Docsity
Docsity

Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity


Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium


Guias e Dicas
Guias e Dicas

números inteiros, operações e propiedades, Notas de estudo de Administração Empresarial

números inteiros, operações e propiedades

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 21/01/2010

Vinicius20
Vinicius20 🇧🇷

4.5

(183)

407 documentos

1 / 68

Toggle sidebar

Esta página não é visível na pré-visualização

Não perca as partes importantes!

bg1
APOSTILA DE MATEMÁTICA
PARA CONCURSOS
Encontre o material de estudo para seu concurso preferido em
Conteúdo:
1. Operações com números inteiros, fracionários e decimais
2. Sistemas de medidas
3. Regras de três simples e composta;
4. Porcentagens
5. Equações de 1º e 2º graus
O REI DAS APOSTILAS
www.oreidasapostilas.com.br
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40
pf41
pf42
pf43
pf44

Pré-visualização parcial do texto

Baixe números inteiros, operações e propiedades e outras Notas de estudo em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!

APOSTILA DE MATEMÁTICA

PARA CONCURSOS

Encontre o material de estudo para seu concurso preferido em

Conteúdo:

  1. Operações com números inteiros, fracionários e decimais
  2. Sistemas de medidas
  3. Regras de três simples e composta;
  4. Porcentagens
  5. Equações de 1º e 2º graus

O REI DAS APOSTILAS

www.oreidasapostilas.com.br

NÚMEROS INTEIROS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES

Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

ADIÇÃO

Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1ª parcela + 2ª parcela = soma ou total

•A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição:

a + b = b + a

  • O zero e elemento neutro da adição:

0 + a = a + 0 = a

SUBTRAÇÃO

O primeiro termo de uma subtração e chamado minuendo , o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo - subtraendo = resto ou diferença

  • A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração:

a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)

  • Se adicionarmos uma constante k ao minuendo , o resto será adicionado de k.
  • Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo , o resto será subtraído de k.
  • A subtração é a operação inversa da adição:

M - S = R ↔ R + S = M

  • A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. M + S + R = 2 x M

Valor absoluto

O valor absoluto de um número inteiro indica a distancia deste número até o zero quando considera- mos a representação dele na reta numérica.

Atenção:

  • O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.
  • A representação do valor absoluto de um número n é  n . (Lê-se "valor absoluto de n " ou "módulo de n ")

Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos :

-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5.

1° fator x 2° fator = produto

  • O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.
  • A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a
  • O número 1 é elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a
  • Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator : a x b = c ↔ (a+k)xb = c+(kxb)
  • Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k , o produto será multiplicado por k.

axb = c ↔ (axk)xb = kxc

  • Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: ax(b±c) = (axb) ± (axc)

DIVISÃO INTEIRA

Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R , tais que: Q x D+R=N e 0 ≤≤≤≤ R<D (onde  D  é o valor absoluto de D )

A segunda condição significa que R (o resto ) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:

1 ) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60 , o divisor é 7 , o quociente é 8 e o resto é 4.

8 x 7 + 4=60 e 04 <  7

2 ) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60 , o divisor é 7 , o quociente é -9 e o resto é 3.

-9 x 7 + 3=-60 e 03 <  7

  • Quando ocorrer R=O na divisão de N por D , teremos Q x D = N e diremos que a divisão é exata

indicando-a como N ÷ D = Q ;

  • Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.
  • O zero é divisível por qualquer número não nulo:

D :≠ 00 ÷÷÷÷ D = 0 ;

  • Todo número inteiro é divisível por 1 : ∀ N , N ÷÷÷÷ 1 = N ;
  • Se multiplicarmos o dividendo ( N ) e o divisor ( D ) de uma divisão por uma constante k0 , o quociente ( Q ) não será alterado mas o resto ( R ) ficará multiplicado por k , se R x k < D , ou será igual ao resto da divisão de R x k por D , se R x k ≥≥≥≥ D.

Multiplicações e divisões com números inteiros

Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: t +8-5 = t +

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

2. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?

Solução: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que: ms = rs + r = m (a soma de s com r nos dá m )

Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r , observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r , resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:

m +( s + r )= m + m =2 m

O total será sempre o dobro do minuendo.

