UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PEDRO MATEUS
DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL E INTEGRAL DE
RIEMANN: CONSTRUÇÃO E APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MEDIADAS
POR MÍDIAS E PRÁTICAS USUAIS
SÃO PAULO
2014
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
PEDRO MATEUS
DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL E INTEGRAL DE
RIEMANN: CONSTRUÇÃO E APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MEDIADAS
POR MÍDIAS E PRÁTICAS USUAIS
SÃO PAULO
UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
PEDRO MATEUS
DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL E INTEGRAL DE
RIEMANN: CONSTRUÇÃO E APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MEDIADAS
POR MÍDIAS E PRÁTICAS USUAIS
Tese submetida à banca examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência para defesa de Tese para obtenção do título de Doutor em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Marlene Alves Dias.
SÃO PAULO
PEDRO MATEUS
DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL E INTEGRAL DE
RIEMANN: CONSTRUÇÃO E APRENDIZAGEM DE CONCEITOS MEDIADAS POR
MÍDIAS E PRÁTICAS USUAIS
TESE APRESENTADA À UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO COMO
EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
Nome: Marlene Alves Dias Titulação: Doutora em Matemática – Universidade Dennis Diderot – Paris 7 Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo Assinatura: _________________________________________________
2º Examinador
Nome: Saddo Ag Almouloud Titulação: Doutor em Matemática e Aplicações– Universidade de Rennes I Instituição: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUCSP Assinatura: __________________________________________________
3º Examinador
Nome: José Luiz Magalhães de Freitas Titulação: Doutor em Didática da Matemática– Universidade Montppellier 2 Instituição: Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Assinatura: __________________________________________________
4º Examinador
Nome: Maria Helena Palma de Oliveira Titulação: Doutora em Psicologia Aprendizagem e Desenvolvimento Humano – USP Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo Assinatura: _________________________________________________
5º Examinador
Nome: Ruy Pietropaolo Titulação: Doutor em Educação Matemática - PUCSP Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo Assinatura: __________________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário: _____________________________________________________ Assinatura: _______________________________________DATA___//.
São Paulo, ___ de __________de ___.
Reitero, não obstante que, as entidades e as pessoas que tanto contribuíram para este
trabalho não são, de modo algum, responsáveis por quaisquer equívocos que outros venham a
descobrir, mas sim, da minha responsabilidade.
Meus profundos agradecimentos vão para os estudantes que, voluntariamente,
participaram da pesquisa dando as suas valiosas contribuições a partir de suas experiências
acadêmicas e de seus modos de pensar. Meus agradecimentos se estendem aos colegas docentes
do curso de Licenciatura em Ensino de Matemática da Universidade Pedagógica – Delegação da
Beira, que com muita à vontade colaboraram na realização do estudo, especialmente:
- À família Draisma: Professora Dra Frouke Draisma e Professor Doutor Jan Draisma
pelos seus digníssimos ensinamentos desde à LEMEP até a elaboração desta tese;
- Ao Professor Doutor Marcelino Caetano Luís, pelo encorajamento na prossecução do
estudo, pelas observações de correção ao teste diagnóstico e pela organização dos estudantes para
o grupo de discussão;
- Ao Professor Doutor Adelino Evaristo Murimo, pelas observações de correção do teste
diagnóstico; ao Me. Tureva E. C. Vurande, pelo provimento de equipamento para áudio
gravação; ao Dr. Adamo Devi Cuchedza, pela organização do grupo de discussão;
- Ao Dr. Jacinto Ordem, pela convivência salutar e troca de ideias em São Paulo. Agradeço à Direção da Universidade Pedagógica pela autorização para a prossecução
com os estudos; à Direção da Universidade Pedagógica – Delegação da Beira pela autorização
para a prossecução com os estudos e pelo consentimento de realização do experimento didático
naquela instituição; ao Me. Vasco Tamele pelo reforço em meios de áudio gravação.
