Baixe Modelagem Matemática de Bomba Centrífuga: Aplicação do Método de Adomian e outras Teses (TCC) em PDF para Energia, somente na Docsity!
O USO DO MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO DIFERENCIAL DE
ADOMIAN EM MODELAGENS DE PROCESSOS NÃO-LINEARES
DA MECÂNICA DOS FLUIDOS: RESULTADOS INICIAIS E
APLICAÇÕES NA MANUTENÇÃO E CORRECAO DE
PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO EM
THE USE OF THE ADOMIAN DIFFERENTIAL DECOMPOSITION METHOD
IN MODELING NONLINEAR PROCESSES IN FLUID MECHANICS: INITIAL
RESULTS AND ENGINEERING APPLICATIONS
SOARES, Erick Leone Barros^1
SANTOS, Saulo de Oliveira^2
MATTOS, João Victor Carvalho de^3
SANTOS, José Vicente Cardoso^4
Resumo: Este trabalho demonstra o uso do Método de Decomposição de Adomian para a modelagem matemática de vibrações em bombas centrífugas. A vantagem deste método é a possibilidade de encontrar uma solução numérica no cálculo de equações não lineares, visto que na prática a maioria dos problemas se expressam com a presença de mais de uma variável ocasionando em uma não linearidade em determinados problemas. Portando durante o desenvolvimento do trabalho em questão foi modelada uma equação que corresponde ao funcionamento de uma bomba centrífuga (maquina de fluxo) com a participação de variáveis que tornam essa equação não linear e posteriormente a aplicação do Método de Adomian. Palavras-chave : Bomba centrífuga, Adomian, Maquinas de fluxo, Modelagem matemática, Não-linear. Abstract: This work demonstrate de use of Adomian Decomposition Method for vibrations mathematical modeling in centrifugal bombs. The advantage of this method is the possibility of find a numerical solution for non linear equations, because the most of problems as express with more than on variable causing a non linear behavior in most of problems. So during the development of the work was made a mathematical modeling of centrifugal bomb (flux machine) with the presence of variables that turn this equation into a non linear and after that the applying of Adomian Method. Keywords : Centrifugal bombs, Adomian, Flux machines, Mathematical modeling, Non linear. (^1) Graduando em Engenharia Mecânica do Centro Universitário SENAI-CIMATEC. E-mail: XXXXXXXXXXXXXX@gmail.com. (^2) Graduando em Engenharia Mecânica do Centro Universitário SENAI-CIMATEC. E-mail: sauloo.santos.contato@gmail.com. (^3) Graduando em Engenharia Mecânica do Centro Universitário SENAI-CIMATEC. E-mail: XXXXXXXXXXXXXX@gmail.com. (^4) Professor do Centro Universitário do Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial - Centro Integrado de Manufatura e Tecnologia (Centro Universitário SENAI-CIMATEC) - Salvador, BA, da Universidade do Estado da Bahia (UNEB) e da UNIME (Kroton). E-mail: prof.vicentecardoso@gmail.com Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
1. INTRODUÇÃO
Quando o assunto é a resolução de problemas em sistemas físicos no
setor industrial dificilmente existirão problemas que necessitam de solução sem
que haja a presença de uma ou mais variáveis que estejam interferindo de
maneira negativa no processo produtivo seja em algum elemento de maquina
ou em um arranjo mecânico como um todo. Com isso se faz necessário o uso
de ferramentas matemáticas que permitam no cálculo com a presença dessas
variáveis tanto para entender se o sistema físico em questão esta atuando
dentro dos parâmetros de segurança, como para determinar esses parâmetros,
o que muitas vezes não é possível em sistemas de aferição e prognósticos
embarcados.
