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8 CAP´ITULO 5. PRODUTO INTERNO
5.3.2 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt
Bases ortonormais s˜ao ´uteis, como visto na se¸c˜ao anterior; mas como obtˆe-las?
Partindo-se de uma base qualquer de um subespa¸co, n˜ao ´e dif´ıcil construir
uma base ortogonal (ou ortonormal) para o mesmo subespa¸co.
No processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram Schmidt, uma base {v 1 , v 2 ,... , vp}
´e substitu´ıda por outra ortogonal, {u 1 , u 2 ,... , up}, com a caracter´ıstica adi-
cional de que, para cada i, existem α’s tais que ui = vi +
i− 1 j=
αj vj. Assim,
devemos ter:
u 1 = v 1
u 2 = v 2 + αv 1
u 3 = v 3 + βv 1 + γv 2
. .
. =
up = vp +....
Note que os espa¸cos gerados pelos primeiros u’s e pelos primeiros v’s s˜ao
iguais, isto ´e, span{u 1 , u 2 ,... , uk} = span{v 1 , v 2 ,... , vk}, k = 1, 2 ,... , p.
Desta forma, podemos ainda escrever
u 1 = v 1
u 2 = v 2 + ˜αu 1
u 3 = v 3 + β˜u 1 + ˜γu 2
. .
. =
up = vp +....
A exigˆencia de que esta base seja ortogonal nos permite determinar os
coeficientes ˜α, β˜, ˜γ,.. .. De fato,
u 2 = v 2 + ˜αu 1
〈u 2 , u 1 〉 = 0
⇒ 〈v 2 , u 1 〉 + ˜α 〈u 1 , u 1 〉 = 0 ⇒ α˜ = −
〈v 2 , u 1 〉
〈u 1 , u 1 〉
u 3 = v 3 + β˜u 1 + ˜γu 2
〈u 3 , u 1 〉 = 0
〈u 2 , u 1 〉 = 0
⇒ 〈v 3 , u 1 〉 + β˜ 〈u 1 , u 1 〉 = 0 ⇒ β˜ = −
〈v 3 , u 1 〉
〈u 1 , u 1 〉
u 3 = v 3 + β˜u 1 + ˜γu 2
〈u 3 , u 2 〉 = 0
〈u 1 , u 2 〉 = 0
⇒ 〈v 3 , u 2 〉 + ˜γ 〈u 2 , u 2 〉 = 0 ⇒ ˜γ = −
〈v 3 , u 2 〉
〈u 2 , u 2 〉
5.3. BASES ORTONORMAIS 9
Assim,
u 1 = v 1
u 2 = v 2 −
〈v 2 , u 1 〉
〈u 1 , u 1 〉
u 1
u 3 = v 3 −
〈v 3 , u 1 〉
〈u 1 , u 1 〉
u 1 −
〈v 3 , u 2 〉
〈u 2 , u 2 〉
u 2
up = vp −
〈vp, u 1 〉
〈u 1 , u 1 〉
u 1 −
〈vp, u 2 〉
〈u 2 , u 2 〉
u 2 −... −
〈vp, up− 1 〉
〈up− 1 , up− 1 〉
up− 1
Se o objetivo for obter n˜ao apenas uma base ortogonal {u 1 , u 2 ,... , up},
mas sim ortonormal {qˆ 1 , 2 ,... , ˆqp}, basta normalizarmos ao final: qˆi =
‖ui‖
− 1 ui. Outra op¸c˜ao, ainda, ´e normalizar passo a passo; neste caso, os
denominadores desaparecem:
u 1 = v 1 ; qˆ 1 = ‖u 1 ‖
− 1 u 1
u 2 = v 2 − 〈v 2 , qˆ 1 〉ˆq 1 qˆ 2 = ‖u 2 ‖
− 1 u 2
u 3 = v 3 − 〈v 3 , qˆ 1 〉ˆq 1 − 〈v 3 , ˆq 2 〉qˆ 2 qˆ 3 = ‖u 3 ‖
− 1 u 3
up = vp − 〈vp, qˆ 1 〉ˆq 1 − 〈vp, ˆq 2 〉qˆ 2 −... − 〈vp, ˆqp− 1 〉qˆp− 1
Exemplo 4 Seja H = span
. Encontre uma
base ortonormal para H.
u 1 =
u 2 =
5.4. COMPLEMENTO ORTOGONAL 11
Desta forma, temos que
´e base ortogonal de H. Para uma base ortonormal, basta normalizar estes
vetores.