Meus agradecimentos se estendem à família Muchanga, em especial aos srs:
- Mateus Mapsuca Muchanga pelo reforço financeiro de viagem à São Paulo;
- Jorge Mapsuca Muchanga pelos encaminhamentos de diversos processos burocráticos
em Maputo; à minha esposa Rosa Mapsuca Muchanga vai meu muito obrigado pelo inestimável
esforço na resolução de questões pertinentes em relação à minha situação estudantil e pela
coragem de enfrentamentos às adversidades decorrentes da minha ausência; aos meus filhos pelo
consentimento da ausência do pai do convívio deles que tanto fez falta;
Por último, vai meu agradecimento aos meus irmãos pelo apoio moral prestado durante
esse tempo todo fora do seu aconchego.
RESUMO
A versatilidade dos conceitos de derivada de funções reais de uma variável real e de integral de Riemann faz com que eles sejam parte integrante de muitos currículos do Ensino Médio em alguns países, como Moçambique, e quase indispensáveis em muitos cursos da universidade e, ao mesmo tempo, temas de dificuldades didático-pedagógicas e de aprendizagem nas instituições de ensino. Foi na sequência dessas dificuldades que realizamos esta pesquisa procurando responder à seguinte questão: Quão efetiva é uma mediação didática para a construção e aprendizagem de conceitos de derivadas de funções reais de uma variável real e de integral de Riemann mediadas por mídias e práticas usuais? Para responder a essa questão, o objetivo da pesquisa é estudar as praxeologias didático-matemáticas existentes em alguns materiais de ensino, sobre a derivada de funções reais de uma variável real e a integral de Riemann, de modo a inserir o Geogebra como ferramenta de ajuda à reflexão e construção dos conceitos em jogo. Para tal, consideramos necessário experimentar uma modalidade de ensino e de aprendizagem dos conceitos de derivada e integral de Riemann de funções reais de uma variável real, incorporando no processo o software Geogebra , articulado com as mídias e práticas usuais. O referencial teórico central é a Teoria Antropológica do Didático - TAD de Chevallard, que nos ajudou na análise das relações institucionais e pessoais das noções consideradas na pesquisa e a Teoria de instrumentação de Rabardel, a qual usamos para refletir sobre as interações nas sessões experimentais. Consideramos ainda como referenciais teóricos de apoio: as noções de quadro e mudanças de quadros introduzidas por Douady, que nos ajudaram na interpretação das formulações das tarefas nos materiais de ensino e nas sessões experimentais; a noção de níveis de conhecimento esperados para o funcionamento dos estudantes, segundo definição de Robert, que nos respaldou na análise das propostas dos materiais de ensino e das sessões experimentais. Foi um estudo de natureza qualitativa na forma de estudo de caso, tendo recorrido a alguns elementos da engenharia didática nos seus aspectos de análise institucional, análise cognitiva, concepção e análise a priori das tarefas preparadas para a experimentação; experimentação; análise a posteriori e validação interna. A análise das relações institucionais mostrou que: as organizações didáticas e matemáticas construídas, respectivamente, no programa de ensino e no livro didático moçambicanos do Ensino Médio, apresentam algumas imprecisões, ambiguidades e discrepâncias e com incidência nas organizações didático-matemáticas pontuais; os livros usados no Ensino Superior apresentam uma diversidade de perspectivas, com maior enfoque nas organizações matemáticas locais. Essa diversidade, se articulada adequadamente, pode ser vantajosa na realização dos processos de ensino e de aprendizagem. A pesquisa mostrou que a mediação didática articulada com as mídias e práticas usuais permite uma discussão multiforme e a construção de conhecimentos pelos estudantes dos conceitos de derivada de funções reais a valores reais e de integral de Riemann. Tal mediação desencadeia e capitaliza o dinamismo dos estudantes na sua relação pessoal com o objeto da ação finalizada, uma vez que individualiza a interação professor-estudante na relação com o conteúdo visado. Constatamos também que as discussões na sala não obedecem a uma ordem cronológica de etapas de intervenção pedagógica.
Palavras-chave: Mediação didática. Derivada de Funções. Engenharia Didática. Integral de Riemann. Teoria Antropológica do Didático. Teoria de Instrumentação/instrumentalização. Níveis de Conhecimentos. Quadro e Mudanças de Quadros.