Se tratando de bombas uma das variáveis que mais se apresenta nesse
tipo de sistema são as vibrações mecânicas, interferências oscilatórias
ordenadas ou não, provocadas pelo seu próprio funcionamento, no trabalho
em questão são modeladas equações que nos permitam entender a atuação
de um movimento oscilatório e a equação de uma bomba centrífuga, uma vez
que esse tipo de bomba é uma maquina de fluxo atua com interferência de
vibrações, mas também com a presença de fluídos e a mecânica destes e
mesmo assim é possível a aplicação do método de Adomian para que seja
encontrada uma solução par o problema.
Desta maneira, este trabalho tem como objetivo geral a aplicação do
método de Adomian para a solução de equação não linear em sistemas
complexos, e, como objetivos específicos têm-se:
a) A modelagem de uma equação que exemplifique o movimento oscilatório e
assim explicando a não linearidade provocada em problemas que atuem com
a presença de vibrações;
b) Modelar uma equação que corresponda ao funcionamento de uma bomba centrífuga e aplicar o método de Adomian para encontar a respectiva solução; Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
alinhamento, o que pode levar a uma série de problemas de performance da
máquina, custo e degradação de outros componentes. [8, 19, 20].
Gráfico #01: Gráfico de setores indicando os resultados da pesquisa do IMC-2012. (Fonte: MARINELLI, Igor; 2020) Diante do exposto, é certo que diversas descontinuidades podem ocorrer, e pelas mais diversas razões, desde um mau projeto do sistema, até falhas durante a operação ou avarias de manutenção, estes problemas, podem aglutinar erros que com o devido tempo e aumento de ciclos de operação podem vir a acarretar acidentes devido ao excesso de vibração e, portanto, devem ser bem estudados e aprofundados de maneira que manutenções preditivas sejam devidamente dimensionadas. [8, 19, 20]. Neste contexto, surge o Método de Decomposição Diferencial de Adomian e se propõe a resolver toda e qualquer equação diferencial de forma analítica, seja linear ou não linear, utilizando como ferramenta alguns parâmetros que o próprio autor do método criou. Estas ferramentas se manifestam sob a forma de operadores que são funções matemáticas que são anexadas a outras para a solução da equação como um todo. [1, 2, 3]. Em síntese, o método consiste em aplicar operadores diferenciais à equação em questão, de forma que se efetue uma expansão em série deste operador, mais precisamente uma série de Taylor. [1, 2, 5, 21]. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
Além disto, um dos principais postulados do método de Decomposição de Adomian considera que a solução pode ser decomposta como uma série de funções, o que em termos matemáticos nos leva ao seguinte termo geral: [1, 2].
^ ^
0
n
y x y n x (1)
Supondo que a função seja diferenciável e contínua em todo o intervalo considerado, então ela, e para o caso, parte dela podem ser expandidos em uma série de Taylor, e em sequência desenvolver os processos ditados por George Adomian. A primeira etapa do procedimento de aplicação requer, em primeira instância, que sejam explicadas as características dos operadores lineares aplicado por Adomian, a partir da seguinte expressão, e da concepção inicial proposta: [5].
F ^ y^ (^ x )^ g^ ( x ) (2)
Segundo Adomian, a equação anterior pode ser traduzida da seguinte maneira: F = L + R + N (3) Descritivamente, a expressão denotada acima também é uma função matemática, e, em termos literários, representa um operador de natureza diferenciável que é uma mistura das diversas classificações que uma equação, ou termo matemático podem conter, ou seja, os apartes lineares e não lineares. [23]. Decompondo o operador, o termo L é o termo linear que carrega a derivada de ordem mais alta da expressão, o termo R carrega o restante da parte linear da
expressão, o termo N é a parte não linear da equação, e finalmente, o termo g ( x )
representa uma função de variável independente cuja incógnita é inserida no domínio do número real. [1, 2]. Reorganizando a expressão inicial em termos de acordo com o operador diferencial tem-se: Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
( ) [ ( )] [
1 1
y x L g x L
R
( )] [
1
y x L
N y^ (^ x )]^ C^1 (9)
Nota-se o surgimento de um termo adcional na expressão, que neste caso é a
constante de integração C^1^ , que por definição deve aparecer após a resolução da
operação, além de estar vinculada às condições iniciais propostas pelo problema. [1, 2].
