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Tipologia: Esquemas
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Não perca as partes importantes!
Departamento de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Meios Computacionais no Ensino
Professor: Jaime Carvalho e Silva
Trabalho elaborado por: Tânia Isabel Duarte Lopes
Departamento de Matemática
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Professor: Jaime Carvalho e Silva
Trabalho elaborado por: Tânia Isabel Duarte Lopes
Este trabalho, no âmbito da cadeira Meios Computacionais no Ensino, foi-nos proposto escolher um tema que existisse na “Casa das Ciências”. O trabalho deverá ser enviado para o professor Jaime Carvalho e Silva pelo moodle, o moodle at hilbert.mat.uc.pt, ou seja, o moodle do servidor do departamento, para usarmos mais uma ferramenta muito útil no ensino como forma de interacção entre o professor e o aluno nomeadamente para a colocação de material por parte do professor. É muito útil este uso pois assim quem não sabe usar esta plataforma aprende e quem já sabia algo aprofunda as suas competências. Eu confesso que só soube da existência desta plataforma nas aulas de Meios Computacionais no Ensino, no entanto, no moodle Mocho, uma outra plataforma semelhante a esta, já tinha trabalhado um pouco tanto ao nível de aluna como ao nível de professora ou gerente da conta. Pretende-se ainda que todas as imagens que ilustrem este trabalho sejam criadas no software Cinderella ou no software Poly. O software Cinderella é um programa de Geometria Dinâmica da autoria de J. Richter-Gebert e U. H. Kortenkamp. Como o programa é destinado a fazer geometria no computador, o Cinderella constitui um utensílio para investigar construções geométricas de grande qualidade. O utilizador só tem de manejar o rato para interagir com o programa, que apresenta o seguinte aspecto nos primeiros momentos de utilização. Já o software Poly, é um aplicativo para Geometria Espacial, faz planificações e animações. Muito interessante para aplicar com Poliedros (Platónicos ou Arquimedianos, entre outros sólidos). Proporciona a possibilidade de acção com quadro digital interativo. Decidi tratar de sólidos geométricos, logo o software destinado para ilustrar o meu trabalho será o Poly.
Os sólidos geométricos são volumes que têm na sua constituição figuras geométricas e podem ser poliedros, se só tiverem superfícies planas, ou não poliedros, se tiverem superfícies planas e curvas. Se pensarmos bem no nosso dia-a-dia encontramos uma bola (que tem o aspeto de uma esfera), um dado (que tem o aspeto de um cubo), uma lata de refrigerante (que tem o aspeto de um cilindro), um chapéu de bruxa (que tem o aspeto de cone), o autocarro (que tem o aspeto de um paralelepípedo), entre outros. Existe sólidos regulares e sólidos não regulares. Os sólidos regulares são: os sólidos platónicos e os sólidos de Kepler-Poinsot, já os sólidos não regulares são os sólidos de Arquimedes, os prismas e anti prismas, as pirâmides e bipirâmides, os sólidos de catalán, os deltaedros e os trapezoedros. Mais à frente falarei um pouco de cada um dos tipos de sólidos.
A palavra “Poliedros” vem de poli + hedros, em que poli significa muitos e hedros significa faces. Os sólidos poliedros são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de recta que limitam as faces designam-se por arestas e pontos de encontro destas por vértices. Todos os poliedros vão ter faces, vértices e arestas. As faces são os polígonos que limitam o poliedro; os vértices são os pontos de interseção de três ou mais arestas; e, por último, as arestas são segmentos de reta que limitam as suas faces. Os poliedros podem ser de dois tipos: convexos ou não convexos. Um poliedro diz-se convexo quando um poliedro está situado apenas num semi-espaço, em relação a qualquer uma das suas faces.
A relação de Euler é válida para todos os poliedros:
2.3.2. Cubo O cubo é um hexaedro pois é composto por seis faces quadrangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O cubo é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por seis quadrados (como se sabe, os quadrados têm todos lados com medidas iguais e ângulos de 90º); possui oito vértices, seis faces e doze arestas.
O poliedro dual de um cubo é um octaedro.
A sua planificação é a seguinte,
Por curiosidade, a planificação do cubo acima não é única pois existe onze planificações do cubo diferentes, a planificação acima é a mais usual.
