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One Planet, one Ocean and one Health - 2021
MODELING NON-LINEAR MECHANICAL VIBRATORY PROCESSES
USING THE ADOMIAN METHOD: PRELIMINARY RESULTS AND
APPLICATIONS IN MECHANICAL ENGINEERING
Erick Leone Barros Soaresa, José Vicente Cardoso Santosb a, SENAI-CIMATEC, Brazil, b (^) SENAI-CIMATEC, Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Brazil. Abstract: In this research, a study of a literature review was carried out on the Adomian Decomposition Method for Solving Linear and Non-Linear Ordinary Differential Equations. Investigations about the method are presented in the form of preliminary research results and were explained, described and applied to the mathematical modeling of a mechanical oscillator, so that the expression to describe the same and then the method was applied to bring the surface your mathematical solutions. In application to the real model, the experimental data were based on virtual tools as well as the entire laboratory environment, however these factors would not interfere with the reliability of the preliminary results that indicate the stability of the analytical solution found. Keywords: Equation; Differential; Adomian; Operator; Vibration.
MODELAGENS DE PROCESSOS VIBRATÓRIOS MECÂNICOS NÃO-
LINEARES COM O USO DO MÉTODO DE ADOMIAN: RESULTADOS
PRELIMINARES E APLICAÇÕES NA ENGENHARIA MECÂNICA
Resumo: Nesta pesquisa executou-se um estudo de uma revisão de literatura referencial sobre o Método de Decomposição de Adomian para Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares e Não-Lineares. As investigações acerca do método são expostas sob a forma de resultados preliminares de pesquisa e foram explanadas, descritas e aplicadas à modelagem matemática de um oscilador mecânico, de maneira que a expressão para descrever o mesmo e em seguida aplicou-se o método para trazer a tona suas soluções matemáticas. Em aplicação ao modelo real os dados experimentais foram baseados em ferramentas virtuais bem como todo o ambiente de laboratório, contudo estes fatores não interfeririam na confiabilidade dos resultados preliminares que indicam a estabilidade da solução analitica encontrada. Palavras-chave: Equação; Diferencial; Adomian; Operador; Vibração.
One Planet, one Ocean and one Health - 2021
1. INTRODUÇÃO Atualmente, a previsão de comportamentos, nuances e eventos em diversos sistemas físicos tem sido uma necessidade demandada por diversas áreas da Engenharia, principalmente a Engenharia Mecânica, onde situações, quando modeladas física e matematicamente, não possuem solução analítica, talvez numérica, e que exigem novos métodos de solução, tanto numéricos quanto analíticos, que promovam a segurança e confiabilidade dos pesquisadores e profissionais envolvidos em sua modelagem e na sua solução [1,2,3]. A modelagem dos fenômenos físicos, especialmente os vibratórios, é descrita com os princípios físicos que regulam o cenário fenomenológico imposto, com as leis de conservação associadas (energia, momento etc...) e a álgebra a elas associada, desdobrando-se assim, em uma diferencial equação (ordinária ou parcial) que regula o fenômeno e suas soluçõe associadas e indexadas às condições de contorno [1,2]. Existem vários métodos para resolver uma equação diferencial ordinária ou parcial, sendo estes, sujeitos à classificação das equações em questão, e são classificados de acordo com a sua ordem, para isso deve verificar o índice da derivada mais alta presente na expressão [3,4]. Assim, esta pesquisa tem como objetivo geral modelar equações diferenciais para processos vibratórios mecânicos não lineares e resolvê-los com o método de decomposição de Adomian para aplicações em sistemas mecânicos na Engenharia e como objetivos específicos a validação do métodos, a planificação de aplicações com o aspecto inovacional da apresentação analítica de soluções de equações diferenciais não lineares. 