ABSTRACT
The versatility of the concepts of derivative of real valued-functions of a real variable and the Riemann integral makes them to be an integrant part of many curricula of secondary education in some countries, such as Mozambique, and almost indispensable in many university courses and, at the same time, issues of learning and of difficulties of didactic-pedagogical in educational institutions. Following those difficulties we conducted this research to answer the following question: How effective is a didactic mediation for building and learning concepts of derivative of real valued-functions of a real variable and Riemann integral mediated by media and usual practices? To answer that question, the goal is to study the existing mathematical and didactical praxeologies in some teaching materials on the derivative of real valued-functions of a real variable and the Riemann integral, in order to insert the Geogebra as aid tool for reflection and construction of concepts in play. To this end, we consider it necessary to experience a teaching and learning mode of the derivative concepts and Riemann integral of real valued-functions of a real variable, incorporating in the process the Geogebra software , articulated with the usual means and practices. The central theoretical framework is the Anthropological Theory of the Didactic - TAD Chevallard, which helped us in the analysis of institutional and personal relationships of the considered notions in the research and, the theory of instrumentation by Rabardel, which we used to reflect on the interactions in the experimental sessions. Also we consider as support theoretical framework: the notions of setting and changes of settings introduced by Douady, which helped us in the interpretation of the formulations of the tasks in the teaching materials and the experimental sessions; the notion of levels of expected knowledge for the functioning of the students, as defined by Robert, which backed us in examining the proposals of the teaching materials and the experimental sessions. It was a qualitative study in the form of case study, having appealed to some elements of the didactic engineering in its aspects of institutional analysis, cognitive analysis, design and a priori analysis of the prepared tasks for experimentation; experimentation, a posteriori analysis and internal validation. The analysis of the institutional relationships showed that: the didactical and mathematical organizations constructed, respectively, in the educational program and the high school mozambican textbook, present some inaccuracies, ambiguities and discrepancies and with incidence in the punctual mathematical and didactical organizations; the books used in higher education present a diversity of perspectives, with greater focus on local mathematical organizations. This diversity, if adequately articulated, can be advantageous in achieving the processes of teaching and learning. The research has shown that the articulated didactic mediation with the media and usual practices allows a multiform discussion and the construction of knowledge by students to the concepts of derivative of real valued-functions of real variable and Riemann integral. Such mediation triggers and capitalizes the dynamism of the students in their personal relationship with the object of finalized action, since it individualizes the teacher-student interaction with regard to the target content. We also found that the discussions in the classroom do not follow a chronological order of pedagogical intervention.
Keywords : Didactical mediation. Derivative of functions. Didactical Engineering. Riemann integral. Anthropological Theory of the Didactic. Theory of Instrumentation/instrumentalization. Levels of knowledge. Setting and Changes of Settings.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 54 – GRÁFICO DE f(x) =
se x
sex x
x sen
,
E SUA DERIVADA.................. 230
FIGURA 55 – RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE f(x) =
se x
sex x
x sen
,
EM x = 0 231
FIGURA 56 – GRÁFICO (I) DA FUNÇÃO f(x) = 2sen(2x) + 3 ............................................... 233
FIGURA 57 – GRÁFICO (II) DE f(x) = 2sen(2x) + 3 E ÁREAS APROXIMADAS ................ 237
FIGURA 58 – GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E PARTIÇÕES DE I PARA n = 1, 2, 3 239
IGURA 59 – ÁREA SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E PARTIÇÃO PARA n = 2 ..................................................................................................................................................... 239