Deste modo, temos: m + s + r = 2 m = m =264÷2=

Resp.: O minuendo será 132. 3.Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?

Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) x (divisor) + (resto) n =5x 12+ n =60+ 11 n = O dividendo procurado é 71.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

SINAIS IGUAIS → (+) SINAIS OPOSTOS → (-)

(+5)x(+2)=+10 (+5)x(-2)=-

(-5)x(-2)=+10 (-5)x(+2)=-

(+8)÷(+2)=+4 (+8)÷(-2) =-

(-8)÷(2) = +4 (-8)÷(+2)=-

GABARITO:

    1. 20 e
    1. R$ 930,
    1. 4.256.
    1. R$ 1.
    1. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 8. 110 litros
    1. Marta: R$ 110,00, Marisa: R$ 90,00 e Yara: R$ 75,
    1. R$ 622,
    1. Renato: 15 e Flávia:

NÚMEROS RACIONAIS OPERAÇÕES E PROPRIEDADES

CONCEITO

Dados dois números inteiros a e b , com b ≠ 0, denominamos número racional a todo número

b

a

x = ,

tal que x x b = a.

x b a ( coma Zeb Z*)

b

a

x = ↔ ⋅ = ∈ ∈

REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA

Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração à expressão de um número racional a

na forma

b

a

REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL

A representação decimal de um número racional poderá resultar em um do três casos seguintes:

Inteiro

Neste caso, a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente.

0 13

0 1 9

7 2

14 = =− =

Expansão Decimal Finita

Neste caso, há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal.

0375 8

125 3 4

15 5 2

− (^3) =− , = , = ,

Expansão Decimal Infinita Periódica

Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta seqüência é denominada período.

, ... 0 , 1666 ... 6

0333 1 3

(^1) = =

DETERMINAÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ

Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes.

Como determinar uma fração geratriz

1° Caso - Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de "zeros" do denominador:

100

816 8,16 =

Com Denominadores Iguais

Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores.

20

20

3 5 7 20

7 20

5 20

3

  • − =

Com Denominadores Diferentes

Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados:

12

5 12

2 9 6 12

6 12

9 12

2 2

1 4

3 6

(^1) m.m.c(6,4,2) 12

  • −  =→ + − =

12

7 12

10 3 6 12

6 12

3 12

10 2

1 4

1 6

5

  • − = + − =

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Para multiplicar duas ou mais frações deve-se: 1º) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 2°) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.

15

2 3x1x

1 x2x 5

1 x 1

2 x 3

1 5

1 x 2 x 3

1

60

7 120

14 6x5x

1 x2x 4

7 x 5

2 x 6

1

20

1 120

6 5x4x

2 x3x 6

1 x 4

3 x 5

2

simplific.por 2

simplific.por 6

= = =

= =  →

= =  →

DIVISÃO ENVOLVENDO FRAÇÕES

Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo (divisor).

30

1 6x

1 x 5

1 x 6

1 5 6

1

3

10 1x

2 x 3

5 x 1

2 5

3 2

12

5 3x

1 x 4

x^5 3

1 5

4 3

1

6

1 1 6

7 12

14 3 x

2 x 4

7 x 3

2 7

4 3

(^2) simplif.por 2

÷ = = =

÷ = = =

÷ = = =

÷ = = =  → =

Atenção: Não faça contas com dízimas periódicas.

Troque todas as dízimas periódicas por frações geratrizes antes de fazer qualquer conta.

Exemplo:

Calcular:

27 20

54 2

9 x 10

6

9

2 10

6

06 0222?

,

, , ...

