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9° Período de Engenharia Mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. Marcelo Gomes
Aluno: Jônatas Tavares de Abreu
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
Decremento Linear e Amortecimento por Hesterese
20 de Abril de 2020
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Pesquisa de Vibrações Mecânicas, Manuais, Projetos, Pesquisas de Mecânica
Estudo sobre Decremento Linear ou Coulombiano e Amortecimento por Histerese.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2020
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9 ° Período de Engenharia Mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. Marcelo Gomes
Aluno: Jônatas Tavares de Abreu
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
Decremento Linear e Amortecimento por Hesterese
20 de Abril de 2020
Vibrações Mecânicas – Decremento Linear e Amortecimento
por Hesterese
1. Amortecimento Seco ou Coulombiano:
Em muitos sistemas mecânicos são usados amortecedores Coulomb ou
de atrito seco em razão de sua simplicidade mecânica e conveniência. Além
disso, sempre que os componentes de uma estrutura vibratória deslizam um em
relação ao outro, o amortecimento por atrito aparece. O amortecimento
Coulomb surge quando corpos deslizam sobre superfícies secas. A Lei de
Coulomb do atrito seco afirma que, quando dois corpos estão em contato, a
força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal que
age no plano de contato. A sim, a força de atrito F dada por:
F = μN = μW = μmg (1. 01 )
Onde N é a força normal, igual ao peso da massa (W = mg) e e o coeficiente
de deslizamento ou atrito cinético. O valor do coeficiente de atrito ( μ ) depende
dos materiais em contato e da condição das superfícies em contato. Por exemplo,
μ = 0,1 para metal sobre metal (com lubrificação). 0,3 para metal sobre metal
(sem lubrificação) e aproximadamente 1.0 para borracha sobre metal. A força de
atrito age na direção oposta à da velocidade. O amortecimento Coulomb às
vezes é denominado amortecimento constante (ou decremento linear), uma vez
que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da
velocidade, ela depende somente da força normal N entre as superfícies
deslizantes.
Caso 2: Quando x é positivo e dx/dt é negativo ou quando x é negativo e dx/dt
é negativo (isto é, para o meio-ciclo durante o qual a massa se movimenta da
direita para a esquerda), a equação de movimento pode ser derivada pela Figura
1 sem como:
- kx + μN = m𝑥̈ ou m𝑥̈ + kx = μN (1. 13 )
A solução da Equação (1. 13 ) é dada por:
x(t) = A
3
cos ω
n
t + A
4
sem ω
n
μN
k
onde 𝐴
3
e 𝐴
4
são constantes e determinadas pelas condições iniciais desse meio-
ciclo. O termo μN/k que aparece nas Equações (1. 12 ) e (1. 14 ) é uma constante
que representa o deslocamento virtual da mola sob a força μN, se ela fosse
aplicada como uma força estática. As equações (1. 12 ) e (1. 14 ) indicam que em
cada meio-ciclo o movimento é harmônico, e aposição de equilíbrio muda de
μN/k para – ( μN/k ) a cada meio-ciclo, como mostrado na Figura 2.
Figura 2 – Movimento da massa com amortecimento Coulomb
As equações (1.11) e (1.13) podem ser expressas como uma única
equação (usando N = mg):
m𝑥̈ + μm g sgn (𝑥)
+ kx = 0 (1.15)
onde sgn (y) é denominada função signum cujo valor é definido como 1 para y
0 , - 1 para y > 0, e 0 para y = 0. Podemos ver que a Equação (1.6) é uma
equação diferencial não linear para a qual não existe uma solução analítica
simples. Métodos numéricos podem ser usados para resolver a equação (1.15)
convenientemente. Todavia, a Equação (1.1 4 ) pode ser dividida analiticamente
se dividirmos o eixo do tempo em segmentos separados por 𝒙̇ = 0 (isto é,
intervalos de tempo com direções de movimento diferentes). Para determinar a
solução usando esse procedimento, admite-se que as condições iniciais sejam:
x ( t = 0 ) = x
0
ẋ ( t = 0 ) = 0 (1.16)
Isto é, o sistema começa com velocidade zero e deslocamento 𝒙
𝟎
em t =
- Visto que x = 𝒙
𝟎
, o movimento começa da direita para a esquerda. Vamos
denotar por 𝒙 𝟎
𝟏
𝟐
,..., as amplitudes do movimento em meios-ciclos
sucessivos. Pelas equações (1. 14 ) e (1.16), podemos avaliar as constantes 𝑨
𝟑
e 𝑨
𝟒
A
3
= x
0
μN
k
, A
4
Assim, a Equação (1. 14 ) torna-se:
x
t
= (x
0
μN
k
) cos ω
n
t +
μN
k
Essa solução é valida apenas para metade do ciclo, isto é, para 0 ≥ t ≤
π/ω
n
, a massa estará em sua posição extrema esquerda e seu deslocamento em
relação à posição de equilíbrio pode ser determinado pela Equação (1.16):