FIGURA 60 – ÁREA SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E PARTIÇÃO PARA n = 4 ..................................................................................................................................................... 240
FIGURA 61 – ÁREA SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E PARTIÇÃO PARA n = 8 ..................................................................................................................................................... 240
FIGURA 62 – ÁREA (ii) SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E A PARTIÇÃO PARA n = 2 ............................................................................................................................................. 242
FIGURA 63 – ÁREA (ii) SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E A PARTIÇÃO PARA n = 4 ............................................................................................................................................. 242
FIGURA 64 – ÁREA (ii) SOB O GRÁFICO DE f(x) = x^2 EM I = [0, 1] E PARTIÇÃO PARA n = 8 ................................................................................................................................................ 243
FIGURA 65 – ÁREAS APROXIMADAS DE f(x) = x^2 , COM I = [0, 1], E n = 1, 2, 4 ............. 247
FIGURA 66 –
1 0 x^2 dx NO GEOGEBRA ....................................................................................... 247
FIGURA 67 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 1a) DO TESTE DIAGNÓSTICO.. 253
FIGURA 68 – RESPOSTA (I) CONFORME À PERGUNTA 1b) DO TESTE DIAGNÓSTICO ..................................................................................................................................................... 253
FIGURA 69 – RESPOSTA (II) CONFORME À PERGUNTA 1b) DO TESTE DIAGNÓSTICO ..................................................................................................................................................... 254
FIGURA 70 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 1c) DO TESTE DIAGNÓSTICO.. 254
FIGURA 71 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 2a) DO TESTE DIAGNÓSTICO.. 255
FIGURA 72 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 2b) DO TESTE DIAGNÓSTICO. 256
FIGURA 73 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 2c) DO TESTE DIAGNÓSTICO.. 256
FIGURA 74 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 2d) DO TESTE DIAGNÓSTICO. 257
FIGURA 75 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 2e) DO TESTE DIAGNÓSTICO.. 257
FIGURA 76 – RESPOSTA CONFORME À PERGUNTA 3 DO TESTE DIAGNÓSTICO ..... 258
FIGURA 77 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 1a) DO TESTE DIAGNÓSTICO ............................................................................................................. 260
FIGURA 78 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 1b) DO TESTE DIAGNÓSTICO ............................................................................................................. 260
FIGURA 79 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 1c) DO TESTE DIAGNÓSTICO ............................................................................................................. 261
FIGURA 80 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 2a) DO TESTE DIAGNÓSTICO. ............................................................................................................ 262
FIGURA 81 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 2b) DO TESTE DIAGNÓSTICO. ............................................................................................................ 263
FIGURA 82 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 2c) DO TESTE DIAGNÓSTICO ............................................................................................................. 263
FIGURA 83 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 2e) DO TESTE DIAGNÓSTICO. ............................................................................................................ 264
FIGURA 84 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 3 DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 265
FIGURA 85 – RESPOSTA NÃO TOTALMENTE CONFORME À PERGUNTA 4 DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 266
FIGURA 86 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 1a) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 267
FIGURA 87 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 1b) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 267
FIGURA 88 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 1c) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 268