= = =

= ÷

÷ =

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcular os resultados das expressões abaixo:

a) 5

32 2

8 1 +

b) 4

3 2 6

5 15 −

c) 5

4 x 3

1 2

d) 4

3 1 2

1 ÷

Soluções:

a)

( )

10

119 10

4 10

11 5 5

2 2

11 1

5

2 2

1 8 3 5

2 3 2

1 8

^ = 

  

= +^ +  

  

+^ +

= 

  

 = + + + 

  

 + + 

  

b)

( )

12

1 13 12

9 12

10 13

4

3 6

15 2 5 4

2 3 6

15 5

 = 

  

= 

  

= − +^ −  

  

−^ +  

  

 (^) +

c)

15

13 1 15

13 1 15

28 3x

7 x

5

x^4 3

7 5

x^4 3

2 x3 1 5

x^4 3

2 1

= = + =

 = + = = 

  

 (^) +

d)

7

2 14

4 7

x^4 2

1

4

7 2

1 4

1 x4 3 2

1 4

3 1 2

1

= simplif. ^ por2→

= ÷ =

= ÷ 

  

 ÷ +

2. Determinar a fração geratriz de 0,272727....

Solução:

11

3 99 9

27 9 99

27 0 272727 = ÷

÷ , ... = =

3. Quanto valem dois terços de 360?

Solução:

240 3

2 x 360 x 360 3

2 360 3

2 de = = =

Então, dois terços de 360 são 240.

4. Se três quartos de x valem 360, então quanto vale x?

Solução:

O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00.

8. De um reservatório, inicialmente cheio, retirou-se 4

(^1) do volume e, em seguida, mais 21 litros.

Restaram, então 5

(^2) do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatório?

Solução:

Seja 20x o volume do reservatório (pois tem quartos e quintos exatos).

inicial } retiradas resto} 20x 5x- 21 8x

de20x 8x 5

2 resto:

2ªretirada: 21 litros

de20x 5x 4

1 1ªretirada:

20x

− =



=

=

678

isolando os termos em "x" tem-se:

20x-5x-8x= 7x= x=

Como a capacidade do reservatório foi representada por 20x, tem-se:

20x = 20 x 3 = 60 litros

9. Rogério gastou 3

2 do que tinha e, em seguida, 4

1 do resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto

Rogério possuía inicialmente?

Solução:

Seja 12x a quantia inicial de Rogério:

3

2 − de 12x 4

1 − de 4x

12x 4x 3x = 300,00 (resto) (-8x) (-x)

3x = 300 x = 100

Logo, a quantia inicial de Rogério era:

12x = 12 x 100 = 1.200 reais

Rogério possuía, inicialmente, R$ 1.200,00.

10. Um estojo custa 3

(^2) a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada

objeto?

Solução:

Como o preço do estojo foi indicado para dois terços a mais que o preço da caneta, faremos:

caneta: 3x

estojo: de3x 3x 2x 5x 3

2 3x + = + =

Juntos eles valem R$ 16,00:

} }

x 2

8x 16

3x 5x 16

caneta estojo

=

=

  • =

Então:

a caneta custa: 3x = 3 x 2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5 x 2 = 10 reais

11. Um pai distribui certo número de balas entre suas três filhas de tal modo que a do meio recebe 3

1

do total, a mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas?

Solução:

Seja o total de balas representado por 3x:

( )



=

amaisnova: 25

amaisvelha:x 2

de3x x 3

adomeio:^1

3 x

total

Juntando todas as balas tem-se:

3x=x+x+2=

isolando "x" na igualdade tem-se:

3x-x-x=2+ x=

Logo, o total de balas é: 3x = 3 x 27 = 81 balas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Efetue as expressões abaixo.

a) 4

3 3

2 2

1

b) 2

1 4 5

1 2 3

1 5 + −

2. Efetue as multiplicações abaixo.

a) 16

15 x 5

2

b) 2

1 x 2 3

1 1

3. Efetue as divisões abaixo.

a) 7

6 4

(^3) ÷

20. Márcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da calça que usava. Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a sétima parte do que havia no bolso direito restariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso?

