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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
COMPLEXA
M
UITAS VEZES, pergunta-se o porquê da necessidade de se estudar variáveis com- plexas quando na física estamos interessados apenas nas soluções reais. Poder- se-ia esperar que um estudo de funções reais de variáveis reais seria suficiente para se conhecer as soluções fisicamente relevantes. A resposta é que em muitas situações é desejavel estender nosso estudo a valores complexos das variáveis e das soluções por razões de completicidade e conveniência. Por exemplo, o conjunto dos números reais não forma uma base suficiente para a representação das raízes de equações polinomiais ou algébricas. Além disso, o conhecimento do comportamento de uma função complexa f (z), para todos os valores complexos de z, nos fornece uma visão mais completa de suas principais propriedades (mesmo suas propriedades para z real), do que o conhecimento de seu compor- tamento para somente valores reais de z. A localização, no plano complexo, dos zeros e dos infinitos de f (isto é, a posição das raízes de f (z) = 0 e de 1 /f (z) = 0) nos fornece informações sobre o comportamento de f para todos os valores de z. Adicionalmente, uma integral de f (z) ao longo de valores reais de z pode ser modificada em uma integral ao longo de uma trajetória conveniente no plano complexo, de forma a simplificar consideravelmente o seu cálculo. Integrais no plano complexo possuem uma ampla variedade de aplicações úteis na física e na matemática. Dentre estas, pode-se destacar:
- Cálculo de integrais definidas.
- Inversão de séries de potências.
- Cálculo de produtos infinitos.
- Obtenção de soluções de equações diferenciais para grandes valores da variável (soluções assintóticas).
- Investigação da estabilidade de sistemas potencialmente oscilatórios.
- Inversão de transformadas integrais.
Algumas destas propriedades serão tratadas ao longo deste capítulo. Em se tratando de soluções de equações da física-matemática, uma solução complexa deve ser tratada como uma função ou número complexos até o momento em que se quer compará-la com um valor medido, físico. Neste momento, devemos associar a parte real e/ou imaginária ou outra quantidade real derivada do número complexo (tal como o módulo) com parâmetros físicos reais. Assim, mencionando somente dois exemplos, o índice de refração real de uma onda eletromagnética propagando-se em um meio ativo torna-se uma quantidade complexa quando a absorção da energia transportada pela onda é incluída. A energia real associada com um nível de energia atômico ou nuclear torna-se complexa quando o tempo de vida finito do nível de energia é considerado. Mas a mais importante razão para se estudar funções complexas é a compreensão que se pode obter a respeito das propriedades gerais das funções. Por exemplo, as singularidades da função podem estar relacionadas com singularidades físicas, tais como as causadas por fontes, cargas elétricas pontuais, etc. É possível, a partir do conhecimento das singularidades de uma função complexa, especificar-se a função completamente. Estes serão alguns dos tópicos abordados neste capítulo.
24 2.1. Números e variáveis complexos
2.1 NÚMEROS E VARIÁVEIS COMPLEXOS
O sistema numérico em uso atualmente é o resultado de um desenvolvimento gradual na matemática que se iniciou na Idade Antiga. Os números naturais (inteiros positivos) { 0 , 1 , 2 ,... } foram utilizados inicialmente para a contagem. O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N e diz-se que um dado número natural n pertence a N (n ∈ N). Os inteiros negativos e o conceito do zero foram então introduzidos para permitir soluções de equações tais como x+3 = 2. Cria-se então o conjunto dos números inteiros {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,... }, representado pelo símbolo Z. Observa-se aqui que o conjunto N é um sub-conjunto de Z. Diz-se então que N está contido em Z (N ⊂ Z), ou que Z contém N (Z ⊃ N). Para permitir a solução de equações tais como bx = a, para todos os inteiros a e b (com b 6 = 0), os números racionais (x = a/b) foram introduzidos. Representa-se o conjunto de todos os números racionais por Q = {x | x = p/q, com (p, q) ∈ Z e q 6 = 0}. Nota-se aqui que Q contém Z, consistindo em aqueles x ∈ Q | q = 1. Posteriormente, os números irracionais foram introduzidos quando descobriu-se que núme- ros tais como as soluções da equação
x^2 − 2 = 0 =⇒ x = ±
