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13.- Movimiento armónico simple.
§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones (363); §13.2. Cinemática del movimiento armónico simple (364); §13.3. Representación de Fresnel del m.a.s (368); §13.4. Dinámica del movimiento armónico simple (370); §13.5. Energía en el m.a.s. (371); §13.6. Energías cinética y potencial medias (373); §13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio (375); §13.8. Sistema masa-muelle (380); §13.9. Péndulo simple (385); §13.10. Solución exacta del problema del péndulo (388); §13.11. Péndulo cicloidal (391); Problemas (392)
§13.1. Movimiento periódico. Oscilaciones.- Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repita a intervalos iguales de tiempo. El tiempo que debe transcurrir para que se produzca la repetición del movimiento recibe el nombre de periodo y lo designaremos por T. Como veremos en §15.2, el desplazamiento de una partícula que realiza un movimiento periódico general puede expresarse siempre mediante una combinación apropiada de funciones sinusoidales y cosinusoidales. Como tales funciones reciben el calificativo de armónicas , el movimiento periódico suele recibir, también, el nombre de movimiento armónico. En la Física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, encontramos abundantes ejemplos de movimientos periódicos. Así, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movimiento de la Tierra en el sistema solar, el movimiento de un péndulo o del balancín de un reloj, las vibraciones de los átomos en una molécula, ... son ejemplos de movimientos periódicos^1. Cuando una partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativa- mente en un sentido y en otro sobre una misma trayectoria (movimiento de vaivén), su movimiento recibe el nombre de oscilatorio o vibratorio ; esta última denomina- ción suele reservarse para cuando el periodo es muy pequeño. Así, hablaremos de las oscilaciones de una masa sujeta a un muelle o del péndulo de un reloj, pero preferiremos referirnos a las vibraciones de los átomos en la red cristalina de un sólido. En general, las oscilaciones o vibraciones predominantes en los objetos de gran tamaño suelen ser lentas (oscilaciones), en tanto que las de los objetos pequeños
(^1) La definición del movimiento periódico presupone una duración infinita del movimiento, sin
principio ni fin. En los procesos reales, los movimientos periódicos están definidos solamente durante un cierto intervalo finito de tiempo en el que se verifican las condiciones de periodicidad.
Manuel R. Ortega Girón 363
364 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
suelen ser rápidas (vibraciones). Cuando no estemos interesados en hacer la matización anterior, nos referiremos sencillamente a las oscilaciones. El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (m.a.s.) , debido a que, además de ser el más fácil de describir matemáticamente, constituye un modelo exacto o aproximado para muchos sistemas físicos, mecánicos y no mecánicos. En este capítulo, concentraremos preferentemente nuestra atención sobre esta clase de movimiento. Comenzaremos, en esta lección, con una breve descripción puramente cinemática del m.a.s., para analizar después algunas de sus propiedades dinámicas que nos permitirán considerar el m.a.s. como un problema físico real, y no sólo como un interesante problema matemático.
§13.2. Cinemática del movimiento armónico simple.- Decimos que una
Figura 13.