2. METODOLOGIA No meio de equações diferenciais, quando seus coeficientes podem não ser tão previsíveis, isso torna difícil encontrar uma solução para eles. Além disso, quando se trata de equações não lineares, o processo torna-se ainda mais complexo, pois são as equações que apresentam maior complexidade de resolução e, como era de se esperar, rotineiramente e infelizmente estão presentes na descrição dos fenômenos. Nesse contexto, surge o Método de Decomposição Adomian, que se propõe a resolver toda e qualquer equação diferencial de forma analítica, utilizando como ferramenta alguns parâmetros que o próprio autor do método criou [3,4,5,6]. O Método de Decomposição de Adomian engloba uma série de vantagens, sendo as principais a sua natureza puramente analítica, o que faz com que seus valores sejam obtidos algebricamente, porém, vale ressaltar a natureza convergente do operativo, podendo até ser exato dependendo da equação tratada [3,5,6]. Além disso, as vantagens do método são também a sua capacidade de resolver das equações mais simples às mais complexas e com soluções desconhecidas, ele também possui a solução de equações funcionais sem a necessidade de discretização ou aproximação dos operadores empregados e, por
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 O cálculo efetivo é recomendado para isolar inicialmente o operador L , obtendo assim: L R - N ( 2.5 ) No Método de Decomposição Diferencial de Adomian, o operador diferencial é necessariamente de natureza inversível. Assim, aplicando o conhecimento sobre operadores da Álgebra Linear, o operador inverso é aplicado em ambos os lados da expressão anterior, obtendo-se: R N
Tendo em vista que o operador diferencial aplicado admite natureza inversível, pode-se traduzir da seguinte forma, visto que a operação oposta à derivação é integração: ( 2.7 ) Aplicando a tradução do operador diferencial denotado acima na expressão anterior, generalizando-o e realizando sua operação, obtemos: R N ( 2.8 ) Na expressão acima, mais um termo aparece na operação, este termo recebe o nome de é a constante de integração , que por definição deve aparecer após a resolução da operação que a nomeia, além disso, está relacionada às condições iniciais propostas pelo problema [6]. Neste estágio, Adomian assume que a parte não linear da expressão é uma função analítica e, portanto, pode e deve ser escrita de acordo com os chamados Polinômios de Adomian, que possuem a seguinte estrutura:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 N ( 2.9 ) Tendo em mente os postulados descritos acima, e nos anais de Adomian, fazendo as substituições necessárias, obtemos: R N
Apresentando o postulado de Adomian, a seguinte descrição é dada: O Método de Decomposição de Adomian para a Resolução de Equações Diferenciais Não Lineares assume que a solução da equação pode ser dada pela soma infinitesimal, seguindo um critério de convergência, de suas enésimas soluções dadas de um operador diferencial inversível aplicado para a mesma expressão em suas partes lineares e em sua parte não linear, é obtido a partir da soma dos chamados Polinômios de Adomian obtidos analiticamente iterativamente de seus termos anteriores [6,7]. As soluções da expressão, que são as parcelas da série infinita mostrada acima, podem e devem ser calculadas comparando os dois lados da igualdade, obtendo-se assim a seguinte conjectura para a parcela inicial: ( 2.11 ) Assim, de um modo geral, existem: R ( 2.12 ) Nesse ponto vale ressaltar, mais uma vez, que as demais soluções são obtidas iterativamente por meio das equações acima, levando-se em conta também que os termos após a porção inicial dependem diretamente dos Polinômios de Adomian, conforme postulado em seu artigo original [3,4] e também em seu trabalho posterior [4,5]. Para a obtenção de tais polinômios, deve-se realizar a expansão do termo não linear em uma série de Taylor, de acordo com a porção inicial , para que os Polinômios de Adomian de forma generalizada possam ser explicados da seguinte forma:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 N ( 2.20 ) N” N’ ( 2.21 ) N’ N” N’’’ ( 2.22 ) N’ N” N’’ ’
