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PRODUTOS NOTÁVEIS
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 Quadrado da soma de dois termos
Duas vezes o produto do 1º pelo 2º
Exemplo 1: a) (x + 3y)^2 = x^2 + 2.x.(3y) + (3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2. b) (7x + 1) 2 = c) (a^5 +2bc) 2 =
d)
2 4
2 m (^3) ⎟ ⎠
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Exemplo 2:
(7x – 4) 2 = (7x) 2 – 2.(7x).4 + 4^2 = 49x^2 – 56x + 16.
(6a – b) 2 =
(x^3 – xy) 2 =
2 p 2 h 5
⎜⎛^ −^ ⎞ =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(x + y). (x – y) = x^2 – y^2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Soma dos termos
Diferença dos termos
Quadrado do 1º termo
Quadrado do 2º termo
Quadrado do 1º termo
Quadrado do 2º termo O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado do 1º termo
Duas vezes o produto do 1º pelo 2º
Quadrado do 2º termo
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Exemplo 3:
(3a + x). (3a – x)= (3a)^2 – (x)^2 = 9a^2 – x^2.
(x^2 + 5p). (x^2 – 5p)=
(10 – ab 4 ). (10 + ab^4 )=
(^) ⎟ ⎠
⎛ (^) + c 5
b 3 3. ⎟ ⎠
⎛ (^) − c 5
b 3 3 =
Exercícios. 1) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule:
a) (x + 3)^2 b) (a + b) 2 c) (5y – 1) 2 d) (x^2 – 6)^2 e) (2x + 7) 2 f) (9x + 1). (9x – 1) g) (a^2 – xy) 2
h)
2 y 6
3 x^1 ⎟ ⎠
i) (2x^2 + 3xy) 2 j) ⎟ ⎠
⎛ (^) x y+ 1 4
⎛ (^) x y− 1 4
k) (x^3 y – xy^3 ) 2 l) (3y – 5) 2 m) (5 + 8b)^2 n) (ab + a^2 ). (ab – a^2 )
o) (^) ⎟ ⎠
⎛ (^3) − a 2 2
b 1. (^) ⎟ ⎠
⎛ (^3) + a 2 2
b^1
p) (10x^2 – ab) 2 q) (2a^3 + 3a) 2 r) (a^4 x^2 + a^2 x^4 ). (a^4 x^2 – a^2 x^4 )
s)
2 6
6 x^1 ⎟ ⎠
t)
2 2 8 6
3 x y ⎟⎟⎠
FATORAÇÃO
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números.
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá- lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
Diferença de Quadrados Considere o polinômio x^2 – y^2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença
de quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto,
x^2 – y^2 = (x + y).(x – y).
Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima.
Exemplo 6: Fatore x^2 – 25. Como 25 = 5^2 , x^2 – 25 = x^2 – 5^2 = (x + 5)(x – 5).
Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio x^2 +2xy + y^2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque
tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou
seja, é o resultado de (x + y) 2. Outro trinômio quadrado perfeito é
x^2 – 2xy + y^2 , que é o resultado de (x – y) 2. Assim, temos mais dois polinômios que
sabemos fatorar:
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 x^2 – 2xy + y^2 = (x – y)^2.
Exemplo 7: a) Fatore x^2 + 12x + 36. Neste caso x^2 e 36 são quadrados e suas bases
são x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim,
x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2. b) 9x^2 – 12x + 25 é um quadrado perfeito? Ora, 9x^2 = (3x) 2 e 25 = 5^2. Mas,
2.(3x).5 = 30x. Logo, 9x^2 – 12x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.
c) Fatore x^6 – 2x^3 y + y^2. Nesse caso, x^6 = (x^3 ) 2 e y^2 = (y) 2 e
2.x^3 .y = 2x^3 y. Logo, x^6 – 2x^3 y + y^2 = (x^3 – y)^2.
Exercícios : 2) Fatore as seguintes expressões: a) x^2 – 4 b) y^2 – 36 c) 9x^2 – 16 d) 81x^2 – 64 e) y^2 – 25x^2 f) 4x^2 – 25a^2 g) x^2 + 8x + 16 h) x^2 – 8x + 16 i) 4x^2 – 20x + 25 j) 9x^2 – 12x + 4 k) x^2 – 2x + 1 l) 121x^2 + 22x + 1 m) 16y^2 – x^4 n) 25m^2 + 20m + 4 o) 25x^2 – 103 x + 91
3) Observe a fatoração seguinte: a^4 – 1 = (a^2 + 1)(a^2 – 1) = (a^2 + 1)(a + 1)(a – 1) Agora, decomponha num produto de três fatores. a) x^4 – 1 c) x^20 – 81 b) 81a^4 – 1 d) 625 – x^4
4) Efetue as divisões seguintes, fatorando o dividendo. c) (^2)
2 ( 5 x 1 )
25 x 10 x 1 −
a) − + x 7
x 2 14 x 49 −
b) x 4
x 2 16
d) x 3
x 2 6 x 9
5) Simplifique e efetue 123456 12345
Exemplo 9: a) Vamos fatorar x^2 – ay + xy – ax.