ou a razão entre o perímetro de uma circunferência de raio unitário e o seu diâmetro, igual a π = 3. 14159265359... , não podem ser expressos por números racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo Q′. Nota-se aqui que Q não contém nem está contido em Q′, sendo ambos conjuntos de números completamente distintos. A reunião, ou a união, dos números racionais com os irracionais formam o conjunto dos números reais, representado pelo símbolo R (R = Q ∪ Q′). Disciplinas usuais de cálculo apre- sentam seus teoremas e resultados considerando somente números pertencentes ao conjunto R. Contudo, este conjunto ainda está incompleto para aplicações em álgebra e para a análise matemática. Os números complexos foram descobertos na Idade Média, ao se pesquisar as raízes de certas equações quadráticas, tais como
z^2 + 1 = 0 =⇒ z = ±
É óbvio, pelo nome dado, que eles foram considerados de maneira suspeita. Leonhard Paul Euler (1707-1783), em 1777, introduziu o símbolo
i =
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), na sua tese de doutorado em 1799, forneceu aos números complexos a agora familiar expressão algébrica z = x + iy, bem como a sua representação geomé- trica (vetorial) e, com isso, ajudou a desvendar parte de seu mistério. Neste século, a tendência tem sido definir os números complexos como símbolos abstratos sujeitos a certas regras formais de manipulação. Como o número
− 1 não possui representação possível dentro do conjunto de números reais, chamou-se este número de imaginário puro e atribuiu-se a ele símbolo i =
− 1. Além disso, definiu-se um conjunto mais amplo de números, denominado conjunto dos números complexos C ⊃ R, o qual contém todos os números complexos, tendo o conjunto dos números reais como um sub-conjunto. Um número complexo nada mais é que um par ordenado de dois números reais x e y. Assim, o número complexo z pode ser representado de, pelo menos, duas maneiras:
z = (x, y) = x + iy,
sendo a última representação a preferida neste texto. Deve-se notar que o ordenamento é signi- ficante; assim, a + ib 6 = b + ia. Uma propriedade imediata do número i pode ser deduzida observando-se que i^2 = i · i = − 1 , i^3 = i^2 · i = −i, i^4 = i^2 · i^2 = 1, i^5 = i · i^4 = i,.... Da mesma forma,
i−^1 =
i
i i · i = −i
i−^2 =
i^2
26 2.2. Álgebra de números complexos
2.1.2 FÓRMULA DE EULER
Uma representação equivalente à representação algébrica de z dada por (2.2) é a chamada representação polar: z = reiθ^. (2.3)
Demonstração. A partir das seguintes séries de McLaurin:
sen x =
∑^ ∞
n=
(−1)n^
x^2 n+ (2n + 1)!
cos x =
∑^ ∞
n=
(−1)n^
x^2 n (2n)!
ex^ =
∑^ ∞
n=
xn n!
e das potências (2.1a,b), obtemos
eiθ^ =
∑^ ∞
n=
(iθ)n n!
∑^ ∞
n=
(iθ)^2 n (2n)!
∑^ ∞
n=
(iθ)^2 n+ (2n + 1)!
∑^ ∞
n=
(−1)n^
θ^2 n (2n)!
∑^ ∞
n=
(−1)n^
θ^2 n+ (2n + 1)!
ou seja,
eiθ^ = cos θ + i sen θ.
Esta é a conhecida Fórmula de Euler.
2.2 ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEXOS
Sendo z = x + iy ∈ C um número complexo qualquer, as seguintes operações e definições se aplicam:
Parte real de z : a parte real de z é o número x ∈ R. Esta operação é representada por
Re z = x.
Parte imaginária de z: a parte imaginária de z é o número y ∈ R. Esta operação é representada por Im z = y.
Complexo conjugado de z : o complexo conjugado de z, representado por z¯ ou z∗, tal que z∗^ ∈ C, é definido por z∗^ = x − iy. Na figura 2.1, pode-se observar a representação vetorial de z∗.
Módulo de z : é o número |z| ∈ R tal que
|z| = |x + iy| =
x^2 + y^2 =
z.z∗.
Fase ou argumento de z : número θ ∈ R tal que θ 0 6 θ < θ 0 + 2π, dado por
θ ≡ arg(z) = tan−^1
( (^) y x
Usualmente, toma-se θ 0 = 0, mas outros textos podem usar, por exemplo, −π 6 θ < π.
As seguintes operações algébricas estão definidas para dois números z 1 = a + ib = r 1 eiθ^1 e z 2 = c + id = r 2 eiθ^2 quaisquer, tais que {z 1 , z 2 } ∈ C. Os números {r 1 , r 2 } ∈ R são, respectivamente, os módulos de z 1 e z 2 e {θ 1 , θ 2 } ∈ R são os respectivos argumentos.
Identidade: Se z 1 = z 2 , então Re z 1 = Re z 2 e Im z 1 = Im z 2 ; ou, de forma equivalente, r 1 = r 2 e θ 1 = θ 2 + 2kπ.
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 27
z^1 +z
2
Re
Im
z 2
a
b
d
z 1
a+c
b+d
(a)
c Re
Im (b)
θ 1
θ 2
θ 1 +θ 2 z 1
z 2
z^1
.z^2
Figura 2.2: (a) Representação da operação z 1 + z 2. (b) Representação da operação z 1 .z 2.
Adição: z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i. Esta operação está representada na figura 2.2(a).
Subtração: z 1 − z 2 = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + (b − d)i.
Conjugação complexa da adição: (z 1 + z 2 )∗^ = z∗ 1 + z 2 ∗.
Multiplicação por real: Dado um h ∈ R,
h.z 1 = h(a + ib) = ha + ihb.
Multiplicação de complexos:
z 1 .z 2 = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + (ad + bc)i,
ou, em termos da forma polar,
z 1 .z 2 = r 1 r 2 ei(θ^1 +θ^2 )^ = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sen (θ 1 + θ 2 )]. (2.4)
Esta operação está representada na figura 2.2(b).
