Introdução à Mecânica dos Fluidos: Análise Dimensional e Grupos Adimensionais, Notas de aula de Mecânica dos fluidos

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FENÔMENOS DE

TRANSPORTES

AULA 9 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

Grandezas Físicas

◦ De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. ◦ As grandezas físicas podem ser divididas em dois grupos: ◦ As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

Natureza da Análise Dimensional

◦ A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependência complexa de parâmetros geométricos e do escoamento. Por exemplo, considere a força de arrasto sobre uma esfera lisa estacionária imersa em uma corrente uniforme. Que experimentos devem ser conduzidos para determinar a força de arrasto sobre a esfera? Para responder esta questão, nós devemos especificar os parâmetros que acreditamos serem importantes na determinação da força de arrasto: ◦ tamanho da esfera (D); ◦ velocidade do fluido (V); ◦ viscosidade do fluido (μ); ◦ massa específica do fluido (ρ).

Natureza da Análise Dimensional

◦ Para verificar como o arrasto, F, é afetado pela velocidade, V, colocaríamos a esfera em um túnel de vento e mediríamos F para uma faixa de valores de V. Em seguida, faríamos mais testes para explorar o efeito de D sobre F, utilizando esferas com diâmetros diferentes. Já estaríamos gerando uma grande quantidade de dados: Se fizermos experimentos em um túnel de vento com 10 velocidades diferentes e 10 tamanhos de esferas diferentes, teríamos dados de 100 pontos experimentais.

Natureza da Análise Dimensional

◦ A forma da função f ainda deve ser determinada experimentalmente. Entretanto, em vez de realizar 10000 experimentos, poderíamos estabelecer a natureza da função com exatidão a partir de 10 experimentos apenas. ◦ Não teremos que pesquisar fluidos com 10 valores diferentes de massa específica e viscosidade, nem haverá necessidade de providenciar 10 esferas com diâmetros diferentes. Em vez disso, somente o parâmetro ρVD/μ deve ser variado. Isso pode ser realizado simplesmente pela variação na velocidade da esfera, por exemplo.

Natureza da Análise

Dimensional

◦ Note que o resultado final é uma curva que pode ser usada para obter a força de arrasto sobre uma grande faixa de combinações esfera/ fluido. Ela poderia, por exemplo, ser usada para obter o arrasto sobre um balão de ar quente devido a uma corrente de vento ou sobre uma célula vermelha de sangue à medida que ela se move através da aorta

O Teorema Pi de Buckingham

◦ O teorema Pi de Buckingham declara que podemos transformar uma relação entre n parâmetros da forma ◦ g(q 1 , q 2 , ..., qn) = 0 ◦ Em uma relação correspondente entre n – m parâmetros adimensionais П na forma ◦ G(П 1 , П 2 , ..., Пn–m) = 0 ou П 1 = G 1 (П 2 , ..., Пn–m) ◦ Em que m é normalmente o número mínimo, r, de dimensões independentes (por exemplo, massa, comprimento, tempo) requerido para definir as dimensões de todos os parâmetros q 1 , q 2 , ..., qn. ◦ O teorema não prediz a forma funcional de G ou de G 1. A relação funcional entre os parâmetros Π adimensionais independentes deve ser determinada experimentalmente.

O Teorema Pi de Buckingham

◦ Os seis passos listados a seguir delineiam um procedimento recomendado para determinar os parâmetros Π:

1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos.
2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias).
3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de Buckingham

◦Os seis passos listados a seguir

delineiam um procedimento

recomendado para determinar

os parâmetros Π:

5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais. Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de Buckingham

◦Os seis passos listados a seguir

delineiam um procedimento

recomendado para determinar

os parâmetros Π:

6. Certifique-se de que cada

grupo obtido é adimensional.

Para o exemplo de um escoamento externo a uma esfera:

O Teorema Pi de Buckingham

1. Liste todos os parâmetros dimensionais envolvidos.
2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias).
3. Liste as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias.
4. Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que inclua todas as dimensões primárias.

O Teorema Pi de Buckingham

5. Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros selecionados no Passo 4 com cada um dos outros parâmetros remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos dimensionais.

O Teorema Pi de Buckingham

6. Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional.

Grupos Adimensionais Importantes na

Mecânica dos Fluidos

◦ Ao longo dos anos, várias centenas de diferentes grupos adimensionais importantes para a engenharia foram identificadas. Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu o nome de um cientista ou engenheiro. ◦ As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem as de inércia, viscosidade, pressão, gravidade, tensão superficial e compressibilidade. ◦ Os principais grupos adimensionais da mecânica dos fluidos são: ◦ Número de Reynolds; ◦ Número de Euler; ◦ Número de Froude; ◦ Número de Weber; ◦ Número de Mach.