E consecutivamente à fórmula geradora para obter o valor final da solução da equação, resta somar os valores obtidos a partir das soluções arranjadas em forma de série de Taylor, conforme previa o postulado. ( 2.24 ) De forma mais abrangente, temos o algoritmo do método mostrado a seguir: Diagrama # 01: Fluxograma de etapas para usar o Método de Decomposição Diferencial de Adomian. Modela-se a equação diferencial para o sistema físico analisado ou da situação-problema desejada; classificam os termos não-lineares dos termos que^ Se avalia a expressão obtida e em seguida se são lineares e a função auxiliar; Aplica-se o operador diferencial; Realiza-se a operação de integração; Realiza-se a expansão do termo não- linear em uma série de Taylor; Com a primeira parcela da solução se encontra o Polinômio inciial de Adomian; Com o Polinômio incial de Adomian se encontra=se a próxima parcela; Realiza-se o algorítmo citado anteriormente;
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 Por fim, o resultado da expressão converge para sempre que houver um valor maior ou igual a 0 e menor que 1. Além disso, deve pertencer ao grupo dos naturais, satisfazendo a seguinte relação: para todo.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES 3.1 Características dos processos vibratórios Uma vibração nada mais é do que um distúrbio que ocorre em um sistema físico, Soleto em seu trabalho sobre o tema abordado, traz a seguinte dissertação: “Vibrações de natureza mecânica são fenômenos importantes no mundo físico, e suas manifestações ocorrem com frequência no mundo físico. universo que nos cerca, muitas vezes liberando grandes quantidades de energia, como ocorre nos terremotos na crosta terrestre. Os fenômenos vibratórios são, portanto, anteriores à existência do homem. No entanto, é na vida cotidiana do mundo moderno que mais frequentemente nos deparamos com inúmeros fenômenos físicos associados às vibrações mecânicas e suas manifestações. Assim, em eletrodomésticos, como barbeadores elétricos, aspiradores de pó, secadores de cabelo, máquinas de lavar etc [8,9]. A vibração é um fenômeno físico e geralmente está associada à dissipação de energia cinética e sua eventual conversão de um tipo de energia para outro por vários motivos; entre as mais comuns estão as descontinuidades dos materiais envolvidos no sistema [8]. Como o cerne do trabalho é a execução do Método de Decomposição Diferencial de Adomian e os conceitos relacionados às Vibrações, bem como a modelagem da equação que será por ele resolvida, são apenas uma referência para uma análise prática do método, portanto, é de fundamental importância saber como a expressão foi formulada, havendo três formas usuais de formular as equações do movimento vibracional, para a ocasião foi utilizada a Formulação Direta [8,9]. Um sistema vibracional pode ser classificado de várias maneiras, todas relacionadas à sua natureza e referentes a aspectos e nuances de suas próprias características que são diagnosticadas justamente pelas funções que modelam os sistemas em que surgem, por exemplo, no que diz respeito às vibrações livres ou forçadas que nós tem a seguinte definição apresentada pelo professor Micelli Camargo do portal de instrução acadêmica Engineering & CIA, que comenta o seguinte sobre o assunto [9,10,11]. Para explicar o método em termos práticos, considere o seguinte diagrama esquemático:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 Aqui temos a variável que representa a posição do carrinho em função do tempo. Aplicando a Lei de Hooke sobre a força elástica e os conceitos formados sobre a força de atrito, a fórmula acima pode ser expressa da seguinte forma: ( 3.6 ) Resta então escrever a