Divisão de complexos:
z 1 z 2
= z 1
z∗ 2 z 2 .z∗ 2
z 1 .z∗ 2 |z 2 |^2
, ou
z 1 z 2
a + ib c + id
(a + ib)(c − id) (c + id)(c − id)
ac + bd c^2 + d^2
− i
ad − bc c^2 + d^2
Ou, em termos da forma polar, z 1 z 2
r 1 r 2
ei(θ^1 −θ^2 )^ =
r 1 r 2
[cos (θ 1 − θ 2 ) + i sen (θ 1 − θ 2 )].
Conjugação complexa do produto: (z 1 .z 2 )∗^ = z∗ 1 .z 2 ∗.
Outras operações algébricas, como potenciação e radiciação, serão vistas nas seções seguintes. O valor absoluto de z ainda possui as seguintes propriedades. Sendo {z 1 , z 2 ,... , zn} números complexos, então
- |z 1 z 2... zn| = |z 1 | |z 2 |... |zn|.
z 1 z 2
∣ =^
|z 1 | |z 2 |
, desde que z 2 6 = 0.
- |z 1 + z 2 + · · · + zn| 6 |z 1 | + |z 2 | + · · · + |zn|.
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 29
Re
Im
w
z
z (^) 1
(a)
0 z 0
z 1
z 2
Re
Im (^) (b)
w
Figura 2.3: (a) Raízes quadradas z 0 e z 1 de w = 1 + i. (b) Raízes cúbicas w 0 , w 1 e w 2 de z = 1 + i.
nθ = α =⇒ θ =
α n
Portanto, a raiz principal de (2.7) é dada por
z 0 = n
|w|
[
cos
( (^) α n
( (^) α n
)]
= n
|w|eiα/n. (2.9a)
Contudo, como já foi mencionado, existem outras n − 1 raízes distintas de w. Estas outras raízes podem ser determinadas levando-se em conta as identidades
cos (β ± 2 kπ) = cos β e sen (β ± 2 kπ) = sen β, para k = 0, 1 , 2 , 3 ,....
Assim, retornando-se a (2.8), pode-se escrever a relação entre as fases como
nθ − 2 kπ = α =⇒ θ =
α + 2kπ n
Constata-se facilmente que se α for substituído por α+2kπ em (2.9a), haverá sempre um número total de n arcos tais que
α + 2kπ n
6 2 π, para k = 0, 1 ,... , n − 1 ,
os quais são geometricamente distintos sobre o plano complexo. Se fossem considerados os valores k = n, n + 1,... , isto simplesmente repetiria os arcos anteriormente encontrados. Portanto, as n raízes de (2.7), incluindo z 0 , são:
zk = n
|w|
[
cos
α + 2kπ n
α + 2kπ n
)]
= n
|w|ei(α+2kπ)/n, (k = 0, 1 ,... , n − 1). (2.9b)
Exemplo 2.1 ( Raízes quadradas ). Dado o número w = 1 + i, encontre as suas raízes quadradas.
Solução: há exatamente 2 raízes quadradas para w. Inicialmente, escreve-se w na forma polar:
w =
cos
π 4
π 4
=⇒ |w| =
2 e α =
π 4
sendo que π/ 4 ; 45 ◦. De acordo com (2.9b), n = 2, k = 0, 1 , e as raízes são:
z 0 =
cos
π 8
π 8
30 2.3. Funções de uma variável complexa
z 1 =
cos
9 π 8
9 π 8
sendo que π/ 8 ; 22 , 5 ◦^ e 9 π/ 8 ; 202 , 5 ◦, de tal forma que as raízes z 0 e z 1 são antiparalelas no plano complexo. Estas raízes encontram-se representadas no diagrama da figura 2.3(a).
Exemplo 2.2 ( Raízes cúbicas ). Dado o número w = 1 + i, encontre as suas raízes cúbicas.
Solução: há exatamente 3 raízes cúbicas para w. Dado w na forma polar:
z =
cos
π 4
π 4
=⇒ |z| =
2 e θ =
π 4
sendo que π/ 4 ; 45 ◦. Agora, de acordo com (2.9b), n = 3, k = 0, 1 , 2 , e as raízes são:
z 0 = 6
[
cos
( (^) π 12
( (^) π 12
)]
z 1 = 6
[
cos
3 π 4
3 π 4
)]
z 2 = 6
[
cos
17 π 12
17 π 12
)]
sendo que π/ 12 ; 15 ◦, 3 π/ 4 ; 135 ◦^ e 17 π/ 12 ; 255 ◦, de tal forma que z 0 , z 1 e z 2 estão nos vértices de um triângulo equilátero. Estas raízes encontram-se representadas no diagrama da figura 2.3(b).
2.3 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
Seja D ⊆ C um conjunto de números complexos z = x + iy. Uma função f (z), definida em D é uma operação que atribui a cada z ∈ D um outro número complexo w ∈ I, onde I ⊆ C. O número w é denominado o valor de f (z) em z, isto é,
w = f (z).