partícula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armónico simple, centrado en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento x con respecto al origen viene expresado en función del tiempo en la forma:
x A sen(ω t ψ) [13.1] donde A , ω y ψ son constantes. La distancia x que separa la partícula del origen O recibe el nombre de elongación. Puesto que la función seno puede tomar todos los valores comprendidos entre -1 y +1, los valores de la elongación estarán comprendidos entre - A y + A. La cantidad positiva A , que corresponde al valor absoluto de la elongación máxima, se denomina amplitud del movimiento armónico simple. La cantidad ω t + ψ recibe el nombre de fase del movimiento y, por ello, la constante ψ es la constante de fase o fase inicial ; i.e. , el valor de la fase correspondiente al instante inicial ( t =0). Puesto que la función seno repite sus valores cuando el ángulo aumenta en 2π, la partícula repetirá su elongación (y también su velocidad, como veremos) cuando la fase del movimiento aumenta en 2π desde su valor en un instante t. Durante el intervalo tiempo en que la fase aumenta en 2π la partícula completa una oscilación o ciclo de su movimiento. Podemos determinar el periodo T del movimiento teniendo en cuenta que la fase en el instante t + T debe superar en 2π a la fase en el instante t ; esto es,
[ ω ( t T ) ψ ] [ ω t ψ ] ω T 2 π [13.2]
de modo que T^2 π [13.3] ω
La frecuencia ν del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos que se completan en la unidad de tiempo. Su valor es, obviamente, el recíproco del periodo:
ν 1 [13.4] T
366 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
donde A y ω son las mismas constantes definidas anteriormente. La constante de fase φ deberá calcularse ahora de modo que las expresiones [13.1] y [13.9] sean idénticas. Recordemos que para un ángulo θ cualquiera es válida la relación
cos θ sen ( θ π [13.10] 2
)
de modo que la identidad
A sen (ω t ψ) A cos (ω t φ ) [13.11]
exige que sen (ω t ψ) sen (ω t φ π [13.12] 2
)
Los senos de dos ángulos son iguales si estos son iguales o difieren en un múltiplo entero de 2π. Tomando la posibilidad más sencilla, tenemos
ψ φ π [13.13] 2
⇒ φ ψ π 2
La equivalencia entre las expresiones [13.1] y [13.9] nos permiten describir un m.a.s. bien en función del seno o del coseno. Nosotros hemos adoptado la primera posibilidad, aunque en alguna ocasión también haremos uso de la segunda. En las gráficas de la Figura 13.2a hemos representado la función A sen(ω t +ψ) para dos valores distintos de la constante de fase ψ. Obsérvese que una constante de fase positiva indica un adelanto de la forma sinusoidal y que una constante de fase negativa representa un retraso.
La velocidad de la partícula que realiza un m.a.s. es
v d x [13.14] d t
ω A cos (ω t ψ) ω A sen (ω t ψ π 2
de modo que la velocidad varía también según una ley sinusoidal, pero está adelantada π/2 respecto a la elongación. En la Figura 13.2b hemos representado gráficamente la función v ( t ). Obsérvese que la velocidad de la partícula se anula cuando su elongación es máxima y que tiene su valor máximo ( v máx = ω A ) cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio ( x =0). Para un valor cualquiera de la constante de fase ψ, la velocidad de la partícula en el instante inicial ( t =0) es
v 0 ω A cos ψ [13.15]
Las relaciones [13.8] y [13.15] nos permiten expresar A y ψ en función de las condiciones iniciales del movimiento; es decir, en función de la elongación ( x 0 ) y de la velocidad ( v 0 ) de la partícula en el instante inicial ( t =0). Tenemos
A x^2 [13.16] 0
v 02 ω 2
ψ arctg
ω x 0 v 0
donde ω es un parámetro cuyo valor es independiente de las condiciones iniciales, que se determinará, como veremos más adelante, por otro procedimiento.
§13.2.- Cinemática del movimiento armónico simple. 367
Podemos calcular ahora la aceleración de la partícula; tenemos
Figura 13.
a d v [13.17] d t
ω 2 A sen (ω t ψ)
de modo que la aceleración también varía en el transcurso del tiempo según una ley sinusoidal, pero presenta una diferencia de fase de π rad respecto a la elongación; i.e. , la elongación y la aceleración de la partícula están en oposición de fase (contrafase). En la Figura 13.2c se representa gráficamente la función a ( t ). La aceleración de la partícula se anula cuando ésta pasa por el origen ( x =0) y es máxima ( a máx =ω^2 A ) cuando también es máxima a la elongación.
La expresión [13.17] de la aceleración puede escribirse también en la forma
a ω 2 x [13.18]
de modo que
en un movimiento armónico simple, la aceleración es proporcional en todo instante a la elongación y de sentido contrario a ésta.
§13.3.- Representación de Fresnel del m.a.s. 369
oscilaciones del punto P coincide con el número de vueltas que completa el punto
Figura 13.
Q en la unidad de tiempo; esto es, ν=ω/2π=1/ T. Por último, la frecuencia angular de las oscilaciones de P coincide con la velocidad angular del punto Q de referencia.
Hagamos que en el instante inicial ( t =0) el fasor OQ forme un ángulo ψ con el diámetro horizontal de la circunferencia de referencia. Al cabo de un tiempo t dicho ángulo valdrá ω t +ψ y la elongación del punto P será, en ese instante
x A sen (ω t ψ) [13.20]
de modo que el movimiento
Figura 13.
del punto P es un movimiento armónico simple. En esta representación, la fase ω t +ψ es el ángulo que forma el fasor OQ con el diámetro de refe- rencia (horizontal) en un ins- tante dado. El alumno demostrará fácilmente que la velocidad y la aceleración del punto P pueden obtenerse también como las proyecciones respectivas de la velocidad y de la aceleración del punto Q de referencia sobre el diámetro vertical de la circunferencia matriz, como se indica en la Figura 13..