Em seu postulado Adomian assume que a solução y^ de qualquer equação
possa ser dada por uma soma infinitesimal, seguindo um critério de convergência, de suas enésimas soluções dadas através de um operador diferencial inversível aplicado para a mesma expressão em suas partes lineares, e para a parte não linear, a solução da mesma é obtida a partir da soma dos chamados Polinômios de Adomian obtidos analiticamente iterativamente de seus termos anteriores. [1, 2, 3]. Portanto, a partir daqui o método presume que a parte não linear da expressão, neste caso N, é tido como uma função analítica e, portanto, pode ser escrita de acordo com os chamados Polinômios de Adomian, que possuem a seguinte estrutura: N (10) Realizando as devidas substituições, tem-se:
0 1 1 0
( ( )) [ ( )] [ (
n n
y n x L g x L
R
0 1
( ))] [ (
n
y x L
N y^ (^ x ))]^ C^1
As soluções y (^ x ) da expressão, que são as parcelas da série infinita mostrada
acima, podem e devem ser calculadas comparando os dois lados da igualdade, obtendo assim a seguinte relação de recorrência, neste caso, a parcela inicial da solução é dada por: Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
1 1
y 0 L [ g ( x )] C
(12) Algo que em termos gerais é descrita como:
(^ ) ( ( )
1
y n 1 x L Anx R ( yn ( x )) (13)
Nas quais as diversas soluções
yn ( x )
são obtidas iterativamente pela continuidade dada ao método. Como já expresso, para se obter os Polinômios de Adomian, deve-se realizar a expansão do termo não linear em uma série de Taylor, de acordo com a porção inicial 0
y
, para que os Polinômios de Adomian de forma generalizada possam ser explicados da seguinte forma:
A 0 f ( u 0 ) (14)
0
1 1 f u
d
d
A u
0 2 2 1 0 0
2 2 f u
d
d
f u
d
d
A u
0 3 3 1 2 0 0 2 0 1 2 0
3 3 f u
d
d
f u
d
d
f u u u
d
d
A u
Em termos gerais, caso não se deseje empregar a abordagem diferencial para a obtenção dos Polinômios de Adomian, ela também pode ser transcrita de modo que se obtenham os polinômios por meio de uma combinação (operação de análise combinatória) com a repetição dos termos da função iterativa, resumida em: Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
Por fim, para se obter a fórmula geratriz do valor final y (^ x ) da solução da
equação, basta somar os valores obtidos a partir das soluções
yn ( x )
dispostas sob forma de série de Taylor, conforme previa o postulado.
y x n yn y y y y y y n
Por fim, como critério de parada para o método, o resultado da expressão
converge para y (^ x )sempre que houver um valor^ ^ maior ou igual a 0 e menor que 1.
[1, 2].
Além disso, deve pertencer ao grupo dos naturais, satisfazendo a seguinte relação: ^
yn 1 yn
para todo 0
k n
. [1, 2, 3].
2.2 Dedução de sistemas vibratórios a partir do Princípio Fundamental da Dinâmica A modelagem de sistemas industriais e ]]ambientes industriais com o devido tratamento, como exemplifica a Figura 9. mostrada a seguir. Figura 01. Diagrama de corpo-livre de um oscilador massa-mola. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
(Fonte: Próprio Autor; 2021) Sistemas massa-mola são os exemplos mais simples de osciladores, no caso acima têm-se um ambiente vibracional com apenas um grau de liberdade, além das outras muitas variáveis que influenciam num sistema físico de uma bomba centrífuga associada a um gerador eólico a vibração é o indicador mais usual de problemas como desalinhamento, desbalanceamento ou rotação e portanto é de extrema importância saber expressar e quantificar este fenômeno com o intúito de trazer melhorias à todo o processo de geração e implementação desta matriz energética. [4, 12, 14, 20].
