APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DO
MODELO DE STREETER PHELPS
Mauro Rodrigues Clark¹, Leonardo Madeira Martins², Gabriel de Moura Sousa³, Ronaldo Valente da Silva,
Valeska Alves Carneiro
1.Graduado em Engenharia Civil (UFPI), Engenharia de Agrimensura (UFPI) e em Matemática (UESPI), Mestre em Matemática pelo IM- Instituto de Matemática
(UFRJ).2.Graduado em Tecnologia em Gestão Ambiental, Mestre e Doutor em Desenvolvimento e Ambiente pela Universidade Federal do Piauí (UFPI). 3.Acadêmico
Engenharia Civil (Uninovafapi). 4. Acadêmico Engenharia Civil (Uninovafapi). 5. Acadêmico Engenharia Civil (Uninivafapi).
I – INTRODUÇÃO
Quandoefluentes sanitáriossão lançados em rios, a carga orgânica existente
neles consome o oxigênio existente na água. Esse consumo reduz a quantidade de
OD para peixes e outros organismos, o que pode acarretar na sua morte.
O modelo de Streeter-Phelps é utilizado para modelar a concentração de oxigênio
dissolvido (OD) e demanda bioquímica de oxigênio (DBO) na água. De acordo com o
modelo a concentração de oxigênio dissolvido num curso hídrico depende
basicamente de dois fatores: consumo do oxigênio dissolvido pelos micro-
organismos aeróbios responsáveis pela oxidação da matéria orgânica presente no
curso hídrico e entrada de oxigênio no meio aquático pelo processo de reaeração
atmosférica. Tem-se que a taxa de redução da matéria orgânica presente na água é
diretamente proporcional à concentração da matéria orgânica existente num dado
instante.
O modelo de Streeter-Phelps é constituído por duas equações diferenciais
ordinárias, onde uma modela a oxidação da parte biodegradável da matéria orgânica
e a outra modela o oxigênio que está se solubilizando no meio aquático pelo
processo de reaeração atmosférica.
II – DESENVOLVIMENTO
A hipótese básica do modelo Streeter-Phelps é que a taxa de decomposição da
matéria orgânica no meio aquático (ou taxa de desoxigenação () que é proporcional
à concentração da matéria orgânica um dado instante de tempo, ou seja, a variação
das concentrações de DBO com o tempo no meio aquático é modelada através de
uma equação de primeira ordem:
Onde:
concentração de DBO remanescente ao fim do tempo t [mg/l];
DBO inicial (corpo receptor + efluente);
, coeficiente de desoxigenação;
tempo [dia].
Dessa forma, entende-se que, quanto maior a concentração de DBO, mais
rapidamente se processará a desoxigenação.
Integrando a equação (1), entre e , tem-se:
O consumo de OD no meio líquido ocorre simultaneamente à reação de
reoxigenação desse meio, na qual, por meio de reações exógenas, o oxigênio passa
da atmosfera para a água, ou seja, a cinética da reaeração (variação temporal do
déficit de OD) pode, igualmente, ser modelada através de uma equação de primeira
ordem, como mostrado a seguir:
Onde:
déficit de OD [mg/l], representado pela diferença entre a concentração de oxigênio
saturado e a concentração de oxigênio no tempo ;
, coeficiente de reaeração.
Considerando-se apenas os mecanismos de consumo de oxigênio pela DBO
devida a uma carga poluidora e a difusão do oxigênio da atmosfera do ar para a
água, pode-se definir a taxa de variação temporal do déficit de oxigênio, ou seja,
como o déficit de saturação de oxigênio dissolvido corresponde a resultante da soma
dos efeitos de desoxigenação e reaeração, obtém-se a equação (3):
A equação (3) representa o déficit de OD para uma carga pontual lançada no
rio.
Integrando a equação (3), tem-se:
Onde:
, déficit de saturação de oxigênio no tempo t, em [mg/l];
déficit inicial de oxigênio dissolvido, em [mg/l].