En definitiva, la elongación de una partícula
Figura 13.
que realiza un m.a.s. puede considerarse como la componente sobre el eje x (vertical) de un vector rotante o fasor x , cuyo módulo es igual a la amplitud A del m.a.s. y que gira en el sentido antihorario con una velocidad angular constante ω que se corresponde con la frecuen- cia angular del m.a.s, de modo que forma en cada instante un ángulo ω t +ψ con el eje hori- zontal de referencia, representando dicho ángulo
370 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
la fase del m.a.s.. La velocidad y la aceleración de la partícula pueden representarse también por sendos vectores rotantes o fasores, v y a , cuyos módulos son ω A y ω^2 A , respectivamente, de modo que sus componentes sobre el eje x (vertical) dan la veloci- dad y la aceleración de la partícula que ejecuta el m.a.s.. En la Figura 13.5 se ilustran los fasores x , v y a en un instante dado; en ella puede apreciarse que v y a presentan un adelanto de fase de π/2 y π rad, respectivamente, en relación al fasor x.
§13.4. Dinámica del movimiento armónico simple.- La expr. [13.18] de la aceleración de una partícula que ejecuta un movimiento armónico simple nos permitió calcular la fuerza que debe actuar sobre dicha partícula, de masa m , para que tenga lugar ese movimiento. Ya hemos visto que dicha fuerza debe ser directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella; esto es,
F m a m ω 2 x k x [13.21]
donde hemos definido una nueva constante, k , esencialmente positiva, llamada constante de fuerza , mediante la expresión
[13.22] k m ω 2 o bien ω k m
En consecuencia, la fuerza F está dirigida en todo instante hacia el origen, que corresponde al punto O (de abscisa x =0), siendo nula cuando la partícula pasa por dicho punto; el punto O es la posición de equilibrio. La fuerza F es una fuerza atractiva , siendo O el centro de atracción.
La fuerza expresada por [13.21] es el tipo de fuerza que aparece cuando se deforma un cuerpo elástico, tal como un muelle, y la ley de fuerza que la expresa recibe el nombre de ley de Hooke , en honor de Robert H OOKE (1635-1703) que enunció las leyes de las deformaciones elásticas de los cuerpos. Por esa razón la constante k suele recibir el nombre de constante elástica. Dicha constante representa la fuerza que debemos aplicar para mantener desplazada la partícula una unidad de distancia a partir de su posición de equilibrio; sus unidades son newton por metro (N/m) en el sistema internacional (S.I.).
Debemos señalar que en la ec. [13.22] la constante ω (frecuencia angular del m.a.s.) queda determinada en función de los valores que posean la masa ( m ) de la partícula y la constante de fuerza ( k ) del sistema oscilante (un muelle, por ejemplo). Esas son las dos características esenciales que intervienen en el establecimiento de un movimiento oscilatorio:
1. Una componente inercial , con la que estará asociada la energía cinética del sistema oscilante. 2. Una componente elástica , capaz de almacenar energía potencial (elástica). Recuérdese que las otras dos constantes que aparecen en la ec. [13.1] que describe el m.a.s., esto es la amplitud ( A ) y la constante de fase (ψ), deben determinarse a partir de las condiciones iniciales del sistema ( x 0 , v 0 ) y que, por tanto, no dependen de las características intrínsecas o esenciales del mismo.
372 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
1 [13.29]
m v^2 2
k x^2 cte. E
El primer término de esta expresión es la energía cinética de la partícula; el segundo término corresponde a la energía potencial. En consecuencia, la constante del segundo miembro es la energía total E ; esto es,
E E k E p [13.30]
Por lo tanto, la energía total de la partícula es una constante del movimiento, como cabía esperar para un sistema conservativo.