x^2 – ay + xy – ax = x^2 + xy – ay – ax = x(x + y) – a(y + x) = (x + y)(x – a)
b) y^3 – 5y^2 + y – 5 c) 2x + ay + 2y + ax d) y^3 – 3y^2 + 4y – 12 e) ax^2 – bx^2 + 3a – 3b
Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos seguintes polinômios: a) 6x^2 + 6y^2 j) 2
a 2
a 2
a (^) +^2 +^3 b) a^3 + 3a^2 b c) 4x^2 – x^3 l) 2 ab^2 2
ab^1 4
ab^1 8
d) 15ab + 10bc^1 + − e) y^2 – xy + 2y m) 2 xy^2 4
x y^5 4
f) x^9 + x^6 – x^43 + g) 35a^4 m 3 + 14a^3 m 4 h) 2a^2 – 20a + 50^ n) 120ay^3 + 200ay^2 – 40ay i) x^2 y + y^3 o) 18mn + 30m 2 n + 54mn^2
Exercícios : 6) Fatore os seguintes polinômios: a) cy – y + cx – x b) 15 + 5x + 6a + 2ax c) 2x^2 – x + 4xy – 2y d) am + m + a + e) x^3 + xy^2 + ax^2 + ay^2 f) a^3 x + a^3 y – a^2 x – a^2 y g) y^12 – y^8 + y^4 – 1 h) a^3 + 10a^2 + 2a + 20 i) a^2 b + b – 9a^2 – 9 j) 6an + n + 12a + 2 k) 3x – 3 + 2
a 2
ax (^) − l) pn 4
p^1 4
mn^1 5
m^2 5
7) Fatore x^3 – ax^2 – 3bx + 3ab. x^3 – ax^2 – 3bx + 3ab = x^2 (x – a) + 3b(a – x) Observe que a expressão (a – x) é a oposta de (x – a), isto é, a – x = – (x – a). Então: x^2 (x – a) + 3b(a – x) = x^2 (x – a) – 3b(x – a) = (x – a)(x^2 – 3b)
8) Fatore: a) ax + ay – bx – by b) ax – 4a + 6x - 24 c) x^2 – bx – 2ax + 2ab d) a^2 y – a^3 + 3ab – 3by
9) Simplifique as seguintes expressões:
a) x 4
x x 4 x 4 2
3 2 −
5 (x 2 ) 3 y(x 2 ) 2
2 2
10) Vamos ver outro caso de fatoração. Primeiro observe:
(x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10
Então, para fatorar x^2 + 7x + 10 procuramos dois números de soma 7 e produto
- Por tentativas, vemos que esses números são 2 e 5. Portanto,
x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
Agora, vamos fatorar: a) x^2 + 8x + 12 d) x^2 + 11x + 30 b) x^2 + 12x + 20 e) x^2 + 13x + 12 c) x^2 – 7x + 10 f) x^2 – x – 6
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO :
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema. ⎩
x y 35
x y 81
Resolução:
1° passo: Isolar uma incógnita.
Vamos isolar a incógnita x na primeira equação. (você pode escolher qualquer
equação e isolar qualquer incógnita)
x + y = 81 ⇒ x = 81 – y
2° passo: Substituir a incógnita isolada.
Na segunda equação substituímos a incógnita x por 81 – y.
x – y = 35 ⇒ (81 – y) – y = 35
3° passo: Resolver a equação numa só incógnita.
Resolvemos a equação obtida: (81 – y) – y = 35
81 – y – y = 35 ⇒ 81 – 2y = 35 ⇒ – 2y = 35 – 81 ⇒ y = 2
Exemplo 4: Resolver o sistema. ⎩
4 x 2 y 6
5 x 3 y 2
Neste caso, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não há termos
simétricos, nenhuma incógnita desaparece. Mas, podemos obter termos
simétricos. Para isso, basta multiplicar ambos os membros da primeira equação
por 2 e multiplicar ambos os membros da segunda equação por 3.
4 x 2 y 6
5 x 3 y (^2) ⇒ ⎩
12 x 6 y 18
10 x 6 y 4
Agora temos os termos simétricos +6y e –6y. Por isso, vamos somar as duas equações, membro a membro. 10x + 6y = 4 12x – 6y = 18 22x + 0 = 22 22x + 0 = 22 ⇒ x = 1.