expressão em termos derivativos: ( 3.7 ) Aplicando a tradução numérica para a força de atrito teremos a seguinte expressão: ( 3.8 ) Distribuindo o termo do oscilador harmônico considerando que é igual a: ( 3.9 ) Aplicando à expressão, colocando tudo como um quociente de massa, obtemos: ( 3.10 ) Terminada a dedução da expressão do sistema oscilatório, passamos à etapa de aplicação do Método de Decomposição Diferencial de Adomian. Porém, previamente vale a pena mostrar que a equação acima possui uma solução analítica dada por: ( 3.11 ) 3.3 Normalização ao Método de Adomian Seguindo o algoritmo mencionado acima durante a descrição do método, o primeiro passo é baseado na decifração dos termos da equação, classificando-os como sua função linear, não linear e auxiliar, se houver. A seguinte equação será então considerada para a execução do método:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 ( 3.12 ) Como a situação física considerada é referente a um sistema oscilador massa- mola, existem muitas variaveis que influem no comportamento de molas e por consequência influenciarão na modelagem do sistema, como por exemplo: o material especificado e portanto o seu módulo de cisalhamento, o número de espiras ativas e ainda mais precisamente a geometria da mola, como é descrito por Robert L. Norton em sua principal obra [13]. Por definição molas não lineares, em geral, apresentam diferentes valores para dependendo da força aplicada e que para o caso apresentado serão consideradas molas deste tipo [14]. Como descreve Norberto Aranha “A não linearidade pode ser conseguida através da variação do número de espiras, quando a mola deflete. Isso é facilmente realizado em uma mola helicoidal cônica (Vide Imagem #02). À medida que a força de compressão é aplicada, as bobinas de menor diâmetro e mais próximas da base vão se encaixando dentro das espiras maiores. Este movimento equivale a uma diminuição do número de espiras, provocando um aumento na rigidez da mola” [14,15]. Imagem #02: Principais tipos de molas É importante notar que, neste primeiro momento, a equação está sendo aplicada ao Método de Decomposição de Adomian em sua natureza linear, ou seja, não existem produtos mistos ou quaisquer outras funções de caráter não linear na estrutura da expressão. Então, segue-se o seguinte procedimento operativo, na expressão, o termo: L = , ( 3.13 ) Neste caso, é o termo derivado de ordem mais alta. O termo R linear é dado por: R = ( 3.14 ) O termo N não linear: N = ( 3.15 ) Finalmente, a função auxiliar de variável independente é dada por:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 Percebendo a suposição proposta por Adomian de que a função pode ser escrita como uma série de funções de, temos: ( 3.24 ) Assim, aplicando a suposição na equação 3.23, temos a seguinte tradução: ( 3.25 ) Além de aplicar a suposição referida pela equação 3.23, deve-se supor que a parte não linear da equação pode ser escrita em termos dos polinômios de Adomian, neste caso particular, a seguinte expressão é obtida: N ( 3.26 ) Nesse caso, para os polinômios de Adomian a variável independente é, representando o sistema e o regime não permanente. Aplicando na expressão, você obtém: ( 3.27 ) Depois de executar o processo de comparação com as duas extremidades da equação, a seguinte relação de recorrência é verificada: ( 3.28 ) Generalizando o prazo de solução, temos: ( 3.29 ) Também de acordo com a equação 3.28, o polinômio inicial de Adomian é dado por:
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 N ( 3.30 ) Então se têm: ( 3.31 ) Assim, já tendo obtido o termo inicial, temos que o termo da solução posterior é dado por: ( 3.32 ) Obtendo: ( 3.33 ) Da mesma forma, temos o polinômio Adomian posterior dado por: N’ ( 3.34 ) Assim, obtemos imediatamente o termo da solução com base no algoritmo: ( 3.35 ) Trazendo como resultado: ( 3.36 ) O valor obtido de é então usado para encontrar o polinômio de Adomian :