Estas se tornam as condições iniciais para o terceiro meio-ciclo, e o
procedimento pode ser continuado até o movimento parar. O movimento para
quando 𝑥
𝑛
≤ μN/k, visto que, então, a força restauradora exercida pela mola (kx)
será menor que a força de atrito μN. Assim, o número de meios-ciclos ( r ) que
transcorrem antes de o movimento cessar é dado por:
0
2μ𝑁
μ𝑁
Isto é,
𝑟 ≥ {
𝑥
0
−
μ𝑁
𝑘
2μ𝑁
𝑘
} (1.18)
Observe as seguintes características de um sistema com amortecimento
Coulomb:
- A equação de movimento é não linear com amortecimento Coulomb, ao
passo que é linear com amortecimento viscoso;
- A frequência natural do sistema permanece inalterada com a adição de
amortecimento Coulomb, ao passo que é reduzida com a adição de
amortecimento viscoso;
- O movimento é periódico com amortecimento Coulomb, ao passo que pode
ser não-periódico em um sistema viscosamente amortecido (superamortecido);
- O sistema entra em repouso após algum tempo com amortecimento
Coulomb, ao passo que, teoricamente, o movimento continua para sempre
(talvez com uma amplitude infinitesimalmente pequena) com amortecimento
viscoso e por histerese;
- A amplitude é reduzida linearmente com amortecimento Coulomb, ao passo
que a redução é exponencial com amortecimento viscoso;
- Em cada ciclo sucessivo a amplitude do movimento é reduzida pela
quantidade 4 μN/k , de modo que as amplitudes no final de quaisquer dois ciclos
consecutivos estão relacionadas:
𝑥
𝑚
= 𝑥
𝑚− 1
−
4 μ𝑁
𝑘
Como a amplitude é reduzida por uma quantidade 4 μN/k em um ciclo
(isto é, no tempo 2π/𝜔
𝑛
), a inclinação das retas do envelope (representada por
linhas tracejadas) na Figura 2 é:
4 μ𝑁
μ
𝑛
2 μ𝑁𝜔
𝑛
A posição final da massa normalmente é afastada em relação à posição de
equilíbrio (x = 0) e representa um deslocamento permanente no qual a força de
atrito é travada. Leves batidinhas farão a massa chegar à sua posição de
equilíbrio.
- Vibração livre com amortecimento por histerese:
Considere o conjunto mola-amortecedor viscoso mostrado na Figura 3 (a).
Para esse sistema, a força F necessária para causar um deslocamento x( t ) é dada
por:
F = kx + cẋ (2. 0 1)
Para um movimento harmônico de frequência ω e amplitude e amplitude
X,
x(t) = X sem ωt (2.02)
As equações (2.01) e (2.02) dão:
F(t) = kX sem ωt + cX ω cos ωt
constante de amortecimento por histerese. Constatou-se experimentalmente
que a perda de energia por ciclo devido ao atrito interno independe da
frequência, mas é aproximadamente proporcional ao quadrado da amplitude.
Para conseguir obter esse comportamento, considera-se que o coeficiente de
amortecimento c é inversamente proporcional à frequência como:
C=
ℎ
𝜔
Onde h é denominada a constante de amortecimento por histerese. As
equações (2.04) e (2.05) dão
∆W = πhX² (2.06)
2.1 Rigidez Complexa: Na figura 3(a), a mola e o amortecedor estão ligados em
paralelo e, para um movimento harmônico geral, x = X𝑒
𝑖𝜔𝑡
, a força é dada por:
F = kX𝑒
𝑖𝜔𝑡
- cω 𝑖X𝑒
𝑖𝜔𝑡
= (k + 𝑖ωc)x (2. 10 )
Figura 4 – Laço de histerese
De maneira semelhante, se uma mola e um amortecedor por histerese
forem ligados em paralelo, a relação força-deslocamento pode ser expressa
como:
F = (k + 𝑖h)x (2. 11 )
Onde,
k + 𝑖h = k( 1 − 𝑖
ℎ
𝑘
) = k(1 + 𝑖β ) (2.12)
é denominada a rigidez complexa do sistema e β = h/k é uma constante que
indica uma medida adimensional de amortecimento.
2.2. Resposta do Sistema: Em termos de β, a perda de energia por ciclo pode ser
expressa como:
mas proporcional ao quadrado da amplitude. A resposta livre de um sistema com
amortecimento histerético é similar a de um sistema com amortecimento viscoso.
Um coeficiente de amortecimento histerético adimensional h é determinado do
decremento logarítmico δ:
δ = ln (
𝑥
𝑗
𝑥
𝑗+ 1
) ≃ ln( 1 + 𝜋𝛽) ≃ 𝜋𝛽 (2.1 7 )
Já que consideramos que o movimento seja aproximadamente
harmônico, a frequência correspondente é definida por:
ω =
√
𝑘
𝑚
O fator de amortecimento viscoso equivalente pode ser determinado
igualando-o à relação para o decremento logarítmico δ.
δ ≃ 2 πξ
𝑒𝑞
≃ 𝜋β =
𝜋ℎ
𝑘
ξ
𝑒𝑞
=
𝛽
2
=
ℎ
2 𝑘
Assim, a constante de amortecimento equivalente 𝑐
𝑒𝑞
é dada por:
𝑐
𝑒𝑞
= 𝑐
𝑐
. 𝜉
𝑒𝑞
= 2 √𝑚𝑘.
𝛽
2
= 𝛽√𝑚𝑘 =
𝛽𝑘
𝜔
=
ℎ
𝜔
(2.20)
Referências Bibliográficas:
[1] RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. Prentice Hall, 4.° edition, 2008.
[2] SILVA, Samuel. Vibrações Mecânicas. 2009. 150 f. Notas de Aulas 2.°Versão.
- Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Universidade Estadual do Oeste
Paraná, 2009.