UFRGS – INSTITUTO DE MATEM ´
ATICA E ESTAT´
ISTICA
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Estat´ıstica
Prova de Sele¸c˜ao 2019 - 26 de fevereiro de 2019
Nome:
Aten¸c˜ao: Responda `as quest˜oes abaixo de forma coesa, organizada, completa e leg´ıvel, deixando
clara a sua linha de argumenta¸c˜ao e apresentando o seu trabalho. Lembre-se de identificar cada folha
de respostas com seu nome completo.
BLOCO I - Escolha 4, e apenas 4, das quest˜oes deste bloco para resolver
Quest˜ao 1. Seja Xuma vari´avel aleat´oria com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada dada por
FX(x) =
0,se x < 0;
x2,se 0 ≤x < 1
2;
1−3(1 −x)2,se 1
2≤x < 1;
1,se x≥1.
(a) Calcule P(X > 1
4).
(b) Obtenha a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de X.
(c) Calcule PX > 1
4
X≤3
4.
(d) Calcule E(X).
Quest˜ao 2. Seja Xo diˆametro em mm de uma determinada pedra semi-preciosa utilizada na con-
fec¸c˜ao de um produto e assuma que X∼N(10,1). Ao ser vendida o valor agregado ao produto
depende do diˆametro da pedra utilizada da seguinte maneira:
Diˆametro (X)X < 8|X−10| ≤ 2X > 12
Valor agregado em R$ 1 10 20
Qual o valor esperado agregado ao produto?
Quest˜ao 3. Suponha que temos duas urnas idˆenticas. A primeira urna cont´em 2 bolas brancas e 3
bolas pretas. A segunda urna cont´em 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. O seguinte experimento ´e
realizado:
Etapa 1: escolhemos ao acaso uma das urnas.
Etapa 2: retiramos, ao acaso, uma bola da urna selecionada na etapa 1, anotamos sua cor e
devolvemos a bola `a urna.
Etapa 3: retiramos outra bola da urna selecionada na etapa 1, anotamos sua cor e a devolvemos
para a urna.
Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca na etapa 3 dado que uma bola preta foi
retirada na etapa 2.
Quest˜ao 4. Uma moeda foi lan¸cada 10 vezes observando-se 9 caras. Conduza um teste de hip´oteses
ao n´ıvel de α= 0,05 para testar as hip´oteses
H0:p= 1/2 vs. H1:p > 1/2,
onde p=P(cara). Apresente a estat´ıstica de teste, sua distribui¸c˜ao sob H0, a regi˜ao cr´ıtica do teste
e a conclus˜ao do teste no contexto do problema. Qual o p-valor do teste?