Visto isso, demos como solução do modelo de Streeter-Phelps para diferentes
fontes poluidoras. As concentrações de oxigênio dissolvido são encontradas
subtraindo-se todo o oxigênio presente na água, chamado de oxigênio saturado,
pelo déficit de oxigênio.
Matematicamente, fica sendo:
AGRADECIMENTOS
Agradecemos primeiramente a Deus por nos dar vida e a oportunidade de realizar este projeto. Em seguida ao nosso orientador professor Mauro
Clark por sua dedicação em realizar o IV Projeto de EDO. Aos coordenadores do curso de Engenharia Civil, Leonardo Madeira Martins e Renan Mendes,
pois foram essenciais na escolha do nosso tema e na realização do IV Projeto de EDO.
Onde:
, Concentração de oxigênio no tempo t;
, Concentração de saturação.
Problema 01:
Em um determinado rio no qual a sua vazão está valendo . Sua DBO ultima
igualando-se . Sua concentração de oxigêniocom o valor de , com a
concentração de saturação de oxigênio equivale a e sua área de seção
transversal de . Com um efluente sendo lançado no mesmo com vazão de , sua
DBO ultima sendo e com a concentração de oxigênio igual a zero. Tira-se a
vazão total, somando as duas vazões, equivalem a . Sua velocidade, pegando a
vazão total pela área transversal, iguala-se a . Em seguida encontra-se a DBO
inicial de mistura (efluente + corpo receptor), no ponto de lançamento, fazendo a
média ponderada, com as DBO’s últimas do rio e do efluente, vezes as vazões,
dividido pela vazão total. Por último , utilizamos a equação 4.
Por fim, temos que determinar as constantes de desoxigenação e de
reaeração () para esse rio. Na prática precisaríamos ir a campo para descobrir ou
recorreríamos a tabelas ou correlação que dariam esses valores decorrente a
cada rio:
Substituindo esses valores no modelo de Streeter-Phelps, conseguimos
montar um gráfico:
Problema 02:
Utilizando o mesmo rio do Problema 01, mas dessa vez há um tratamento de
esgoto antes do lançamento sobre o rio, capaz de remover 50% da DBO última a
ser lançada no rio.
III - CONCLUSÃO:
Concluímos que, para se avaliar a influência de lançamento de efluentes na
qualidade de determinado corpo hídrico, bem como propor medidas de controle,
é necessário o uso de modelos, como o de Streeter - Phelps, que represente o
comportamento de umas das características mais importantes de uma situação
real, que é capacidade de autodepuração do corpo d’água.
No problema 01, vimos que, que é a DBO inicial de mistura (efluente + corpo
receptor) é igual a e que seu , a concentração de oxigênio no tempo , ou seja,
seu défict inicial é igual a , utilizando as constantes de desoxigenação ( e de
reaeração ( para esse rio, valendo 0,45 e 3,00. Obtemos o gráfico 1. Nota-se que
se tomarmos distâncias suficientemente alta a DBO vai atender para zero e a
concentração de oxigênio vai tender para a sua saturação, conforme o esperado.
Já no problema 02, pois um tratamento de esgoto, notamos através do gráfico 2
que a concentração mínima de oxigênio é igual a , a cima do valor mínimo
estabelecida pela legislação.
IV - REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
1. Zill,DennisG.,Cullen,MichaelR.Equaçõesdiferenciais,vol.1,3aEdição.SãoPaul
o:PearsonMakronBooks,2001
2. TUCCI,C. Modelos hidrológicos. Ed UFRGS.ABRH, Porto Alegre, 1998.
IV - PROJEEDO CIVIL
PROJETO DE EXTENSÃO DAS EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS APLICADAS NA
ENGENHARIA CIVIL
(1)
(1.1)
(2)
(3)
(3.1)
(4)
Gráfico 1.
Gráfico 2.
4
5
