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números inteiros, operações e propiedades
Tipologia: Notas de estudo
1 / 68
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Conteúdo:
Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.
Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.
1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total
•A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição:
a + b = b + a
0 + a = a + 0 = a
O primeiro termo de uma subtração e chamado minuendo , o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.
minuendo - subtraendo = resto ou diferença
a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)
M - S = R ↔ R + S = M
Valor absoluto
O valor absoluto de um número inteiro indica a distancia deste número até o zero quando considera- mos a representação dele na reta numérica.
Atenção:
Números simétricos
Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0
Exemplos :
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.
O oposto de 5 é -5.
1° fator x 2° fator = produto
axb = c ↔ (axk)xb = kxc
Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R , tais que: Q x D+R=N e 0 ≤≤≤≤ R< D (onde D é o valor absoluto de D )
A segunda condição significa que R (o resto ) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).
Exemplos:
1 ) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60 , o divisor é 7 , o quociente é 8 e o resto é 4.
8 x 7 + 4=60 e 0 ≤ 4 < 7
2 ) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60 , o divisor é 7 , o quociente é -9 e o resto é 3.
-9 x 7 + 3=-60 e 0 ≤ 3 < 7
indicando-a como N ÷ D = Q ;
D :≠ 0 → 0 ÷÷÷÷ D = 0 ;
Multiplicações e divisões com números inteiros
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:
Exemplos:
1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?
Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t +8-5 = t +
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
2. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?
Solução: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que: m – s = r → s + r = m (a soma de s com r nos dá m )
Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r , observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r , resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:
m +( s + r )= m + m =2 m
O total será sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos: m + s + r = 2 m = m =264÷2=
Resp.: O minuendo será 132. 3.Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?
Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) x (divisor) + (resto) n =5x 12+ n =60+ 11 n = O dividendo procurado é 71.
1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?
(+5)x(+2)=+10 (+5)x(-2)=-
(-5)x(-2)=+10 (-5)x(+2)=-
(+8)÷(+2)=+4 (+8)÷(-2) =-
(-8)÷(2) = +4 (-8)÷(+2)=-
tal que x x b = a.
x b a ( coma Zeb Z*)
Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional a
na forma
A representação decimal de um número racional poderá resultar em um do três casos seguintes:
Inteiro
Neste caso, a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente.
0 13
0 1 9
7 2
14 = =− =
Expansão Decimal Finita
Neste caso, há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.
0375 8
125 3 4
15 5 2
− (^3) =− , = , = ,
Expansão Decimal Infinita Periódica
Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período.
, ... 0 , 1666 ... 6
0333 1 3
(^1) = =
Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes.
Como determinar uma fração geratriz
1° Caso - Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de "zeros" do denominador:
100
816 8,16 =
Com Denominadores Iguais
Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores.
20
20
3 5 7 20
7 20
5 20
Com Denominadores Diferentes
Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados:
12
5 12
2 9 6 12
6 12
9 12
2 2
1 4
3 6
12
7 12
10 3 6 12
6 12
3 12
10 2
1 4
1 6
Para multiplicar duas ou mais frações deve-se: 1º) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 2°) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.
15
2 3x1x
1 x2x 5
1 x 1
2 x 3
1 5
1 x 2 x 3
1
60
7 120
14 6x5x
1 x2x 4
7 x 5
2 x 6
1
20
1 120
6 5x4x
2 x3x 6
1 x 4
3 x 5
2
simplific.por 2
simplific.por 6
= = =
= = →
= = →
Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).
30
1 6x
1 x 5
1 x 6
1 5 6
1
3
10 1x
2 x 3
5 x 1
2 5
3 2
12
5 3x
1 x 4
x^5 3
1 5
4 3
1
6
1 1 6
7 12
14 3 x
2 x 4
7 x 3
2 7
4 3
(^2) simplif.por 2
÷ = = =
÷ = = =
÷ = = =
÷ = = = → =
Atenção: Não faça contas com dízimas periódicas.