O sistema acima é composto por um carrinho de massa m^1^ no qual uma força
resultante Fr^ é aplicada ao eixo da abscissa, designando sua trajetória. Aqui também
existe uma força elástica el
F
da mola, dada no sentido oposto ao movimento do carrinho, também ocorre a força de atrito at
F
entre as rodas do veículo e o firmamento. Por fim, destacam-se as forças presentes na direção vertical, que neste caso são
as forças de contato, o peso P^ e a força de ação normal N^. Vale ressaltar que a
massa m^1^ é tratada aqui como a massa do conjunto como um todo.
A equação primitiva do sistema realizada segundo a abordagem direta, isto é, através da Segunda Lei de Newton seria dada por: [4, 14]. ( 25 ) Aplicando a segunda lei de Newton, como exposta na equação a seguir, tem- se: ( 26 ) Traduzindo os termos que representam a força resultante para uma única expressão, obtém-se: [4, 14]. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
Designando um termo oscilador para a equação vibracional como sendo o quociente da constante elástica pela mola, temos o seguinte termo de simplificação para a expressão final: [14]. ( 33 ) Por fim, dividindo todos os termos pela massa e aplicando o termo oscilador temos a seguinte equação final: ( 34 ) Vale a ressalva que de a equação acima pode ser resolvida, bem como tem solução analítica conhecida por meio de uma equação característica bem como de suas soluções homogêneas e solução particular, dada por: ( 35 ) 2.3 Modelagem de bombas centrífugas e máquinas de fluxo a partir do Princípio da Conservação da Energia A não linearidade do sistema se dá justamente pelas diversas variaveis que influenciam na continuidade do fenômeno realizado pelo mecanismo e principalmente pelas estruturas empregadas, principalmente a mola neste caso. [14, 20]. Para o caso estudado em projeto, o aparato que seria alvo de análises e aprofundamentos e eventuais modificações seriam as bombas centrífugas. Figura 02. Elementos estruturais de uma bomba centrífuga. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
(Fonte: Thermal Engineering; 2019) Se os principais componentes da máquina de fluxo em questão fossem listados e descritos, obteríamos o seguinte descritivo: O Impulsor (H), que é um dispositivo com forma de hélice, e atua junto acoplado ao rotor, ao rotacionar é capaz de aumentar a energia cinética do fluxo. A máquina é envolvida numa carapaça chamada de invólucro (F). O invólucro contém o fluido e atua como recipiente de contenção de pressão que direciona o fluxo de fluido para dentro e para fora da bomba centrífuga. [6, 22, 24]. Dentro do invólucro existe uma geometria de nome, voluta que é basicamente como um funil curvo que aumenta sua área à medida que se aproxima do porto de descarga. A voluta de uma bomba centrífuga é o invólucro que recebe o fluido que está a ser bombeado pelo impulsor, diminuindo a velocidade do fluxo do fluido. Portanto, de acordo com o princípio de Bernoulli, a voluta converte a energia cinética em pressão, reduzindo a velocidade enquanto aumenta a pressão. [22]. Algumas bombas centrífugas contêm difusores. Um difusor é um conjunto de palhetas estacionárias que rodeiam o impulsor. O difusor dirige o fluxo, permite uma expansão mais gradual e, portanto, aumenta a eficiência da bomba centrífuga, em toda bomba também há presença de um eixo (C), que nada mais é que um componente mecânico empregado para para transmitir o torque do motor para a hélice, no caso apresentado, tem-se o eixo do rotor. [22, 24]. Por fim, bombas centrífugas são munidas com anéis de vedação ou selos mecânicos que auxiliam para evitar a fuga do fluido bombeado. [22]. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