O conjunto D é denominado o domínio de definição de f(z) e o conjunto I é denominado a imagem de f(z). Deve ser enfatizado que tanto o domínio de definição quanto a operação são necessários para que a função seja bem definida. Quando o domínio não é especificado, deve-se supor que o maior conjunto possível é tomado. Assim, se é mencionada simplesmente a função f (z) = 1/z, o domínio é subentendido como o conjunto de todos os pontos não nulos no plano complexo. Existem dois tipos básicos de funções complexas:
Funções unívocas. Uma função é denominada unívoca em D se a cada valor de z corresponde um único valor de w.
Funções plurívocas. Uma função é denominada plurívoca em D se a um determinado valor de z corresponder mais de um valor de w. Uma função plurívoca pode ser considerada como uma coleção de funções unívocas, onde cada membro desta coleção é chamado de ramo da função plurívoca. É usual tomar-se um membro em particular da coleção como o ramo principal da função plurívoca e o valor da função correspondente a este ramo é denominado valor principal.
Como exemplos de funções unívocas ou plurívocas, pode-se tomar:
- w = z^2 – função unívoca ou simplesmente função.
- w =
z – função plurívoca, pois a cada valor de z correspondem dois valores de w, de acordo com (2.9b). Assim:
se z = reiθ^ , então
z = wk =
rei(θ+2kπ)/^2 , onde k = 0, 1 ,
Para k = 0 : w 0 =
reiθ/^2 −→ ramo principal. Para k = 1 ; w 1 =
reiθ/^2 eiπ^ = −
reiθ/^2 −→ segundo ramo.
32 2.3. Funções de uma variável complexa
Figura 2.5: Linha de ramificação para a função w = √ z.
f 2 (z) =
z não apresenta simetria frente a uma rotação de 2 π radianos, mas sim frente a uma rotação θ → θ + 4π, em cuja situação
f 2 (z) → r^1 /^2 eiθ/^2 ei^2 π^ → f 2 (z).
Pode-se descrever o que se sucede com a função f 2 (z) =
z afirmando-se que quando 0 6 θ < 2 π, o mapeamento do plano z para o plano w permanece sobre um dos ramos da função plurívoca f 2 (z), enquanto que no intervalo 2 π 6 θ < 4 π, o mapeamento leva ao outro ramo da função. Claramente, sobre cada ramo a função f 2 (z) é unívoca e, para assim mantê-la, estabelece-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito ao longo de alguma reta sobre o plano complexo de z. A função permanecerá unívoca desde que esta barreira não seja cruzada. Para a função
z, esta linha é usualmente traçada ao longo do eixo real positivo e é deno- minada linha de ramificação , enquanto que o ponto O, de onde parte a linha de ramificação, é denominado ponto de ramificação. A figura 2.5 mostra esta linha de ramificação como uma linha sinuosa sobre o eixo real positivo. É importante enfatizar aqui que uma volta em torno de um outro ponto qualquer, distinto da origem, de tal forma que esta não esteja dentro da área delimitada pelo caminho fechado, não leva a um outro ramo da função
z. Ou seja, o ponto O é o único ponto de ramificação desta função. George Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) sugeriu uma outra interpretação para a linha de ramificação definida acima. Imagina-se o plano z composto por duas folhas sobrepostas uma à outra. Corta-se agora as duas folhas ao longo da linha OB vista na figura 2.5 e junta-se a borda inferior da folha de baixo à borda superior da folha de cima. Da mesma forma, juntam-se as outras duas bordas. Partindo-se então do primeiro quadrante da folha de cima, realiza-se uma volta completa sobre o plano z em torno de O. Ao se cruzar a linha de ramificação, passa-se para o primeiro quadrante da folha de baixo; ao se realizar mais um volta completa em torno da origem, retorna-se à folha de cima ao se cruzar pela segunda vez a linha de ramificação. Desta maneira, a função
z permanece unívoca sobre um domínio no qual 0 6 θ < 4 π. A coleção de duas folhas para a garantia da unicidade da função
z é denominada de super- fície de Riemann. Cada folha de Riemann corresponde a um ramo da função e, sobre cada folha, a função é unívoca. O conceito de superfície de Riemann possui a vantagem de possibilitar a obtenção dos vários valores de uma função plurívoca de uma maneira contínua. A figura 2. ilustra as duas folhas de Riemann da função
z.
2.3.3 EXEMPLOS DE FUNÇÕES UNÍVOCAS OU PLURÍVOCAS
Além das funções f 1 (z) = z^2 e f 2 (z) =
z já abordadas, outras funções de uma variável complexa que com frequência surgem são as seguintes.
Função exponencial. Definida por
w = ez^ = ex+iy^ = ex^ (cos y + i seny).
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 33
Funções trigonométricas. Define-se as funções trigonométricas em termos das funções expo- nenciais. sen z =
eiz^ − e−iz 2 i
cos z =
eiz^ + e−iz 2
cos^2 z + sen^2 z = 1.
Funções trigonométricas hiperbólicas. De maneira análoga, define-se
senh z =
ez^ − e−z 2
cosh z =
ez^ + e−z 2
cosh^2 z − senh^2 z = 1.
É possível mostrar as seguintes relações entre as funções trigonométricas circulares e as hiperbólicas:
sen iz = i senh z senh iz = i sen z cos iz = cosh z cosh iz = cos z.
