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Movimento Harmônico

SUBTÍTULO

Movimento Harmônico Simples

Considerando um objeto de massa m, preso em uma mola elástica de comprimento original l. É observado que a massa produz uma elongação, L, na mola devido seu peso. Seja a força da gravidade que puxa a massa para baixo e tem magnitude , onde é a aceleração da gravidade.

• A força de restauração da mola vai puxar a massa para cima. Supondo uma elongação L pequena, esta força é proporcional a L, logo pela lei de Hooke temos que . Quando a massa está em equilíbrio as forças se compensam, , assim se o sistema massa mola estiver em equilíbrio, então temos que: 𝑚 ⃗𝑔 − 𝑘𝐿= 0

Exemplo

Movimento Amortecido

Em mecânica, forças de amortecimento agindo em um corpo são consideradas como sendo proporcionais a uma potência da velocidade. Supondo que a força seja proporcional a. Quando não há outras forças agindo sobre o sistema, segue-se da segunda lei de Newton que: 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = − 𝑘𝑥 − 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Onde β é uma constante de amortecimento positiva e sinal de subtração indica que a força de amortecimento atua em direção oposta ao movimento. Dividindo a equação por m, temos a equação diferencial de movimento livre amortecido. , a solução da E.D.O, vai depender do sinal de.

2 𝑥 𝑑 𝑡 2

= 0 , onde 2 λ =

2

Movimento Forçado

Considerando uma força externa f(t) agindo em um sistema vibratório massa-mola. Nesse caso f(t) poderia ser uma força causando um movimento oscilatório vertical no suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton nos dá a equação diferencial de movimento forçado. 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 = − 𝑘𝑥 − 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑡

• 𝑓 (𝑡) 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2

𝑓 (^ 𝑡 )

, onde Para resolver essa equação não-homogênea, é possível usar métodos do coeficiente indeterminados ou variação de parâmetros.

Exemplo

Exemplo