mecânica é definida como a soma algébrica das parcelas da energia cinética dos corpos, para com as parcelas da energia potêncial dos mesmos. [11]. Neste sentido, considera-se que os trabalhos de entrada e saída do sistema são os mesmos, portanto mantendo o sistema conservativo. (37) Como o trabalho é definido da seguinte forma: [11]. (38) E a pressão é definida por: (39) Realizando as devidas substituições e desconsiderando a ângulação temos que o trabalho é dado por: [11]. (40) Substituindo a equação 3.4. na equação 3.1. Obtém-se: (41) Aplicando a equivalência da equação anterior para o Princípio da Conservação, tem-se: [11]. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
Considerando que o sistema contém um fluido incompressível, e que o mesmo volume de fluido será deslocado de um ponto a outro dentro do sistema de transporte, os produtos em ambos os termos podem ser convertidos no volume. [11]. (43) O termo inerente à variação de energia mecânica pode ser esmiuçado em uma diferença entre as somas das energias cinética e potêncial iniciais e finais, ou neste caso, as energias de entrada e saída do sistema. (44) Igualando a equação 3.7. a equação 3.8. Obtém-se: [11]. (45) Sabendo que a energia cinética do sistema é definida por: [14]. (46) Substituindo a relação na equação, tem-se: (47) Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
Relembrando a relação que define o cabeçal de pressão para aplicá-la na expressão: (54) Aplicando a relação da expressão 3.18, dividindo toda a expressão pela aceleração gravitacional e lembrando que o peso específico é um produto de da massa específica pela aceleração gravitacional, e substituindo para fins de notação a altura por , comumente usado na literatura e nos estudos da Mecânica dos Fluidos e dos Fenômenos de Transporte para indicar o nível de uma partícula ou de um corpo fluido, temos a seguinte expressão final conhecida como Equação de Bernoulli: [11]. (55) Na equação acima representa a pressão do fluido, é a velocidade do fluxo, é o nível do fluido em relação a sua elevação ou declive, é o peso específico. Os demais termos representam as denominadas perdas de carga, isto é, a energia dissipada ou removida durante o processo, devido a variáveis de sistema durante o operativo da máquina que também estão associadas aos cabeçais. [11, 16]. Para o caso estudado, que são as bombas centrífugas, que são uma subclasse de turbomáquinas de absorção, assim, elas são utilizadas para o transporte de fluidos através da conversão de energia cinética de rotação para a energia hidrodinâmica do fluxo de fluido. A energia rotacional normalmente vem de um motor elétrico. [17, 18, 24]. Na Mecânica dos Fluidos, sistemas de elevação de fluxo são modeladas através da Equação da Continuidade de Bernoulli para fluidos incompressíveis, [11, 16]. A partir da Equação da Continuidade de Bernoulli é possivel chegar a modelagem de Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
uma bomba com a variação de seus parâmetros e a adequação de algumas variáveis, a começar pela adição de termos relacionados ao comportamento do equipamento, bem como as devidas perdas de carga. [7, 11]. (56) Contudo, o perfil de velocidade para escoamento nas superfícies de controle de entrada e saída são não uniformes, em todos os casos de escoamento viscoso, então o perfil de velocidade precisa ser conhecido para que uma modelagem precisa do sistema possa ser realizada, desta maneira, uma conveniente forma de corrigir este percalço é com a aplicação de um fator de correção adimensional agregado às parcelas de energia cinética da equação, assim obtém-se: [11]. (57) O coeficiente de correção assume valores arbitrários de acordo com o regime de escoamento do fluido, para escoamento laminar assume um valor igual a 2, já para em regime turbulento assume valor igual a 1. [11] Em bombas centrífugas o termo pode ser substituido por um parâmetro de influencia estrutural, neste caso, este fator esta relacionado ao trabalho executado pelo eixo da máquina, como descreve a expressão a seguir: [24]. (58) O termo pode ser expresso em função da potência fornecida da máquina para o fluido para que seu transporte seja realizado, como descreve a seguinte equação: [17, 18, 24]. Revista Mundi Engenharia, Tecnologia e Gestão. Curitiba, PR, v.??, n.??, p. ??-??, ??./??., 20??