El significado de la relación anterior se pone de manifiesto mediante la gráfica de la Figura 13.6 , en la que se ha representado la energía (potencial) en ordenadas y la elongación en abscisas. Comenzamos por dibujar la curva de la energía potencial E p= kx^2 /2, que es una parábola de eje vertical y con su vértice en el origen. A continuación trazamos una recta horizontal, que corresponde al valor constante de la energía total E. Entonces se comprueba que el movimiento de la partícula queda restringido al intervalo - A ≤ x ≤ A , ya que los puntos x =- A y x =+ A son puntos de retroceso. Fuera del intervalo anteriormente citado la energía potencial superaría a la energía total, de modo que la energía cinética sería negativa, cosa imposible pues implicaría una velocidad imaginaria. Así pues, el movimiento tiene lugar en un pozo de potencial , cuyo fondo corresponde a la posición de equilibrio estable.
Si trazamos una recta vertical para cualquier x , tal que (- A ≤ x ≤ A ), la longitud del
Figura 13.
segmento de dicha recta comprendido entre el eje de abscisas y la parábola representa la energía potencial correspondiente a ese valor de la elongación; y la longitud del segmento comprendido entre la parábola y la recta horizontal E =cte corresponde a la energía cinética. Conforme la partícula se mueve entre los límites - A y + A , hay una conversión continua de energía cinética a potencial y viceversa. Cuando la partícula se aleja de la posición de equilibrio ( x =0) aumenta la energía potencial a expensas de la energía cinética; ocurre lo contrario cuando la partícula se aproxima a la posición de equilibrio. En los puntos de retroceso toda la energía es potencial; en la posición de equilibrio toda la energía es cinética. La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio toma su valor máximo; esto es,
E^1 [13.31]
mv máx^2 ⇒ v máx^2 E m
En los extremos de la trayectoria, la elongación presenta su valor máximo x máx = A y es
§13.5.- Energía en el m.a.s.. 373
[13.32] E^1 2
kA^2 ⇒ A^2 E k
La velocidad de la partícula cuando pasa por un punto de elongación genérica x se puede obtener a partir de [13.29]. Se tiene
[13.33] v^2 E^ kx
2 m
kA^2 kx^2 m
k m
A^2 x^2 ω A^2 x^2
con ω^2 = k / m , como anteriormente. Ahora podemos obtener la elongación en función del tiempo, x ( t ), sustituyendo v por d x /d t en la ecuación anterior e integrando
⌡⌠ [13.34]
x
x 0
d x
A^2 x^2
ω ⌡⌠
t
0
d t
que nos conduce a arcsen x [13.35] A
arcsen
x 0 A
ω t
de modo que, haciendo
ψ arcsen x^0 [13.36] A
⇒ sen ψ
x 0 A
se tiene finalmente (^) x A sen (ω t ψ) [13.37]
que es, como ya sabemos, la ecuación cinemática que describe un movimiento armónico simple.
§13.6. Energías cinética y potencial medias.- Las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son funciones del tiempo y vienen dadas por
[13.38]
E k^1 2
mx˙^2 2
m ω^2 A^2 cos 2 (ω t ψ)
E p^1 2
kx^2 2
kA^2 sen 2 (ω t ψ)
donde hemos empleado las expresiones [13.1] y [13.14] que nos dan la elongación y la velocidad de la partícula en función del tiempo. En la Figura 13.9 hemos representado gráficamente las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple en función del tiempo (con ψ=0). Obsérvese que ambas funciones son periódicas, de periodo T /2, y que su suma, esto es, la energía total E , permanece constante en el transcurso del tiempo, siendo su valor
E E k E p^1 [13.39] 2
m ω 2 A^2 2
kA^2
§13.6.- Energías cinética y potencial medias. 375
〈sen m ω t sen n ω t 〉 0 〈sen m ω t cos n ω t 〉 0 〈cos m ω t cos n ω t 〉 0
〈sen 2 n ω t 〉 1 2
〈cos 2 n ω t 〉 1 2
de modo que:
la energía total de un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones. Calcularemos ahora los valores medios temporales de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple:
[13.40]
〈 E k〉 1 2
m ω^2 A^2 〈cos 2 (ω t ψ)〉 1 4
m ω 2 A^2
〈 E p〉 1 2
kA^2 〈sen 2 (ω t ψ)〉 1 4
kA^2
Vemos claramente^7 que los valores medios
Figura 13.
de las energías cinética y potencial del oscilador armónico simple son iguales:
〈 E k〉 〈 E p〉 1 [13.41] 2
E
Obsérvese que < E >= E , ya que la energía total es una constante del movimiento^8. La igualdad entre los valores medios de las energías cinéticas y potencial es una propiedad especial del oscilador armónico simple, propiedad que no se mantiene, en general, para los osciladores anarmónicos.