Função logarítmica. Esta é uma outra função plurívoca, definida por
w = lnz = ln
[
rei(θ+2kπ)
]
= ln r + i (θ + 2kπ) , k = 0, 1 , 2 , · · ·.
Como se pode notar, esta função possui infinitos ramos, sendo w = ln r + iθ, para 0 6 θ < 2 π, o ramo principal. A superfície de Riemann para esta função está representada na figura 2.7.
2.4 O CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE UMA VA-
RIÁVEL COMPLEXA
Nesta seção serão definidos os conceitos de limites, continuidade e de derivação de uma função de uma variável complexa.
2.4.1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO COMPLEXA
Dados os números {z, z 0 , w 0 } ⊂ C, diz-se que o número w 0 é o limite de f (z) à medida que z se aproxima de z 0 , o que é escrito como lim z→z 0 f (z) = w 0 ,
se:
Figura 2.6: Folhas de Riemann da função √ z.
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 35
Solução. (a) Deve-se mostrar que para qualquer > 0 é sempre possível encontrar-se um δ > 0 (depen- dendo, em geral, de ) tal que
z^2 − z^20
< sempre que 0 < |z − z 0 | < δ. Para tanto, considera-se δ < 1. Neste caso, 0 < |z − z 0 | < δ implica que
|z − z 0 | |z + z 0 | < δ |z + z 0 | = δ |z − z 0 + 2z 0 | , ∣ ∣z^2 − z^20
∣ (^) < δ (|z − z 0 | + 2 |z 0 |) < δ (1 + 2 |z 0 |).
Para um 6 1 escolhe-se então δ = / (1 + 2 |z 0 |), ou seja, δ < ∀z 0 ∈ C, de tal maneira que ∣ ∣z^2 − z^20
provando-se o limite. (b) Não há diferença entre este problema e o problema da parte (a), uma vez que em ambos os casos o ponto z = z 0 foi excluído. Portanto, limz→z 0 f (z) = z^20. Nota-se que o valor do limite não necessariamente é igual ao valor de f (z 0 ).
Teorema 2.2 ( Propriedades dos limites ). Se limz→z 0 f (z) = w 1 e limz→z 0 g(z) = w 2 , então as seguintes propriedades de limites são válidas:
- lim z→z 0 [f (z) + g(z)] = lim z→z 0 f (z) + lim z→z 0 g(z) = w 1 + w 2.
- (^) zlim→z 0 [f (z)g(z)] =
[
z^ lim→z 0 f (z)
] [
z^ lim→z 0 g(z)
]
= w 1 w 2.
f (z) g(z)
lim z→z 0 f (z) lim z→z 0 g(z)
w 1 w 2 , desde que w 2 6 = 0.
2.4.2 CONTINUIDADE
Seja f (z) definida e unívoca em uma vizinhança de z = z 0 , assim como em z = z 0. A função f (z) é dita contínua em z = z 0 se lim z→z 0 f (z) = f (z 0 ).
Observa-se que isso implica em três condições que devem ser satisfeitas:
- O limite deve existir.
- f (z 0 ) deve existir, isto é, f (z) deve ser definida em z = z 0.
- O limite deve ser igual a f (z 0 ).
Pontos no plano z onde f (z) deixa de ser contínua são denominados descontinuidades de f (z). Se o limite limz→z 0 f (z) existe mas não é igual a f (z 0 ), então z 0 é denominado uma desconti- nuidade removível , pois é sempre possível redefinir-se f (z) para se obter uma função contínua.
Teorema 2.3 ( Teoremas de continuidade ). Os seguintes teoremas de continuidade são válidos.
- Se f (z) e g(z) são contínuas em z = z 0 , então também são contínuas:
f (z) + g(z), f (z)g(z) e
f (z) g(z)
, desde que g (z 0 ) 6 = 0.
- Se w = f (z) é contínua em z = z 0 e z = g(ξ) é contínua em ξ = ξ 0 e se ξ 0 = f (z 0 ), então a função w = g [f (z)] é contínua em z = z 0.
Uma função contínua de uma função contínua também é contínua.
- Se f (z) é contínua em uma região fechada do plano complexo, então ela é limitada nessa região; isto é, existe uma constante real positiva M tal que |f (z)| < M para todos os pontos z dentro dessa região.
- Se f (z) é contínua em uma região, então as partes real e imaginária de f (z) também são contínuas nessa região.
36 2.4. O cálculo diferencial de funções de uma variável complexa
2.4.3 DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPLEXAS
Dada uma função f (z), contínua e unívoca de uma variável complexa z, em uma dada região R ⊆ C, a derivada
f ′(z) ≡ df dz
em algum ponto fixo z 0 ∈ R é definida como
f ′^ (z 0 ) = lim ∆z→ 0
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) ∆z
desde que este limite exista de forma independente da maneira como ∆z → 0. Aqui, ∆z = z − z 0 , sendo z ∈ R algum ponto na vizinhança de z 0.
Teorema 2.4. Se uma função f (z) possui derivada em z = z 0 , então ela é necessariamente contí- nua em z = z 0.