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 uma convergência aceitável para até o quinto termo da solução , neste caso, . Isso se deve ao fato de que, a partir desse valor de ; os termos que se referem à derivada da função da parte não linear N tornam-se 0. ( 3.43 ) O termo da solução pode e deve ser redefinido previamente em: ( 3.44 ) Assim, o termo da solução é: ( 3.45 ) Conforme referenciado anteriormente nas equações 3.24 e 3.26 referem-se aos polinômios de Adomian, nos quais cada valor é calculado em função de cada item da fórmula de recorrência já apresentada acima, fornecendo resultados preliminares nos cálculos de cada termo dos respectivos polinômios de Adomian e seus composição de soma contínua para a solução final, conforme listado na seguinte equação: ( 3.46 ) Portanto, o valor final da solução da equação modelada e idealizada para a situação usando o Método Diferencial de Adomian é dado por: ( 3.47 )
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 Contudo, aqui podemos realizar a substituição do parâmetro referente ao oscilador harmônico para que sejam consideradas as nuances da mola não- linear. ( 3.48 ) No qual é o módulo de cisalhamento, especifício do material da mola, representa o diâmetro nominal da bobina, é o número de espiras ativas e por fim é o momento de inércia em torção da mola. Para uma mola cuja geometria de sua secção transversal é circular, o valor do momento de inércia pode ser dado pela seguinte expressão: ( 3.49 ) Na qual é o diâmetro do fio que compõe a mola. Portanto, o valor final da solução da equação modelada e idealizada para a situação usando o Método Diferencial de Adomian é dado por: ( 3.50 )
4. CONCLUSÃO Com o exposto antecipa-se que os resultados apresentados são preliminares e trata-se do primeiro resultado da pesquisa em questao. Isto posto merece considerar que é registrada a cobertura em profundidade do método Adomian, bem como a descrição da modelagem oscilatória amplamente utilizada em cenários simulados nas diversas áreas da Engenharia. Nesse sentido, os próximos passos da pesquisa são a expansão, com a geratriz, dos polinômios de Adomian na ordem máxima possível para a escrita das séries numéricas associadas e com convergência sempre em termos avançados, bem como a ratificação de que será,
One Planet, one Ocean and one Health - 2021 em: https://www.scielo.br/j/rbef/a/skh8NSH4M9rryS48nBbJ7VC/?lang=pt. Acesso em: 9 jun. 2021. (^8) DE BARROS, Ettore; DRIEMEIER, Larissa; ALVES, Marcílio. Vibração Livre: 1 Grau de Liberdade : Sistemas Dinâmicos II. São Paulo, 2015. 19 p. Trabalho de Disciplina (Engenharia Mecânica) - Universidade de São Paulo. (^9) ARAÚJO CORREIA, António. VIBRAÇÕES DE SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE : Dinâmica de Máquinas. Lisboa, f. 26, 2007. Trabalho de Disciplina (Engenharia Mecânica) - Instituto Superior Técnico. (^10) FRANÇA, Luís Novaes Ferreira. Introdução às vibrações mecânicas , f. 84. 2005. 168 p. (^11) CAMARGO, Micelli. Classificação de Vibrações Mecânicas : Vibrações Mecânicas. ENGENHARIA & CIA. Disponível em: https://www.engenhariaecia.eng.br/youtube-vibracoes-mecanicas/classificacao. Acesso em: 28 jul. 2021. (^12) NEY STROSKI, Pedro. O que são graus de liberdade? : Mecânica, Robótica. Electrical& Library. 2020. Disponível em: https://www.electricalelibrary.com/2020/03/18/o-que-sao-graus-de-liberdade/. Acesso em: 27 jul. 2021. (^13) NORTON, Robert L.. Projeto de Máquinas - 4ed. Bookman Editora, f. 528, 2012. 1055 p. (^14) ARANHA, Norberto et al. A lei de Hooke e as molas não-lineares, um estudo de caso. SciELO. 2016. Disponível em: https://www.scielo.br/j/rbef/a/RBGtKVzKLY99WR8VPS98zLw/?lang=pt#. Acesso em: 11 ago. 2021. (^15) FREEMAN, D.C. Jr., Nonlinear Springs with Applications to Flow Regulation Valves and Mechanisms , Doctorate of Philosophy in Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, 2008.