§13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.- Hemos visto que el movimiento armónico simple es generado por una fuerza del tipo F =- kx , asociada a una energía potencial E p= kx^2 /2, midiéndose x a partir de la posición de equilibrio, que hemos supuesto en x =0. Supongamos ahora que la posición de equilibrio se encuentra en un punto de abscisas x 0 , en lugar de en el origen; será:
E p^1 [13.42] 2
k ( x x 0 )^2
(^7) Recordemos que k = m ω (^2) (expr. [13.22]).
(^8) El lector llegará fácilmente al mismo resultado [13.41] por aplicación directa del teorema del
virial para una partícula en un campo conservativo, como se explicó en §10.9.
376 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
La representación gráfica de esta energía potencial, en función de x , es una
Figura 13.
parábola de eje vertical con su vértice en el punto x 0. Si la energía total del oscilador es E >0, como se indica en la Figura 13.10 , la recta E =cte interseca a la curva de energía potencial E p( x ) en dos puntos, P 1 y P 2 , cuyas abscisas x 1 y x 2 , colocadas simé- tricamente respecto a x 0 , constituyen los límites de oscilación (puntos de retroceso). La fuerza que actúa sobre la partícula es
F d E p [13.43] d x
k ( x x 0 )
siendo nula en el punto x 0 , que corres- ponde a la posición de equilibrio esta- ble, ya que en el presenta su valor mínimo la energía potencial. Calcule- mos la segunda deriva de E p ( x ) con respecto a x :
d (^) [13.44]
2 E
p d x^2
k >
lo que nos permite escribir para la frecuencia angular de las oscilaciones armónicas simples
ω k [13.45] m
m
d 2 E p d x^2 Consideremos ahora un movimiento unidimensional de una partícula, de masa
Figura 13.
m , bajo la acción de una fuerza conservativa arbitraria. Limitándonos, de momento, a movimientos a lo largo del eje x , dicha fuerza será función de la abscisa x de la partícula, esto es, F = F ( x ), y estará dirigida a lo largo de dicho eje. En estas condiciones, la energía potencial de la partícula será una función de la coordenada x ( i.e. , E p( x )) y podrá representarse gráficamente como en la Figura 13.11, por ejemplo. Supongamos que sea E la energía total de la partícula, como se muestra en la Figura 13.11. Ya sabemos (§10.3) que, entonces, el movimiento de la partícula estará limitado a la región x 1 ≤ x ≤ x 2 ; i.e. , la partícula se mueve (movimiento periódico) en un pozo de potencial cuyo fondo se encuentra en la posición de equilibrio estable. Puesto que el sistema es conservati- vo, podemos escribir
(^1) [13.46] 2
mx˙^2 E p ( x ) E
378 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
Recordemos que dada una función arbitraria f( x ), el teorema de Taylor nos permite desarrollarla como una serie de potencias:
f( x ) f( x [13.51] 0 )^
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
df d x (^) 0
( x x 0 ) 1 2!
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
d^2 f d x^20
( x x 0 ) 2 1 3!
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
d^3 f d x^30
( x x 0 ) 3 ...
donde el subíndice " 0 " (cero) significa que las derivadas se avalúan en el punto x 0. Aplicando el teorema de Taylor a la función energía potencial E p ( x ), y teniendo en cuenta que (d E p /d x ) 0 =0, por corresponder el punto x = x 0 a un mínimo de la energía potencial, tenemos
E p ( x ) E p ( x 0 ) 1 2
d 2 E p d x^20
( x x 0 )^2 6
d 3 E p d x^30
( x x 0 )^3 ...
E p ( x 0 ) 1 [13.52] 2
k ( x x 0 )^2 6
k 3 ( x x 0 )^3 ...
donde hemos puesto, para abreviar,
k [13.53]
d 2 E p d x^20
k 3
d 3 E p d x^30
El primer término, E p ( x 0 ), en el desarrollo en serie de potencias de la energía potencial E p( x ), es constante y representa simplemente una elección arbitraria en el cero de energía potencial; podemos prescindir de este término sin que ello afecte a los resultados físicos. El segundo término es justamente el término cuadrático que corresponde a un oscilador armónico simple, con k definido como en [13.53]. Los términos restantes son los responsables de la anarmonicidad, y reciben el nombre de términos anarmónicos.