Demonstração. Supondo que f (z 0 ) exista, então
lim z→z 0 [f (z 0 + ∆z) − f (z 0 )] = lim z→z 0
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) ∆z
lim z→z 0 ∆z = 0,
ou seja, lim z→z 0 f (z 0 + ∆z) = f (z 0 ).
Se f ′(z) existe em z 0 e em todos os pontos em uma dada vizinhança de z 0 , então f (z) é dita analítica em z 0. A função f (z) é analítica na região R se ela é analítica em todos os pontos z ∈ R. Contudo, nem toda a função contínua é diferenciável em z = z 0.
Exemplo 2.4. Dada a a função f (z) = z∗, mostre que embora esta seja contínua em qualquer z 0 ∈ C, sua derivada dz∗/dz não existe em z 0.
Solução. Pela definição (2.11),
dz∗ dz = lim ∆→ 0
(z + ∆z)∗^ − z∗ ∆z = lim ∆x→ 0 ∆y→ 0
(x + iy + ∆x + i∆y)∗^ − (x + iy)∗ ∆x + i∆y
= lim ∆x→ 0 ∆y→ 0
x − iy + ∆x − i∆y − (x − iy) ∆x + i∆y
= lim ∆x→ 0 ∆y→ 0
∆x − i∆y ∆x + i∆y
Se ∆y = 0, o limite resulta em lim∆x→ 0 ∆x/∆x = 1. Por outro lado, se ∆x = 0, o limite resulta em lim∆y→ 0 (−∆y) /∆y = − 1. Portanto, como o valor do limite depende da maneira como ∆z → 0 , a derivada de f (z) = z∗^ não existe em nenhum ponto e, portanto, a função não é analítica em nenhum ponto.
Exemplo 2.5. Dada a função g(z) = |z|^2 , mostre que esta somente é diferenciável em z = 0.
Solução. Pela definição (2.11),
g′(z) = lim ∆z→ 0
|z + ∆z|^2 − |z|^2 ∆z
= lim ∆z→ 0
(z + ∆z) (z∗^ + ∆z∗) − zz∗ ∆z = lim ∆z→ 0
z∗∆z + z∆z∗^ + ∆z∆z∗ ∆z
= z∗^ + z lim ∆z→ 0
∆z∗ ∆z
Pode-se considerar 2 possibilidades:
1. z = 0. Neste caso, g′(z)|z=0 = 0, e a derivada existe. 2. z 6 = 0. Neste caso, se g′(z) existe, então a derivada deve existir independente da maneira como se toma o limite. Assim:
38 2.4. O cálculo diferencial de funções de uma variável complexa
Teorema 2.6 ( Condição necessária ). Se a derivada f ′(z) de um função f (z) = u(x, y) + iv(x, y) existe em um ponto z = x+iy, então as derivadas parciais de primeira ordem de u(x, y) e v(x, y) com respeito a x e a y devem existir neste ponto e satisfazer as relações de Cauchy-Riemann (2.13). Além disso, f ′(z) pode ser determinada pelas expressões (2.14).
Exemplo 2.6 ( Condições de Cauchy-Riemann ). Seja a função f (z) = z^2 = x^2 − y^2 + i 2 xy. Neste caso, u(x, y) = x^2 − y^2 e v(x, y) = 2xy. Para estas funções,
∂u ∂x
= 2x =
∂v ∂y
e
∂u ∂y
= − 2 y = −
∂v ∂x
Portanto, as relações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e f ′(z) pode ser obtida por (2.14),
f ′(z) = 2x + i 2 y = 2z.
Exemplo 2.7 ( Condições de Cauchy-Riemann ). Seja agora a função f (z) = |z|^2 = x^2 + y^2. Neste caso, u(x, y) = x^2 + y^2 e v(x, y) = 0. Portanto, embora as derivadas parciais existam,
∂u ∂x
= 2x,
∂u ∂y
= 2y,
∂v ∂x
∂v ∂y
estas não satisfazem as relações (2.13) e, portanto, a função f (z) não possui derivada.
As condições de Cauchy-Riemann fornecem uma condição necessária para que a função seja diferenciável em algum ponto z = z 0. Contudo, não há garantia até este momento de que estas condições sejam suficientes para garantir a existência desta derivada. Um teorema mais geral, apresentado a seguir, estabelece as condições necessária e suficiente para a existência da derivada de f (z).
Teorema 2.7 ( Condição necessária e suficiente ). Dada a função f (z) = u (x, y) + iv (x, y), se u (x, y) e v (x, y) são contínuas com derivadas parciais de primeira ordem e que satisfazem as condições de Cauchy-Riemann (2.13) em todos os pontos em uma região R ⊆ C , então f (z) é analítica em R.
Demonstração. Para provar este teorema, é necessário empregar o seguinte teorema do cálculo de funções reais de 2 variáveis: se h (x, y), ∂h/∂x e ∂h/∂y são contínuas em uma região R em torno do ponto (x 0 , y 0 ), então existe uma função H (∆x, ∆y) tal que H (∆x, ∆y) → 0 à medida que (∆x, ∆y) → (0, 0) e
h (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − h (x 0 , y 0 ) =
∂h ∂x
(x 0 ,y 0 )
∆x +
∂h ∂y
(x 0 ,y 0 )
∆y + H (∆x, ∆y)
(∆x)^2 + (∆y)^2.