2.3.3. Octaedro O octaedro é um poliedro composto oito faces triangulares, quatro delas encontrando-se em cada vértice. O octaedro é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por oito triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui seis vértices, oito faces e doze arestas.
O poliedro dual de um octaedro é um cubo.
A sua planificação é a seguinte,
2.3.5. Icosaedro O icosaedro é um poliedro composto vinte faces triangulares, cinco delas encontrando-se em cada vértice. O icosaedro é um sólido platónico, figura geométrica espacial formada por vinte triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui doze vértices, vinte faces e trinta arestas.
O poliedro dual de um icosaedro é um dodecaedro.
A sua planificação é a seguinte,
2.3.6. Curiosidades dos Sólidos Platónicos Segundo a teoria grega relacionada com os quatro elementos, cada um dos elementos estava associado a um sólido, a terra estava associada com o cubo, o fogo com o tetraedro, a água com o icosaedro e o ar com o octaedro. Como se pode reparar o dodecaedro ficava de fora pois era considerado o mais misterioso dos sólidos e o mais difícil de construir. Segundo dizem, Platão achava que Deus teria usado o dodecaedro para construir o Universo.
Os sólidos Arquimedianos são os sólidos de Arquimedes ou também conhecidos por poliedros semi-regulares. Estes são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado num outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os sólidos platónicos. Esses sólidos são onze obtidos por truncação de sólidos platónicos: o tetraedro truncado, o cuboctaedro, o cubo truncado, o octaedro truncado, o rombicuboctaedro, o cuboctaedro truncado, o icosidodecaedro, o dodecaedro
encontro de dois triângulos e dois quadrados, e vinte e quatro arestas idênticas, cada uma separando um triângulo de um quadrado.
O poliedro dual do cuboctaedro é o dodecaedro rombico.
A sua planificação é a seguinte,
2.4.3. Cubo Truncado O cubo truncado (ou hexaedro truncado) é um sólido de Arquimedes. Este é obtido por truncatura dos vértices de um cubo. O cubo truncado tem doze faces (seis octogonais regulares e oito triangulares regulares), vinte e quatro vértices e trinta e seis arestas. O poliedro dual do cubo truncado é o octaedro triakis. A sua planificação é,
2.4.4. Octaedro Truncado O octaedro truncado é um sólido de Arquimedes. Este sólido é obtido por truncatura sobre os vértices do octaedro (um dos sólidos platónicos). O octaedro truncado tem catorze faces (oito hexagonais e seis quadradas), vinte e quatro vértices e trinta e seis arestas.
O poliedro dual do octaedro truncado é o hexaedro tetrakis.
A sua planificação é,
O poliedro dual do cuboctaedro truncado é dodecaedro disdiakis. A sua planificação é,
2.4.7. Icosidodecaedro O icosidodecaedro é um sólido de Arquimedes. Este sólido tem trinta e duas faces (vinte triangulares regulares e doze pentagonais regulares), trinta vértices idênticos (onde se encontram dois triângulos e dois pentágonos) e sessenta arestas idênticas (cada uma separando um triângulo de um pentágono).
O poliedro dual do icosidodecaedro é o triacontaedro rômbico.
A sua planificação é,
2.4.8. Dodecaedro Truncado O dodecaedro truncado é um sólido de Arquimedes. Este sólido é obtido por truncatura dos vértices do dodecaedro e tem trinta e duas faces (doze decagonais regulares e vinte triangulares regulares), sessenta vértices e noventa arestas.
O poliedro dual do dodecaedro truncado é o icosaedro triakis.
A sua planificação é,
2.4.10. Rombicosidodecaedro O rombicosidodecaedro é um sólido de Arquimedes. Este sólido é obtido como dual do hexecontaedro deitoidal ou por expansão do octaedro e tem sessenta e duas faces (vinte triangulares regulares, trinta quadradas e doze pentagonais regulares), sessenta vértices e cento e vinte arestas.
Tal como referi atrás, o poliedro dual do rombicosidodecaedro é o hexecontaedro deitoidal.
A sua planificação é,
2.4.11. Icosidodecaedro truncado O icosidodecaedro truncado é um sólido de Arquimedes. Este sólido tem sessenta e duas faces todas regulares (trinta quadrados, vinte hexágonos e doze decágonos), cento e vinte vértices e cento e oitenta arestas.
O poliedro dual do icosidodecaedro truncado é o triacontaedro disdiakis.
A sua planificação é,