Si la energía total E de la partícula es tan sólo ligeramente superior a E p( x 0 ), la amplitud de las oscilaciones será pequeña. Así, si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos respecto a la posición de equilibrio estable x = x 0 , podremos despreciar los términos de [13.52] , que contienen ( x - x 0 )^3 , ( x - x 0 )^4 , ... y potencias superiores de ( x - x 0 ). Retendremos, entonces, solamente los dos primeros términos de [13.52] , en el supuesto de que sea k ≠0, y escribiremos
E p ( x ) ≈ E p ( x 0 ) 1 [13.54] 2
k ( x x 0 )^2
En consecuencia, para pequeñas oscilaciones en torno a cualquier mínimo de energía potencial Figura 13.12 , salvo para el caso excepcional k =0, el movimiento es el de un oscilador armónico simple, cuya frecuencia angular es
[13.55] ω k m
m
d 2 E p d x^20
§13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio. 379
La aproximación anterior es acep-
Figura 13.
table en muchas situaciones reales, y en ella radica la gran importancia del oscilador armónico simple. La mayoría de los problemas en los que intervienen sistemas oscilantes se reducen al del oscilador armónico simple cuando son suficientemente pequeñas las amplitu- des de oscilación. Para amplitudes mayores, la aproximación no es acepta- ble, y el valor de la frecuencia angular calculado mediante [13.55] discrepará notablemente, en general, del valor real; en este caso, la aproximación armónica simple al problema no es adecuada, y deberá tomarse en cuenta el efecto de los términos anarmónicos. Consideremos ahora la fuerza correspondiente a la energía potencial E p( x ) dada por [13.52] ; tenemos
F ( x ) d E p [13.56] d x
k ( x x 0 ) 1 2
k 2 ( x x 0 )^2 ...
Si nos limitamos a considerar pequeños desplazamientos de la partícula respecto a la posición de equilibrio x = x 0 , podemos escribir la relación aproximada
F k ( x x 0 ) [13.57]
conocida como ley de Hooke , que no es sino un caso especial de una relación más general [13.56]^ en el fenómeno de la deformación de los cuerpos elásticos. La ley de Hooke implica una relación lineal entre la deformación y la fuerza recuperadora (o
Figura 13.
deformadora). Los muelles y otros sistemas elásticos, así como los sólidos en general, obedecen esta "ley" con tal que las deformaciones no sean demasiado grandes. Si se deforma un sólido más allá de un cierto grado, llamado límite elástico , no recuperará su forma y tamaño originales cuando deje de actuar la fuerza aplicada. Cuando se sobrepasa el límite elástico y comienza el flujo plástico , la fuerza depende de un modo complicado de factores muy diversos, incluyendo la velocidad de deformación y la historia previa del sistema deformable ( histéresis ), y no puede especificarse mediante una energía potencial. Estudiaremos con más profundidad estas cuestiones en una lección posterior. Resumiendo, podemos afirmar que siempre que una partícula, o un sistema defor- mable, en general, se separa de su posición o configuración de equilibrio estable, se originarán oscilaciones armónicas simples si los desplazamientos son suficientemente pequeños, pues entonces puede considerarse lineal la relación existente entre la elongación y la fuerza recuperadora. En la Figura 13.
§13.8.- Sistema masa-muelle. 381
Ejemplo I.- Muelle suspendido verticalmente.- Analizar las oscilaciones de un sistema masa-muelle suspendido verticalmente de un punto fijo. Consideremos un muelle de masa despreciable suspendido verticalmente de un punto fijo. Sea L su longitud natural y tomemos como origen del eje de abscisas (vertical y hacia abajo) el punto O. Cuando colgamos un cuerpo de masa m del extremo libre del muelle, éste se alarga una cierta distancia x 0. Cuando se restablece el equilibrio tenemos
Figura 13.
