Métodos Quantitativos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Ciências Biologicas

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Aula_07 Programação Linear Denilson C. Resende http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4761097J7&tipo=completo&idiomaExibicao= resendedc@gmail.com

 Na aula de hoje vamos estudar

◦ Problemas de programação linear, Resolução analítica

Início

Determine sua solução viável

Solução

Ótima?

Determine sua solução viável melhor

Fim

sim

Vamos considerar o problema abaixo proposto por

Chvátal (1980). Este problema está na forma padrão

por se tratar de um problema de maximização e

por ter apenas restrições do tipo menor ou igual.

Maximizar Z  5 x 1  5 x 2  3 x 3

restrições

e x x x

d x x x

e x x x

b x x

a x x x

Sujeito

a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 1

1 2 3

Vamos começar a criar uma estratégia de solução para este tipo de problema.

 Nosso primeiro passo será transformar o conjunto de restrições em um conjunto de equações equivalentes, através da introdução de variáveis que irão representar a folga entre os lados direito (RHS – right hand side) e o esquerdo (LHS – left hand side) das inequações (por se tratar de problemas na forma padrão).

 No conjunto de equações a seguir as variáveis x 4 , x5, x 6 x 7. representam a diferença entre LHS e RHS das equações. Desde que todas as variáveis sejam maiores ou iguais a zero, os sinais das inequações serão garantidos e tornarão o conjunto das equações equivalentes ao conjunto de restrições

Vamos reescrever as inequações da forma:

Agora vamos renomear as inequações como segue:

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

1 2 3

3 1

1 2 3

x x x x x x x

x x x

x x x

x x

x x x

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 7

1 2 3 6

3 1 5

1 2 3 4

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Com isso temos

Por questão de terminologia, definiremos como Variáveis Básicas as que encontram do lado esquerdo das expressões de um dicionário e Variáveis não Básicas as que encontram do lado esquerdo do dicionário.

Z 5 5 3

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

7 1 2 3

6 1 2 3

5 3

4 1 2 3

x x x x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Dicionário

A cada nova solução, as variáveis básica e não básicas se alternam. Em cada ciclo do processo de busca de uma solução ótima para o problema, uma variável entra e outra sai do conjunto de variáveis básicas.

Podemos agora encontrar facilmente a solução inicial para o nosso problema. Se considerarmos x 1 , x2, x 3 iguais a zero, podemos determinar os valores de todas as outras variáveis por mera substituição de valores, consequentemente o valor de Z, isto é

Naturalmente este não será o valor máximo de Z, exceto por muita coincidência, mas será com certeza uma solução da equação

x 4  3 , x 5  2 , x 6  4 , x 7  2 e Z  0

solução ( 0 ; 0 ; 0 ; 3 ; 2 ; 4 ; 2 ) Z  0

Qualquer uma das variáveis x 1 , x 2 , x 3 Pode ser

escolhida. Um critério poderia ser o de selecionar

aquela que para um mesmo incremento de valor gerasse um maior incremento de Z, isto é, aquela que representa o maior coeficiente positivo na linha de Z do dicionário.

No nosso caso, temos duas opções, pois em x 1 , x2, estão acompanhados pelo mesmo coeficiente o número 5.

Então vamos escolher x 1 , para ser incrementada a partir do seu valor original (zero)

Z  5 x 1 (^)  5 x 2  3 x 3

Escolhendo vamos para os passos seguintes: Em cada passo do processo, vamos alterar apenas uma variável do conjunto de variáveis básicas, isto é, apenas uma variável irá entrar no conjunto de variáveis básicas e, consequentemente, uma sairá, a fim de que o número total de variáveis permaneça o mesmo. Fazendo então x 2 = x 3 =

1 2 3 4 5 6 7

7 1 2 3

6 1 2 3

5 3 1

4 1 2 3

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Como

Analisando graficamente, temos que

Com isso pode-se verificar na figura anterior que a restrição que impõe maior limitação ao crescimento de x 1 , é imposta pela limitação x 7. O intervalo [0,1] contém o conjunto de soluções viáveis para x 1.

Como desejamos maximizar o valor de Z, deveríamos fazer com que x 1 assumisse o valor máximo, que para que sejam satisfeitas, encontramos x 1 =1.

x 2  0 , x 3  0

• 2 - 1 0 1 2 3 4 5

Sabemos da condição que nos leva a encontrar um valor máximo para a variável x 1 , encontra-se na restrição x 7 , logo vamos isolar a variável x 1 nesta restrição.

x x x x novo

x x x x

x x x x atual

2

1

2

1

2

3 1

2 2 3

2 2 3

1 2 3 7

1 7 2 3

7 1 2 3

   

    

   

7 1 2 3

6 1 2 3

5 3 1

4 1 2 3

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Calculando, temos

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

Maximizar Z  5  1  1 , 5 x 2  0 , 5 x 3  0 , 5 x 7   5 x 2  3 x 3

Com isso encontramos

2 3 7 2

5 2

11 2

5 Maximizar Z  5  x  x  x

, , , , , , 0

2

1

2

1

2

3 1

2 4 3

3 1 , 5 2 , 5 0 , 5

2 1 , 5 1 , 5 0 , 5



   

   

   

   

x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x