‖u 1 ‖ =
2
2
2
2
‖u 2 ‖ =
42 + 1^2 + 2^2 + 0^2 =
‖u 4 ‖ =
2
2
2
2
´e base ortonormal de H.
5.4 Complemento Ortogonal
Defini¸c˜ao (complemento ortogonal) Seja V espa¸co vetorial com pro-
duto interno e H subespa¸co de V. O complemento ortogonal de H ´e o con-
junto dos vetores de V ortogonais a todos os vetores de H
H
⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀ u ∈ H}.
Observa¸c˜ao H
⊥ ´e subespa¸co vetorial.
Observa¸c˜ao
H
⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0, i = 1, 2 ,... , p}.
onde {u 1 , u 2 ,... , up} ´e base de H.
Observa¸c˜ao Seja βH = {u 1 , u 2 ,... , up} base ortogonal de um subespa¸co
H. Seja β = {u 1 , u 2 ,... , up, up+1,... , un} uma extens˜ao de βH a uma base
ortogonal de V (sabemos como fazˆe-lo: estendemos βH a uma base qual-
quer e em seguida ortogonalizamo-na por Gram-Schmidt). Ent˜ao βH⊥ =
{up+1,... , un} ´e base de H
⊥ .
Corol´ario Se V ´e espa¸co vetorial n-dimensional com produto interno e H
´e subespa¸co p-dimensional de V ent˜ao dim(H
⊥ ) = n − p.
Corol´ario Se V ´e espa¸co vetorial com produto interno e H ´e subespa¸co
ent˜ao (H
⊥ )
⊥ = H.
12 CAP´ITULO 5. PRODUTO INTERNO
5.5 Rela¸c˜ao entre N(A) e Im(A
T
Sejam A ∈ R
m×n , v ∈ N(A) e y = A
T x ∈ Im(A
T ). Ent˜ao
〈v, y〉 = v
T y = v
T (A
T x) = (v
T A
T )x = (Av)
T x = 〈Av, x〉 = 〈 0 , x〉 = 0.
Qualquer vetor de N(A) ´e ortogonal a qualquer vetor de Im(A
T ).
2
Lembrando que dim(N(A))+dim(Im(A)) = n´umero de colunas de A =
n e que dim(Im(A)) = dim(Im(A
T )), temos que dim(N(A))+dim(Im(A
T )) =
n. Sejam β = {u 1 ,... , uν } e γ = {uν+1,... , uν+ρ} bases ortogonais de N(A)
e de Im(A
T ), respectivamente. {u 1 ,... , uν+ρ} ´e um conjunto ortogonal de
vetores n˜ao nulos (portanto LD) com n vetores, ent˜ao ´e uma base. Pela ob-
serva¸c˜ao da se¸c˜ao anterior, N(A) = Im(A
T )
⊥ , ou, equivalentemente,N(A)
⊥
Im(A
T ). Aplicando-se este resultado a A
T , temos ainda N(A
T ) = Im(A)
⊥
ou N(A
T )
⊥ = Im(A).
Observa¸c˜ao O leitor atento ter´a notado que nesta se¸c˜ao, ao contr´ario
das anteriores, nos ativemos ao produtro escalar canˆonoico do R
n , 〈u, v〉 =
u
T v. E se estivermos usando outro produto interno ou estivermos em um
espa¸co que n˜ao R
n ? A resposta ´e que continua valendo o resultado N(A) =
Im(A
T )
⊥ , desde que A
T e ⊥ sejam interpretados apropriadamente. N˜ao
vamos tratar aqui deste caso mais geral.
5.6 Base para H
Seja H ∈ R
n subespa¸co gerado por {v 1 ,... , vm}. Deseja-se obter uma base
para H
⊥
. Mas
v ∈ H
⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = v
T vi = v
T i v^ = 0,^ i^ = 1,... , m
v
T 1
v
T 2 . . .
v
T m
v =
⇐⇒ A
T v = 0 ,
onde
A =
[
v 1 v 2 · · · vm
]
(^2) Espa¸cos que quardam esta rela¸c˜ao s˜ao ditos ortogonais.