mg kx 0 0 [13.62]
de modo que
x 0^ mg [13.63] k
que corresponde a la posición de equilibrio del sistema masa-muelle. Supongamos que desplazamos el cuerpo verticalmente de su posi- ción de equilibrio y que, después, lo abandonamos; el sistema comienza a oscilar. La ec. del movimiento del cuerpo es
mg kx m¨x ⇒ m¨x kx mg [13.64]
que difiere de la ec. [13.25] en que contiene el término de fuerza constante mg ; pero, teniendo en cuenta [13.62], o sea que mg = kx 0 , se escribirá como
m¨x kx kx 0 ⇒ m¨x k ( x x 0 ) 0 [13.65]
que ya no contiene dicho término constante. Para proceder a la integración de esta ec. dif. conviene hacer el siguiente cambio de variable:
x ′ x x 0 ˙x ′ x˙ ¨x ′ x¨ [13.66]
lo que equivale a trasladar el origen de abscisas a la posición x 0 de equilibrio del sistema masa-muelle. Entonces, la ec. dif. [13.65] se convierte en
m¨x ′ kx ′ 0 [13.67]
cuya solución general es (^) x ′ A sen (ω t ψ) [13.68]
o sea x mg [13.69] k
A sen (ω t ψ)
con ω^2 = k / m. Así pues, el cuerpo oscila con m.a.s. alrededor de la posición de equilibrio correspondiente al sistema masa-muelle. Obsérvese que la frecuencia de las oscilaciones es la misma que corresponde al caso del sistema masa-muelle horizontal; el único cambio ha sido un desplazamiento de centro del m.a.s.. En vista de estos resultados, en el análisis del problema puede ignorarse el campo gravitatorio uniforme, al menos cuando tan sólo estemos interesados en la frecuencia de las oscilaciones.
382 Lec. 13.- Movimiento armónico simple.
Ejemplo II.- Sistema con dos muelles.- En el sistema que se representa en la Figura 13.16, los
Figura 13.
muelles tienen constantes elásticas y longitudes naturales ( k 1 , l 1 ) y ( k 2 , l 2 ) y están conectados, cada uno por un lado, a un bloque de masa m , de tal modo que ambos están tensados ( i.e. , L 1 + L 2 > l 1 + l 2 ). Determinar la constante elástica equivalente del sistema y la frecuencia angular de sus oscilaciones. Método de Newton: Comenzaremos estableciendo la condición de equilibrio (figura superior); i.e. , la igualdad de las tensiones en los dos muelles:
k 1 ( L 1 l 1 ) k 2 ( L 2 l 2 ) 0 [13.70]
Imaginamos el sistema en oscilación y escribimos la ec. del movimiento para el bloque cuando presenta una elongación x (figura inferior):
k 1 ( L 1 x l 1 ) k 2 ( L 2 x l 2 ) m¨x [13.71]
que una vez ordenada y teniendo en cuenta la condición [13.70] queda en la forma
m ¨x ( k 1 k 2 ) x 0 [13.72]
de modo que k eq k 1 k 2 ω [13.73]
k eq m
k 1 k 2 m
Método de la energía: Método de la energía potencial.- Si solamente estamos interesados en determinar el valor de la constante elástica del sistema, expresamos la energía potencial del sistema en función de la elongación x ; i.e. ,
E p^1 [13.74] 2
k 1 ( L 1 x l 1 ) 2 1 2
k 2 ( L 2 x l 2 ) 2
En la posición de equilibrio ( x =0), la energía potencial presentará un mínimo; i.e. ,
[13.75]
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
d E p d x (^) x 0
k 1 ( L 1 x l 1 ) k 2 ( L 2 x l 2 ) (^) x 0 k 1 ( L 1 l 1 ) k 2 ( L 2 l 2 ) 0
que es la misma relación [13.70]. La expr. [13.44] nos permite calcular la constante elástica del sistema a partir de la expr. [13.75] ; i.e. ,
d [13.76] (^2) E p d x^2
k 1 k 2 k eq
Método de la energía total.- Para determinar la ec. dif. del movimiento, expresaremos la energía total del sistema en un instante genérico, cuando es x la elongación; i.e. ,
E^1 [13.77] 2
mx˙^2 2
k 1 ( L 1 x l 1 ) 2 1 2
k 2 ( L 2 x l 2 ) 2 cte.
que permanece constante (sistema conservativo). Derivando esta expresión respecto al tiempo,