Troque todas as dízimas periódicas por frações geratrizes antes de fazer qualquer conta.
Exemplo:
Calcular:
27 20
54 2
9 x 10
6
9
2 10
6
06 0222?
,
, , ...
= = =
= ÷
÷ =
1. Calcular os resultados das expressões abaixo:
a) 5
32 2
8 1 +
b) 4
3 2 6
5 15 −
c) 5
4 x 3
1 2
d) 4
3 1 2
1 ÷
Soluções:
a)
( )
10
119 10
4 10
11 5 5
2 2
11 1
5
2 2
1 8 3 5
2 3 2
1 8
^ =
= +^ +
+^ +
=
= + + +
+ +
b)
( )
12
1 13 12
9 12
10 13
4
3 6
15 2 5 4
2 3 6
15 5
=
=
= − +^ −
−^ +
(^) +
c)
15
13 1 15
13 1 15
28 3x
7 x
5
x^4 3
7 5
x^4 3
2 x3 1 5
x^4 3
2 1
= = + =
= + = =
(^) +
d)
7
2 14
4 7
x^4 2
1
4
7 2
1 4
1 x4 3 2
1 4
3 1 2
1
= simplif. ^ por2→
= ÷ =
= ÷
÷ +
2. Determinar a fração geratriz de 0,272727....
Solução:
11
3 99 9
27 9 99
27 0 272727 = ÷
÷ , ... = =
3. Quanto valem dois terços de 360?
Solução:
240 3
2 x 360 x 360 3
2 360 3
2 de = = =
Então, dois terços de 360 são 240.
4. Se três quartos de x valem 360, então quanto vale x?
Solução:
O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00.
8. De um reservatório, inicialmente cheio, retirou-se 4
(^1) do volume e, em seguida, mais 21 litros.
Restaram, então 5
(^2) do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatório?
Solução:
Seja 20x o volume do reservatório (pois tem quartos e quintos exatos).
inicial } retiradas resto} 20x 5x- 21 8x
de20x 8x 5
2 resto:
2ªretirada: 21 litros
de20x 5x 4
1 1ªretirada:
20x
− =
=
=
678
isolando os termos em "x" tem-se:
20x-5x-8x= 7x= x=
Como a capacidade do reservatório foi representada por 20x, tem-se:
20x = 20 x 3 = 60 litros
9. Rogério gastou 3
2 do que tinha e, em seguida, 4
1 do resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto
Rogério possuía inicialmente?
Solução:
Seja 12x a quantia inicial de Rogério:
3
2 − de 12x 4
1 − de 4x
12x 4x 3x = 300,00 (resto) (-8x) (-x)
3x = 300 x = 100
Logo, a quantia inicial de Rogério era:
12x = 12 x 100 = 1.200 reais
Rogério possuía, inicialmente, R$ 1.200,00.
10. Um estojo custa 3
(^2) a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada
objeto?
Solução:
Como o preço do estojo foi indicado para dois terços a mais que o preço da caneta, faremos:
caneta: 3x
estojo: de3x 3x 2x 5x 3
2 3x + = + =
Juntos eles valem R$ 16,00:
} }
x 2
8x 16
3x 5x 16
caneta estojo
=
=
Então:
a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais
11. Um pai distribui certo número de balas entre suas três filhas de tal modo que a do meio recebe 3
1
do total, a mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas?
Solução:
Seja o total de balas representado por 3x:
( )
=
amaisnova: 25
amaisvelha:x 2
de3x x 3
adomeio:^1
3 x
total
Juntando todas as balas tem-se:
3x=x+x+2=
isolando "x" na igualdade tem-se:
3x-x-x=2+ x=
Logo, o total de balas é: 3x = 3 x 27 = 81 balas.
1. Efetue as expressões abaixo.
a) 4
3 3
2 2
1
b) 2
1 4 5
1 2 3
1 5 + −
2. Efetue as multiplicações abaixo.
a) 16
15 x 5
2
b) 2
1 x 2 3
1 1
3. Efetue as divisões abaixo.
a) 7
6 4
(^3) ÷
20. Márcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da calça que usava. Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a sétima parte do que havia no bolso direito restariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso?