FIGURA 89 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 2a) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 268
FIGURA 90 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 2b) DO TESTE DIAGNÓSTICO. ......................................................................................................................... 269
FIGURA 91 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 2c) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 269
FIGURA 92 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 2d) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 269
FIGURA 93 – RESPOSTA NÃO CONFORME À PERGUNTA 2e) DO TESTE DIAGNÓSTICO .......................................................................................................................... 270
FIGURA 117 – ESTADOS DE UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES, SESSÃO 4 ....... 306
FIGURA 118 – ERROS GRÁFICOS (I) DE FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES, SESSÃO
FIGURA 119 – ERROS GRÁFICOS (II) DE FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES, SESSÃO
FIGURA 120 – EQUÍVOCOS COM O CONCEITO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO NUM
PONTO, SESSÃO 4 .................................................................................................................... 310
FIGURA 121 – INTRODUÇÃO GRÁFICA: LIMITE DA RAZÃO INCREMENTAL, SESSÃO
FIGURA 122 – VISUALIZAÇÃO GRÁFICA (I) DA RAZÃO INCREMENTAL ................... 313
FIGURA 123 – VISUALIZAÇÃO GRÁFICA (II) DA RAZÃO INCREMENTAL. ................ 314
FIGURA 124 – VISUALIZAÇÃO GRÁFICA (III) DA RAZÃO INCREMENTAL. ............... 315
FIGURA 125 – A RAZÃO INCREMENTAL, VISUALIZAÇÃO GRÁFICA E NUMÉRICA 316
FIGURA 126 – DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO, SESSÃO 7.................... 323
FIGURA 127 – RETAS TANGENTES: GRÁFICOS DE FUNÇÕES QUADRÁTICA E AFIM
FIGURA 128 – TAXAS DE VARIAÇÃO DE FUNÇÕES QUADRÁTICA E AFIM .............. 325
FIGURA 129 – RAZÃO INCREMENTAL DE UMA FUNÇÃO COM O GEOGEBRA .......... 326
FIGURA 130 – VERIFICAÇÃO GRÁFICA DO DECLIVE DE UMA RETA POR DOIS
PONTOS...................................................................................................................................... 327
FIGURA 131 – CÁLCULO ALGÉBRICO DO LIMITE DA RAZÃO INCREMENTAL ........ 327
FIGURA 132 – O CÁLCULO DO LIMITE DA RAZÃO INCREMENTAL PELO GRUPO 2 328
FIGURA 133 – CÁLCULO DO LIMITE DA RAZÃO INCREMENTAL ............................... 329
FIGURA 134 – SIMPLIFICAÇÃO DA RAZÃO INCREMENTAL ......................................... 330
FIGURA 135 – CÁLCULO DA DERIVADA EM UM PONTO POR SUBSTITUIÇÃO NA
FUNÇÃO DERIVADA ............................................................................................................... 330
FIGURA 136 – CORREÇÃO DA SIMPLIFICAÇÃO DA RAZÃO INCREMENTAL ............ 331
FIGURA 137 – CORREÇÃO DO CÁLCULO DO LIMITE DA RAZÃO INCREMENTAL .. 331
FIGURA 138 – VISTA DA DERIVADA, SESSÃO 7. .............................................................. 332
FIGURA 139 – RETAS TANGENTES A UMA PARÁBOLA E A UMA FUNÇÃO AFIM ... 333
FIGURA 140 – TAXAS DE VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES QUADRÁTICA E AFIM ........... 334
FIGURA 141 – DIFERENCIABILIDADE/NÃO DIFERENCIABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EM UM PONTO ......................................................................................................................... 335
FIGURA 142 – ANÁLISE GRÁFICA (I) DE DECLIVES PARA ESTUDAR A
DERIVABILIDADE DE FUNÇÕES EM UM PONTO ............................................................. 337
FIGURA 143 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) =
175 15
(^2215)
, , ,
, , se x
x x sex ........................................ 339
FIGURA 144 – ANÁLISE GRÁFICA (II) DE DECLIVES PARA ESTUDAR A
DERIVABILIDADE DE FUNÇÕES EM UM PONTO ............................................................. 339
FIGURA 145 – DIFERENCIABILIDADE/NÃO DIFERENCIABILIDADE DE UMA FUNÇÃO
EM UM PONTO ......................................................................................................................... 342
FIGURA 146 – EXISTÊNCIA OU NÃO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM
PONTO ........................................................................................................................................ 344
FIGURA 147 – VERIFICAÇÃO ALGÉBRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM
PONTO ........................................................................................................................................ 345