Retornando então à definição de derivada (2.12)
lim ∆z→ 0
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) ∆z
sendo z 0 qualquer ponto que pertence a R e ∆z = ∆x + i∆y. Pode-se escrever então
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) = [u (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − u (x 0 , y 0 )] + i [v (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − v (x 0 , y 0 )] ,
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) =
∂u ∂x
(x 0 ,y 0 )
∆x +
∂u ∂y
(x 0 ,y 0 )
∆y + H (∆x, ∆y)
(∆x)^2 + (∆y)^2
[
∂v ∂x
(x 0 ,y 0 )
∆x + ∂v ∂y
(x 0 ,y 0 )
∆y + G (∆x, ∆y)
(∆x)^2 + (∆y)^2
]
onde H (∆x, ∆y) → 0 e G (∆x, ∆y) → 0 quando (∆x, ∆y) → (0, 0). Empregando agora as condições de Cauchy-Riemann (2.13), obtém-se
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) =
[
∂u ∂x
(x 0 ,y 0 )
∂v ∂x
(x 0 ,y 0 )
]
(∆x + i∆y)
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 39
- [H (∆x, ∆y) + iG (∆x, ∆y)]
(∆x)^2 + (∆y)^2 ,
portanto,
f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) ∆z
∂u ∂x
(x 0 ,y 0 )
∂v ∂x
(x 0 ,y 0 )
- [H (∆x, ∆y) + iG (∆x, ∆y)]
(∆x)^2 + (∆y)^2 ∆x + i∆y
Assim, no limite (∆x, ∆y) → (0, 0),
lim ∆x→ 0 ∆y→ 0
(∆x)^2 + (∆y)^2 ∆x + i∆y
lim ∆x→ 0 ∆y→ 0
(∆x)^2 + (∆y)^2 ∆x + i∆y
Ou seja,
f ′^ (z 0 ) =
∂u ∂x
(x 0 ,y 0 )
∂v ∂x
(x 0 ,y 0 )
o que mostra que o limite e, portanto, f ′(z) existem em todos os pontos em R. As condições de Cauchy-Riemann são, portanto necessárias e suficientes para garantir a existência de f ′(z) em R.
2.4.5 FUNÇÕES ANALÍTICAS
Uma função f (z) é analítica em um ponto z 0 se a sua derivada f ′(z) existe não somente em z 0 mas em todos os pontos z dentro de uma vizinhança de z 0. As seguintes definições são feitas, com respeito a funções analíticas:
- Uma função é dita analítica em um domínio R ⊆ C se ela é analítica em todos os pontos z ∈ R. Uma função analítica também é denominada regular ou holomórfica.
- Se a função f (z) é analítica sobre todo o plano z complexo, ela é denominada inteira.
- Uma função f (z) é denominada singular em z = z 0 se ela não é diferenciável neste ponto. O ponto z 0 é denominado ponto singular ou singularidade de f (z).
2.4.6 FUNÇÕES HARMÔNICAS
Se f (z) = u (x, y) + iv (x, y) é analítica em alguma região R do plano complexo, então em todos os pontos desta região as condições de Cauchy-Riemann (2.13) são satisfeitas:
∂u ∂x
∂v ∂y
e ∂u ∂y
∂v ∂x
e, portanto, ∂^2 u ∂x^2
∂^2 v ∂x∂y
e
∂^2 u ∂y^2
∂^2 v ∂y∂x
desde que as derivadas segundas existam. Igualando a ambas as expressões acima, obtém-se que u (x, y) e v (x, y) satisfazem a Equação de Laplace:
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
= 0 (2.15a)
∂^2 v ∂x^2
∂^2 v ∂y^2 = 0 (2.15b)
sobre toda a região R. Toda a função que satisfaz as equações de Laplace (2.15) é denominada de função harmô- nica. Como ambas as funções u e v satisfazem a (2.15), estas são denominadas funções harmô- nicas conjugadas.
CAPÍTULO 2. Funções de Uma Variável Complexa 41
Figura 2.10: Caminho C ao longo do qual a integração complexa é realizada.
2.5.1 INTEGRAIS DE CAMINHO NO PLANO COMPLEXO
Uma integral de caminho, também denominada integral de linha , possui uma relação com a derivada no plano complexo exatamente igual à que existe para funções reais. Se a função F (z) é dada pela integral indefinida F (z) =
f (z) dz, então a derivada de F (z) é dada por F ′(z) = f (z). Em outras palavras uma integral indefinida no plano complexo é a operação inversa da derivação no mesmo plano. Por outro lado, o plano complexo é definido a partir de duas variáveis independentes reais. Neste caso, poder-se-ia pensar que uma integral (definida) no plano complexo seria equivalente a uma integral de superfície de uma função real de duas variáveis. Contudo, na análise das funções complexas, a função f (z) é integrada ao longo de um caminho no plano complexo. Para tanto, pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano z fazendo-se uso de um parâmetro real t:
z(t) = x(t) + iy(t) para a 6 t 6 b,
o qual define um caminho sobre o plano complexo à medida que t varia de a a b. Diz-se que este curva é suave se existe um vetor tangente à mesma ao longo de todos os pontos; isto implica que dx/dt e dy/dt existem são contínuas e não são nulas simultaneamente para a 6 t 6 b. Sendo C uma curva suave sobre o plano z complexo, como mostra a figura 2.10, assume-se que a mesma possui um comprimento finito. Dada agora a função f (z), contínua sobre todos os pontos ao longo de C, subdivide-se C em n partes por meio dos pontos {z 0 , z 1 , z 2 ,... , zn}, arbitrariamente escolhidos, mas com z 0 = a e zn = b. Para cada arco de C que conecta os pontos zk− 1 e zk (k = 1, 2 ,... , n), escolhe-se um ponto wk (zk− 1 6 wk 6 zk) e forma-se a soma
Sn =
∑^ n
k=
f (wk) ∆zk, onde ∆zk = zk − zk− 1.