Agora, é só substituir o valor de x numa das equações do sistema:
5x + 3y = 2 ⇒ 5.1 + 3y = 2 ⇒ 3y = 2 – 5 ⇒ y = –3/3 ⇒ y = –1.
A única solução do sistema é S = {(1, –1)}
Exercícios. 1) Usando o método algébrico da substituição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:
a) ⎩
x y 5
x y 17
b) ⎩
x 60 y
2 x 5 y 18
c) ⎩
2 x 3 y 8
y 5 3 x
d) ⎪ ⎩
x y
y^1 4
x
e) ⎪⎩
x 2 (y 2 )
2 x y 2
x
f) ⎪⎩
5 y 2 2
3 x
3 (x y) 5 (x y) 0
2) Usando o método algébrico da adição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações:
a) ⎩
x y 3
x y 21
b) ⎩
5 x 2 y 1
5 x 4 y 13
c) ⎩
3 x 2 y 37
2 x 3 y 3
d) ⎩
3 x 2 y 5
5 x 7 y 12
e) ⎪ ⎩
y 6
x
y 2
x
f) ⎪⎩
y 1 4
x
2 (x 1 ) 3 (y 2 ) x
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Uma equação do 2° grau na variável x é toda equação da forma: a x^2 + b x + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a ≠ 0. Considere a resolução das seguintes equações do 2° grau:
1) x^2 – 7x = 0. x(x – 7) = 0 ⇒ x = 0 ou x – 7 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 7. S = {x ε ℜ| x = 0 ou x = 7}.
2) x^2 – 25 = 0. x^2 = 25 ⇒ x = ± 5. S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = -5}.
3) x^2 – 10x + 25 = 0. (x – 5)^2 = 0 ⇒ x = 5. S = {x ε ℜ| x = 5}.
4) x^2 – 6x + 5 = 0. x^2 – 6x + 5 + 4 = 0 + 4 ⇒ x^2 – 6x + 9 = 4 ⇒ (x – 3)^2 = 4 ⇒ x – 3 = ± 2 ⇒ x = 5 ou x = 1 S = {x ε ℜ| x = 5 ou x = 1}.
5) 3x^2 – 30x + 27 = 0. x^2 – 10x + 9 = 0 ⇒ x^2 – 10x + 9 + 16 = 16 ⇒ x^2 – 10x + 25 = 16 ⇒ (x – 5)^2 = 16 ⇒ x – 5 = ± 4 ⇒ x = 9 ou x = 1. S = {x ε ℜ| x = 9 ou x = 1}.
A fórmula de Bhaskara Na equação do 2° grau, a x^2 + b x + c = 0, indica-se b^2 – 4ac por Δ. Quando Δ < 0, a equação não tem soluções reais.
a
b b .a.c 2
Quando Δ ≥ 0, as soluções são obtidas pela fórmula: x = − ±^2 −^4.
Exercícios: 1) Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau:
a) 2x^2 – 1 = 0
b) x^2 + x= 0
c) 10x^2 – 15x = 0
d) 2x^2 – 50 = 0
2) Resolva as seguintes equações do 2º grau, extraindo raiz quadrada:
a) (x – 10)^2 = 36
b) (x + 5)^2 = 4
c) ( 2 x^ – 3) 2 = 49
d) ( 3 x^ + 5) 2 = 16
e) (x – 3)^2 = –
f) x^2 – 8x + 16 = 4
g) x^2 + 2x + 1 = 81
3) Resolva as seguintes equações, usando a mesma metodologia do exercício 2,
transformando uma parte delas em um trinômio quadrado perfeito.
a) x^2 – 2x – 15 = 0
b) x^2 – 7x + 12 = 0
c) x^2 + 12x + 27 = 0
d) x^2 – 6x = 40
e) 3x^2 – 27x + 60 = 0
f) 7x^2 – 14x – 105 = 0
g) 9x^2 + 45x + 54 = 0
h) 4x^2 – 36x + 65 = 0
i) 100x^2 – 100x + 25 = 0
4) Resolva equações do 2° grau, usando fórmula de Bhaskara:
a) 5x^2 + 9x + 4 = 0
b) 3x^2 + 4x + 1 = 0
c) 4x^2 – 6x + 2 = 0
d) (x + 4)(x – 1) + x^2 = 5(x – 1)
e) (3x – 1) 2 + (2x – 5) 2 = 6(2x^2 + 3)
f) (x – 3)(x + 4) – 10 = (1 – x)(x + 2)
5) O número real x somado com o dobro de seu inverso é igual a 3. Escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com os dados desse problema.
6) O número de diagonais de um polígono pode ser obtido pela fórmula d = 2
n ( n− 3 ). Se
d = 5, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau na incógnita n que se pode obter.