FIGURA 148 – FEEDBACK COMPUTACIONAL ERRADO DA NÃO EXISTÊNCIA DA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO ................................................................. 346
FIGURA 149 – TENTATIVAS ALGÉBRICAS PARA DETERMINAR A DERIVADA DE
UMA FUNÇÃO NUM PONTO DE DESCONTINUIDADE .................................................... 347
FIGURA 150 – FUNÇÕES CONTÍNUAS COM RECURSO À DERIVADA.......................... 348
FIGURA 151 – PROPRIEDADES DA DERIVADA PARA RESOLVER PROBLEMA
MATEMÁTICO (I) ..................................................................................................................... 349
FIGURA 152 – PROPRIEDADES DA DERIVADA PARA RESOLVER PROBLEMA
MATEMÁTICO (II) .................................................................................................................... 349
FIGURA 153 – INTRODUÇÃO DA FUNÇÃO DERIVADA ................................................... 350
FIGURA 154 – DESCRIÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
CÚBICA (I) PELA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ................................................ 351
FIGURA 155 – DESCRIÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
SENO PELA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA .......................................................... 353
FIGURA 156 – DESCRIÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
CÚBICA (II) PELA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ............................................... 354
FIGURA 157 – DESCRIÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO exp PELA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ..................................................................... 354
FIGURA 158 – DESCRIÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO RAIZ QUADRADA PELA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA ................................... 355
FIGURA 159 – FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CÚBICA (I) A PARTIR DA ANÁLISE DA ANIMAÇÃO GRÁFICA .................................................................................... 356
FIGURA 160 – FUNÇÃO DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CÚBICA (II) A PARTIR DA ANÁLISE DA ANIMAÇÃO GRÁFICA .................................................................................... 358
- FIGURA 1 – TIPOS DE PESQUISA E ÁREA DA MATEMÁTICA
- FIGURA 2 – TIPO DE TECNOLOGIA
- FIGURA 3 – DISTRIBUIÇÃO DE PAÍSES
- FIGURA 4 – INDICADORES DE DIMENSÕES
- FIGURA 5– INTERAÇÃO APRENDIZ-COMPUTADOR EM PROGRAMAÇÃO
- FIGURA 6 – TRANSLAÇÃO E HOMOTETIA HORIZONTAIS: FUNÇÃO QUADRÁTICA
- TRANSFORMAÇÃO REFLEXÃO FIGURA 7 – SIGNIFICADOS DOS COEFICIENTES: FUNÇÃO QUADRÁTICA E
- FIGURA 8 – OTIMIZAÇÃO COM O GEOGEBRA
- FIGURA 9 – SOMAS APROXIMADAS NO GEOGEBRA
- FIGURA 10 – SOMAS DE ÁREAS APROXIMADAS COM O MAPLE.
- VIA T1-NSPIRETM. FIGURA 11 – ESQUEMA CONCEITUAL: ENSINO E APRENDIZAGEM DO CÁLCULO
- FIGURA 12 – ELEMENTOS DA TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO
- INSTRUMENTO FIGURA 13 – MODELO I.A.S: SITUAÇÕES DE ATIVIDADES MEDIADAS PELO
- FIGURA 14 – MODELO DE NORMAN DE I.A.S.
- FIGURA 15 – MODELO I.A.S. TRIPOLAR DE HOLLNAGEL..............................................
- FIGURA 16 – SUGESTÕES METODOLÓGICAS – CÁLCULO DIFERENCIAL
- FIGURA 17 – SUGESTÕES METODOLÓGICAS – PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO
- FIGURA 18 – RESUMO DE TIPOS DE TAREFAS NO LIVRO DO ALUNO
- FIGURA 19 – AS NOÇÕES NUMÉRICA INTUITIVA E FORMAL DA DERIVADA..........
- FIGURA 20 – VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO EM RELAÇÃO A VARIAÇÃO DE x
- FIGURA 21 – STEWART: RETA TANGENTE E SEU DECLIVE. INTRODUÇÃO
- FIGURA 22 – DERIVADA COMO VELOCIDADE: APLICAÇÃO........................................
- DEFINIÇÃO................................................................................................................................ FIGURA 23 – STEWART: DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL A VALORES REAIS.
- FIGURA 24 – STEWART: DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO
- FIGURA 25 – ÁVILA (2005): INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE DERIVADA
- FIGURA 26 – ÁVILA E A DEFINIÇÃO DA RETA TANGENTE
- FIGURA 27 – RETA TANGENTE COMO LIMITE DAS RETAS SECANTES
- FIGURA 28 – SARRICO: INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE DERIVADA
- FIGURA 184 – ÁREAS APROXIMADAS NO GEOGEBRA E ALGUMAS REFLEXÕES
- FIGURA 185 – FORMALIZAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA.
- FIGURA 186 – MODELO BIPOLAR DE MEDIAÇÃO COM INSTRUMENTOS