Fazendo-se agora com que o número de subdivisões n aumente indefinidamente, de tal forma que o maior dos |∆zk| tenda a zero, a soma Sn aproxima-se de um limite. Se este limite existe e possui o mesmo valor, independente das escolhas dos {zk} e dos {wk} ao longo de C, então este limite é denominado a integral de caminho (ou de linha) de f (z) ao longo de C e é denotado por:
S = lim n→∞ Sn = (^) nlim→∞ |∆z|max→ 0
∑^ n
k=
f (wk) ∆zk ≡
C
f (z) dz =
ˆ (^) b
a
f (z) dz. (2.17)
Quando o caminho é fechado, isto é, quando b = a (ou zn = z 0 ), a integral de linha é denomi- nada integral de contorno de f (z), a qual é denotada por
S =
C
f (z) dz.
Teorema 2.8 ( Teorema de existência ). Se o caminho C é suave por partes e f (z) é contínua ao longo de C, então
C f^ (z)^ dz^ sempre existe.
42 2.5. Integração no plano complexo
2.5.2 PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS INTEGRAIS DE LINHA
A integral de linha de f (z) = u (x, y) + iv (x, y) ao longo de um caminho C pode sempre ser expressa em termos de integrais reais de caminho como ˆ
C
f (z) dz =
C
(u + iv) (dx + idy) =
C
(u dx − v dy) + i
C
(v dx + u dy) ,
onde a curva C pode ser aberta ou fechada, mas o sentido de integração deve sempre ser espe- cificado, por exemplo através do uso de um parâmetro t. Invertendo-se o sentido de variação de t, inverte-se o sinal da integral. Integrais complexas são, portanto, redutíveis a integrais reais de caminho e possuem as seguintes propriedades:
(1)
C
[f (z) + g(z)] dz =
C
f (z) dz +
C
g(z) dz.
C
kf (z) dz = k
C
f (z) dz, sendo k ∈ C uma constante.
ˆ (^) b
a
f (z) dz = −
ˆ (^) a
b
f (z) dz, sendo {a, b} ∈ C.
ˆ (^) b
a
f (z) dz =
ˆ (^) m
a
f (z) dz +
ˆ (^) b
m
f (z) dz, sendo m ∈ C.
C
f (z) dz
∣ 6 M L, onde^ M^ = max^ |f^ (z)|^ ao longo de^ C^ e^ L^ é o comprimento de^ C.
C
f (z) dz
C
|f (z)| |dz|.
A propriedade (5), em particular, é bastante útil e será bastante utilizada, porque ao se trabalhar com integrais de linha complexas, com frequência é necessário estabelecer-se limites nos seus valores absolutos.
Demonstração. (Propriedade 5 ). Retornando à definição (2.17),
ˆ
C
f (z) dz = (^) nlim→∞ |∆z|max→ 0
∑^ n
k=
f (wk) ∆zk.
Mas, (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∑^ n
k=
f (wk) ∆zk
∑^ n
k=
|f (wk)| |∆zk| 6 M
∑^ n
k=
|∆zk| 6 M L,
onde se fez uso do fato de que |f (z)| 6 M para todos os pontos z ao longo de C e que
|∆zk| representa a soma de todas as cordas juntando os pontos zk− 1 e zk ao longo de C e que esta soma não pode ser maior que o comprimento L de C. Tomando-se agora o limite para n → ∞ em ambos os lados, resulta a propriedade (5). A propriedade (6) também segue desta demonstração.
Exemplo 2.8. Calcule a integral
C (z∗)
(^2) dz, sendo C a linha reta ligando os pontos z = 0 e
z = 1 + 2i.
Solução. Uma vez que (z∗)^2 = (x − iy)^2 = x^2 − y^2 − 2 ixy,
resulta (^) ˆ
C
(z∗)^2 dz =
C
[(
x^2 − y^2
dx + 2xy dy
]
C
[
− 2 xy dx +
x^2 − y^2
dy
]
Para parametrizar a curva C, pode-se escolher x(t) e y(t) dados por
x(t) = t, y(t) = 2t, para (0 6 t 6 1) ,
ou, simplesmente, pode-se escrever y = 2x. Portanto, ˆ
C
(z∗)^2 dz =
0
5 x^2 dx + i
0
− 10 x^2
dx =
i.
