só é possível num meio isolante, onde não há passagem de corrente elétrica.
A condutividade é tão próximo de zero (𝜎 ≅ 0) e a resistividade é infinito (𝜌 = (^1) 𝜎 = ∞).
𝜎 ≅ 0 ; 𝜀 = 𝜀𝑟. 𝜀 0 ; 𝜇 = 𝜇𝑟.𝜇 0 Logo 𝛼 =0, 𝜃𝑛=0 e 𝛽 = 𝑤√𝜇𝜀
Os campos ficam: 𝐸⃗ (z,t) = 𝐸 0 .Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑖
𝐻⃗⃗ (Z, t) = (^) |𝐸ɳ^0 |.Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑗
ɳ =√𝜇 𝜀 ∟ 00
Conclusão: A OEM ao propagar-se num meio condutor isolante, não atenua-se, não há circulação de corrente.
O 𝐸⃗ e 𝐻⃗⃗ Estão em fase no tempo, não há desfasagem.
Meio condutor Bom
Um bom condutor é um caso especial de um dielétrico com perdas, onde
𝜎 ≅ ∞ ; 𝜀 = 𝜀 0 ; 𝜇 = 𝜇𝑟.𝜇 0 Logo 𝛼 =𝛽 = √𝑤𝜎𝜇 2 =√𝜋𝑓𝜇𝜎
𝐸⃗ (Z, t) = 𝐸 0 .𝑒−𝛼𝑧Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑖
𝐻⃗⃗ (Z, t) = (^) |𝐸ɳ^0 |. 𝑒−𝛼𝑧Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑗
ɳ =√𝑖𝑤𝜇 𝜎 =√𝑤𝜇 𝜎 ∟ 450
Conclusão: A OEM ao propagar-se num meio condutor bom , o 𝐸⃗ e 𝐻⃗⃗ estão desfasados a 450 no tempo e são atenuados em 𝑒−𝛼𝑧; a conductividade tende para infinito, ou seja é muito grande.
Espaço livre ou Vácuo absoluto
Trata-se de um meio livre de cargas que podem conduzir corrente elétrica
𝜎 = 0 ; 𝜀 = 𝜀 0 ; 𝜇 = 𝜇 0 Logo 𝛼 =0; 𝜃𝑛 = 0 𝑒 𝛽 = 𝑤√𝜇𝑜𝜀𝑜 =𝑤𝑐
𝐸⃗ (Z, t) = 𝐸 0. Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑖
𝐻⃗⃗ (Z, t) = (^) |𝐸ɳ^0 |. Cos (wt- 𝛽𝑧)𝑗
ɳ =√𝜇 𝜀𝑜𝑜 = 377 ∟ 00 Impedância do espaço livre (vazio)
Parâmetros de propagação de um meio
Constante de propagação 𝛾 = 𝑤√𝜇𝜀 = 𝛽 − 𝑖𝛼
𝛽 = 𝑤√𝜇𝜀 2. √√1 + (^) 𝑤𝜀𝜎 + 1 ; é a constante de fase.
𝛼 = 𝑤√𝜇𝜀 2 .√√1 + (^) 𝑤𝜀𝜎 − 1 (neper/m; ou usando dB/m=8,67 neper/m); é a constante de
atenuação. Velocidade de fase Vf = 𝑤𝛽 (m/𝑠^2 )
Impedância da onda ɳ = (^) 𝐻𝐸𝑥𝑦 = (^) 𝜀.𝑣^1 = √𝜇𝜀 (Ω)
Todos parâmetros mencionados acima, 𝛾, 𝛽, 𝛼 ,Vf, ɳ dependem dos parâmetros do meio (𝜇, 𝜀 𝑒 𝜎).
𝜎 = 10 −^3 𝑆/𝑚
μ𝑟= 1
𝜀𝑟 = 1
𝑎) F=300kHz
𝑏) F= 3MHz
𝑐) F=30GHz
3º Determinar a forma complexa do campo elétrico, sabendo que 𝐸̅ = 10.𝑒−0,2𝑧Cos (wt-3z) 𝑖⃗.
4º Determinar a forma instantânea do campo elétrico, se 𝐸̅ = 4.𝑒−2𝑧. 𝑒𝑖0,5𝑧^ 𝑗
a) Determinar o valor das amplitudes, se z = 0m e z = 20m b) A onda afasta-se ou aproxima-se. 5º Determinar a forma instantânea do campo, se 𝐸̅ = 25i.𝑒−0,8𝑧. 𝑒−𝑖3𝑧^ 𝑖 + 30.𝑒−0,8𝑧. 𝑒−𝑖3𝑧^ 𝑗
6º A partir da expressão do campo magnético 𝐻̅ =99𝑒−𝑖25𝜋𝑘̅^ mA/m.
Determinar o valor do vector de Poynting por unidade de área em forma complexa, se f = 3756Hz e 𝜀𝑟 = 𝜇𝑟= 1.
7º A partir da expressão de 𝐸̅=4πCos (wt-0,5z)𝑗, encontrar a expressão do campo magnético, se f = 36Hz e 𝜇 = 1.
8º Obtenha o valor máximo do campo magnético, se conhece-se a expressão do campo elétrico e que
a onda propaga-se no vazio. 𝐸⃗ =5cos (wt-2z)𝑖