7) Dividindo o número 105 por um certo número positivo y, o quociente obtido é exato e supera o número y em 8 unidades. Escreva a equação na forma normal que se pode formar com os dados desse problema.
8) Em um retângulo de área 9 m 2 , a medida do comprimento é expressa por (x + 2)m enquanto a medida da largura é expressa por (x – 6)m. Nessas condições, escreva na forma normal a equação do 2° grau que se pode formar com esses dados.
9) Um quadrado cuja medida do lado é expressa por (2x – 1)cm tem a mesma área de um retângulo cujos lados medem (x + 2)cm e (x + 3)cm. Nessas condições, escreva, na forma normal, a equação do 2° grau que se pode obter com esses dados.
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO 2º GRAU
Alguns tipos de expressões algébricas tais como diferença de quadrados da forma x^2 – 49 ou trinômio quadrado perfeito, x^2 + 10x + 25 podem ser decompostos como (x – 7)(x + 7) ou (x + 5) 2. Agora, veremos como as expressões do tipo a x^2 + b x + c = 0, com a ≠ 0, que são chamadas de trinômios do 2º grau são fatoradas. Para isso, consideremos o seguinte exemplo.
2) Simplifique a expressão:
a)
2 2
x x x x
d)
x x x
b) 2 4 5 4
x x x
e)
2 2
x x x
c)
2 2
x x x x
f)
2 2
x x x x
3) Qual é o valor da expressão
2 2
x x x x
para x = 98?
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
Equação fracionária é toda equação que tem pelo menos uma variável no denominador de uma fração algébrica.
Por exemplo, 2x^1 1 3x^1 4 x 6
− (^) + = − (^) é uma equação fracionária.
Exercícios.
- Resolva a equação:
a) 2 x 2
x 1
b) x 3
3 x −
= x – 2
c) 1 1 x 3 x 3 4
d) 1 1 1 3 x 2 x 2
e) 1 1 x x 4 3
f) x^2 x^6 x 2 x
g) x^2 x^6 x 2 x
h) x 1
3 x x 1
x 1
x 2
2 −
i) 4 2 1 x(x 2) x
j) 1 2 8 x 4 x(x 4)
k) 1 15 3x^24 x 3 (x 2)(x 3)
+ =^ −
l) 4 3 1 2x 1 (x 2)(2x 1)
m) 2 x^1 2 x 5x 6 x 3
n) 2 3x^1 x 7x 12 x 3
FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS
1 – Função Exponencial
Suponha que atualmente a dívida de um certo município seja de 1 milhão de dólares e que, a partir de hoje, a cada década, a dívida dobre em relação ao valor devido na década anterior. Dessa forma, podemos construir a tabela a seguir, na qual o tempo zero indica o momento atual:
Tempo (em décadas)
Dívida (em milhões de dólares) 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32
Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico:
y = 2^-x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
x y = (1/2) -x y -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 ½ 2 ¼ 3 1/
Dom(f) = ℜ Im(f) = ℜ*+ f é decrescente em todo seu domínio.
Leis dos Expoentes. Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então
y
x a
1. a x+y^ = a x^ a y^ 2. a x–y^ = a 3. ( a x^ ) y^ = a xy^ 4. ( ab ) x^ = a x^ b x
Propriedades.
E.1 Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se: a x^ = a y^ ⇔ x = y.
E.2 A função exponencial f(x) = a x^ é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a > 1.
y = 2^x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y y = a x
Tem-se, então:
a m^ > a n^ ⇔ m > n , ∀ a , com a ∈ ℜ e a > 1.
E.3 A função exponencial f(x) = a x^ é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.
y = 2^-x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y y = a -x
Tem-se, então: a m^ > a n^ ⇔ m < n , ∀ a , com a ∈ ℜ e 0 < a < 1.
Exemplo 3. Esboce o gráfico da função y = 3 – 2 x^ e determine seu domínio e a sua imagem.
Exemplo 4. Dadas as funções f(x) =
(^27)
3
⎛ x e g(x) =^51 3
⎛ x , determine x real de
modo que:
a) f(x) = g(x) b) f(x) < g(x) c) f(x) > g(x) d) f(x) =
11 3
2 – Função Logarítmica
Se a > 0 e a ≠ 1, a função exponencial f(x) = ax^ é crescente ou decrescente, ela é invertível, pelo Teste da Reta Horizontal. Assim, a função inversa f -1, chamada de função logarítmica com base a denotada por log a. Usando a formulação de função inversa F -1(x) = y ⇔ f(y) = x, teremos
log a x = y ⇔ ay^ = x
Assim, se x > 0, então log a x é o expoente ao qual deve se elevar a base a para se obter x. Temos, então log a a = 1 e log a 1 = 0. Por exemplo, log 10 0,001 = -3 porque 10 -3^ = 0,001.