1. a) 12
5
b) 30
31
2. a) 8
3
b) 3
1 3
3. a) 8
7
b) 8
7 1
4. V, V, V 5. 900 6. 560
7. 7
4
7
2
11. 90 cm 12. 200km 13. R$ 210, 14. Antônio: 6 anos, Benedito: 36 anos, César: 3 anos e Dilson: 9 anos 15. 60 16. R$ 180,00; R$ 60,00; R$ 30, 17. R$ 50, 18. R$ 700, 19. 18 20. R$ 60,00 no bolso esquerdo e R$ 56,00 no bolso direito
O conjunto dos números reais compreende todos os números que permitam representação na forma decimal, periódica ou não periódica. Isto compreende todos os números inteiros, todos os números racionais e mais os números com representação decimal não periódica. São exemplos de números reais: 2 = 2,000... 1/5 = 0,2000... 4/9 = 0,444... π = 3,141592653... 2 =1,414213...
Números Irracionais
Alguns números têm representação decimal infinita e aperiódica não sendo, portanto, números racionais. A estes números denominamos números irracionais.
Números Irracionais: têm representação decimal... ... infinita e ... aperiódica.
O conjunto dos números irracionais é usualmente representado por I. São exemplos de números irracionais: π = 3,14159265358979323846... e = 2,71828182846... 2 = 1,41421356237...
A operação de radiciação produz, freqüentemente, números irracionais. A raiz de um número natural qualquer, ou resultará também número natural ou será um número irracional.
10 éumnúmero irracional
12 éumnúmeroirracional
Exemplos:
núm.irracional
ou
núm.natural núm.natural
3
n
Representação dos Números por Pontos da Reta
Podemos representar todos os números reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numérica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o número zero.
Depois, marcam-se os demais números inteiros, mantendo sempre a mesma distância entre dois inteiros consecutivos quaisquer, sendo:
Notação de Conjuntos: {x ∈ R /- 5 ≤x≤ 2 } Notação de Intervalos: ]- ∞ ; 2]
e) Representação Gráfica:
Notação de Conjuntos: {x ∈ R / x>-5} Notação de Intervalos: ]-5; + ∞ [
Observe: Na notação de intervalos, o colchete que está do lado de - ∞ ou de + ∞ fica sempre voltado para fora.
Medir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza da mesma natureza, tomada como unidade de medida. Para exemplificar, vejamos na tabela seguinte apenas as mais comuns entre as unidades decimais de medidas.
comprimento metro m superfície metro quadrado m 2 Volume (capacidade)
metro cúbico litro
λ massa grama g
Atenção : os símbolos são sempre invariáveis. Portanto, não mudam para indicar plural, nem admitem outras formas de escrita. Exemplos: estão certos : 20m, 30 λ , 16 g
estão errados : 20mts, 301lts, l6 grs
Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais de medidas decimais
Para tornar mais cômodas as Expressões de valores muito grandes ou muito pequenos em relação ao valor da unidade fundamental de uma grandeza, podemos indicar o valor da grandeza medida utilizando um múltiplo ou um submúltiplo da unidade fundamental. Os múltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1000, etc. vezes maiores que a unidade fundamental. Cada múltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondente que são (^) .justapostos ao nome e ao símbolo da unidade fundamental, respectivamente.
quilo= k hecto = h
deca = da
unidade fundamental
Os submúltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1.000, etc. vezes menores que a unidade fundamental. Cada submúltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondentes que são justapostos ao nome e ao símbolo da unidade fundamental, respectivamente.
unidade fundamental deci = d
centi = c
mili=m
I. Medidas de comprimento
A unidade fundamental das medidas de comprimento e o metro. Os múltiplos do metro sao:
decâmetro (dam) hectômetro (hm) quilômetro (km) 1dam= 10m 1 hm =100m 1km = l 000m