GABARITO:

1. a) 12

5

b) 30

31

2. a) 8

3

b) 3

1 3

3. a) 8

7

b) 8

7 1

4. V, V, V 5. 900 6. 560

7. 7

4

7

2

11. 90 cm 12. 200km 13. R$ 210, 14. Antônio: 6 anos, Benedito: 36 anos, César: 3 anos e Dilson: 9 anos 15. 60 16. R$ 180,00; R$ 60,00; R$ 30, 17. R$ 50, 18. R$ 700, 19. 18 20. R$ 60,00 no bolso esquerdo e R$ 56,00 no bolso direito

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais compreende todos os números que permitam representação na forma decimal, periódica ou não periódica. Isto compreende todos os números inteiros, todos os números racionais e mais os números com representação decimal não periódica. São exemplos de números reais: 2 = 2,000... 1/5 = 0,2000... 4/9 = 0,444... π = 3,141592653... 2 =1,414213...

Números Irracionais

Alguns números têm representação decimal infinita e aperiódica não sendo, portanto, números racionais. A estes números denominamos números irracionais.

Números Irracionais: têm representação decimal... ... infinita e ... aperiódica.

O conjunto dos números irracionais é usualmente representado por I. São exemplos de números irracionais: π = 3,14159265358979323846... e = 2,71828182846... 2 = 1,41421356237...

A operação de radiciação produz, freqüentemente, números irracionais. A raiz de um número natural qualquer, ou resultará também número natural ou será um número irracional.

10 éumnúmero irracional

12 éumnúmeroirracional

Exemplos:

núm.irracional

ou

núm.natural núm.natural

3

n  

 

Representação dos Números por Pontos da Reta

Podemos representar todos os números reais como pontos em uma reta orientada denominada reta numérica. Inicialmente, escolhe-se um ponto sobre a reta para indicar o número zero.

R

Depois, marcam-se os demais números inteiros, mantendo sempre a mesma distância entre dois inteiros consecutivos quaisquer, sendo:

  • os positivos, à direita de zero, a partir do 1 e em ordem crescente para a direita;
  • e os negativos à esquerda de zero, a partir do -1 e em ordem decrescente para a esquerda;

Notação de Conjuntos: {x ∈ R /- 5 ≤x≤ 2 } Notação de Intervalos: ]- ∞ ; 2]

e) Representação Gráfica:

Notação de Conjuntos: {x ∈ R / x>-5} Notação de Intervalos: ]-5; + ∞ [

Observe: Na notação de intervalos, o colchete que está do lado de - ∞ ou de + ∞ fica sempre voltado para fora.

SISTEMAS DE MEDIDAS

Medir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza da mesma natureza, tomada como unidade de medida. Para exemplificar, vejamos na tabela seguinte apenas as mais comuns entre as unidades decimais de medidas.

NATUREZA

DA

GRANDEZA

NOME DA

UNIDADE

FUNDAMENTAL

DE MEDIDA

SÍMBOLO

comprimento metro m superfície metro quadrado m 2 Volume (capacidade)

metro cúbico litro

M^3

λ massa grama g

Atenção : os símbolos são sempre invariáveis. Portanto, não mudam para indicar plural, nem admitem outras formas de escrita. Exemplos: estão certos : 20m, 30 λ , 16 g

estão errados : 20mts, 301lts, l6 grs

Múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais de medidas decimais

Para tornar mais cômodas as Expressões de valores muito grandes ou muito pequenos em relação ao valor da unidade fundamental de uma grandeza, podemos indicar o valor da grandeza medida utilizando um múltiplo ou um submúltiplo da unidade fundamental. Os múltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1000, etc. vezes maiores que a unidade fundamental. Cada múltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondente que são (^) .justapostos ao nome e ao símbolo da unidade fundamental, respectivamente.

quilo= k hecto = h

deca = da

unidade fundamental

Os submúltiplos de uma unidade de medida decimal podem ser 10, 100, 1.000, etc. vezes menores que a unidade fundamental. Cada submúltiplo da unidade fundamental é identificado por um prefixo e um símbolo correspondentes que são justapostos ao nome e ao símbolo da unidade fundamental, respectivamente.

unidade fundamental deci = d

centi = c

mili=m

I. Medidas de comprimento

A unidade fundamental das medidas de comprimento e o metro. Os múltiplos do metro sao:

decâmetro (dam) hectômetro (hm) quilômetro (km) 1dam= 10m 1 hm =100m 1km = l 000m