Método de Gauss-Seidel para a
solução numérica de equações
lineares
Ruyano Gabriel Almeida de Resende
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Método de Gauss-Seidel para solução numérica de equações lineares, Notas de estudo de Cálculo
O documento explica o método gauss-seidel, uma variante do método jacobi-richardson, utilizada na solução numérica de equações lineares. Ele apresenta o objetivo, o que é aproveitado, as modificações e critérios de convergência. O autor também inclui observações importantes.
O que você vai aprender
- Em que situações o método Gauss-Seidel é mais indicado para solucionar equações lineares numéricas?
- Qual é a finalidade do método Gauss-Seidel em relação ao método Jacobi-Richardson?
- Quais iterações definem o processo de Gauss-Seidel?
- Como se diferenciam as matrizes dos coeficientes em Gauss-Seidel e Jacobi-Richardson?
- Quais são os critérios de convergência do método Gauss-Seidel?
Tipologia: Notas de estudo
2022
1 / 19
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Método de Gauss-Seidel para a
solução numérica de equações
lineares
Ruyano Gabriel Almeida de Resende
O que é o método de Gauss-Seidel?
O método de Gauss-Seidel é uma modificação do método de
Jacobi-Richardson, criado com o objetivo de acelerar a
convergência, ou seja utilizar menos iterações para chegar
mais próximo à resposta.
Obs.: Apesar do objetivo ser uma conversão mais rápida em comparação ao método de Jacobi-Richardson existem exemplos onde isso não ocorre.
O que muda?
Dado o sistema: Por Jacobi-Richardson temos:
O que muda?
Em Gauss-Seidel utilizamos os valores já calculados para o cálculo dos seguintes.
Por Gauss-Seidel:
1 - Critério de Sassenfeld
Dado o cálculo de 𝞫i:
É satisfeito se o maior 𝞫 do sistema for menor que 1.
2 - Critério das linhas
Mesmo do aplicado em Jacobi-Richardson:
Observações:
- Pode acontecer de um sistema linear seja convergente quando aplicado Jacobi-Richardson enquanto que se aplicado em Gauss-Seidel será divergente e vice-versa.
- Se o critério de Sassenfield não for satisfeito a convergência pode ser bastante lenta.
- Uma permutação das linhas do sistema pode reduzir o valor encontrado quando aplicado o critério de Sassenfield.
- A convergência não depende do vetor inicial, porém é evidente que quanto melhor a aproximação do vetor inicial, menor será o número de iterações necessárias para atingir a precisão desejada.
Exemplo:
Resolver o sistema:
Pelo método de Gauss-Seidel com 𝜺<
Critério das linhas
Assim por esse método não é possível garantir a convergência
Aplicando o critério das linhas temos:
Critério de Sassenfeld
Aplicando o critério de Sassenfeld temos:
Como o maior 𝞫 é menor que 1 temos que o critério de Sassenfeld é satisfeito e podemos garantir que o sistema converge pelo processo de Gauss-Seidel
Aplicando vetor inicial
A partir de
Temos: