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28.- Elastostática.
§28.1. Estática de vigas. Fuerza cortante y momento flexor (851); §28.2. Deformaciones en las vigas reales (857); §28.3. Estudio de la flexión (858); §28.4. Ecuación diferencial de la línea elástica (861); §28.5. Integración de la ec. dif. de la línea elástica (865); §28.6. Pandeo (868); Problemas (871)
§28.1. Estática de vigas. Fuerza cortante y momento flexor.- Las vigas son cuerpos sólidos, de forma alargada y sección recta constante, de gran interés en ingeniería y arquitectura. En la Figura 28.1 mostramos unos ejemplos de secciones rectas de las vigas más usuales: "rectangular", en "I" y en "V". En general, las vigas se utilizan en posición horizontal, y están soportadas por dos fuerzas externas aplicadas en dos puntos próximos a sus extremos ( viga con doble apoyo , Figura 28.2a ), o por un momento y una fuerza aplicados a uno de sus extremos ( viga empotrada , Figura 28.2a ).
La misión de las vigas es soportar las cargas que tienden
Figura 28.
a encorvarlas; las vigas deben estar diseñadas de modo que puedan resistir el encorvamiento. Evidentemente, el problema del diseño de vigas exige recurrir a la teoría de la elasticidad, ya que un sólido perfectamente rígido no presentaría proble- ma. Ya conocemos cuáles son las condiciones de equilibrio para un sólido rígido, cualquiera que sea su forma, incluida la de las vigas ( vide §20.4 ...). En tanto se satisfagan dichas condiciones, el cuerpo estará en equilibrio. En una viga perfectamente rígida podemos aplicar cualquier sistema de fuerzas equivalente a cero sin que se produzca cambio alguno. En una viga real, i.e. , deformable, la aplicación de un tal sistema de fuerzas altera la forma de la viga, y puede incluso ocasionar su ruptura. A pesar de lo dicho, podemos tratar ciertos aspectos relacionados con el problema del equilibrio de las vigas reales sin necesidad de acudir a la teoría de la elasticidad, bastándonos con hacer uso de las leyes de la estática y sustituyendo la viga real por otra perfectamente rígida. Naturalmente, esta forma de actuar no nos
Manuel R. Ortega Girón 851
852 Lec. 28.- Elastostática.
conducirá a resultados rigurosamente exactos; pero sí lo suficientemente correctos
Figura 28.
cuando las deformaciones que aparecen en la viga son muy pequeñas. Esta será la forma en que procederemos para calcular las reacciones en los apoyos de la viga.
Para simplificar el análisis del problema del equilibrio de la viga, tan sólo consideraremos el caso en que la viga, colocada en posición horizontal, no está sometida a tensiones o compresiones longitudinales externas y que todas las fuerzas o cargas aplicadas están contenidas en un plano vertical y actúan perpendicularmente al eje de la viga, de modo que ésta únicamente puede encorvarse en un plano vertical y sin torsión alrededor de su eje longitudinal. No haremos restricción alguna en cuanto a la forma de la sección recta de la viga, excepto que ésta debe poseer un plano de simetría vertical. Esta suposición simplifica el análisis del problema sin limitar significativamente la aplicabilidad de los resultados que obtendremos, ya que, en la práctica, la mayor parte de las vigas poseen un plano de simetría vertical.
Es necesario adoptar un sistema
Figura 28.
coordenado de referencia. El eje x lo elegimos coincidiendo con el eje de la viga , entendiendo por tal la línea que une los centroides de todas las secciones rectas de la viga. El origen de coordenadas lo tomaremos en el extremo izquierdo de la viga. El eje y lo tomaremos vertical en el plano de simetría de la viga, con el sentido positivo hacia arriba. Obviamente, el eje z será perpendicular a los otros dos, i.e. , horizontal, de modo que ten- gamos un triedro directo xyz , como se ilustra en la Figura 28.. Establecido el sistema de ejes de referencia, también queda establecido el conve- nio de signos para las fuerzas externas que actúan sobre la viga: positivas las dirigidas hacia arriba y negativas las dirigidas hacia abajo.
Por otra parte, distinguiremos entre cargas concentradas , tales como las representadas por las fuerzas R 1 , R 2 y Fi ( i =3,4, ...) en la Figura 28.4 , y cargas distribui- das w ( x ), tal como el propio peso de la viga. Obsérvese que las reacciones en los apoyos R 1 y R 2 son consideradas como cargas concentradas; a efectos de simplificar la notación, entenderemos siempre que R 1 ≡ F 1 y R 2 ≡ F 2. De acuerdo con esta notación,
854 Lec. 28.- Elastostática.
donde ξ es la coordenada de un punto que se desplaza a lo largo del eje x en el intervalo (0, x ), y el sumatorio se extiende a todas las cargas concentradas que actúan a la izquierda de la sección AA′. La expresión anterior puede escribirse en la forma
F˘ ( x ) [28.3] ξ (^) i < x
F (^) i (^) ⌡⌠
x
0
w (ξ)dξ
que nos permite obtener la distribución de fuerza cortante a lo largo de la viga, conocidas las demás fuerzas aplicadas (incluidas las reacciones en los apoyos). Naturalmente, en un extremo libre de la viga la fuerza cortante deberá anularse. Análogamente, definimos el momento flexor M˘ ( x ) como el ejercido a través de la sección AA′ (Figura 28.5 ) por el material situado a la izquierda de dicha sección sobre el situado a la derecha. De acuerdo con la tercera ley de Newton, el momento flexor ejercido a través de AA′ por el material situado a la derecha sobre el situado a la izquierda será - M˘ ( x ). Como hemos supuesto que todas las fuerzas son verticales, el momento flexor estará dirigido horizontalmente y será perpendicular a la viga; será positivo en el sentido antihorario (visto desde el extremo positivo del eje z ).
El momento flexor M˘ ( x ) es función de la posición a lo largo del eje de la viga, y puede determinarse aplicando la segunda condición de equilibrio, i.e. , la expresión [28.2] , a la parte de la viga situada a la izquierda de la sección AA′. Entonces tenemos
M˘ 0 [28.4]
ξ (^) i < x
ξ i F (^) i (^) ⌡⌠
x
0
ξ w (ξ) dξ x F˘ ( x ) M˘ ( x ) 0
donde las sumas se extienden a todas las fuerzas que actúan a la izquierda de la sección AA′, y M˘ 0 es el momento flexor, si existe, ejercido por el soporte sobre el extremo izquierdo de la viga; naturalmente, el momento flexor M˘ 0 sólo existe si el extremo izquierdo está empotrado. La expresión anterior nos permite determinar la distribución del momento flexor a lo largo de la viga
M˘ ( x ) M˘ 0 [28.5] ξ i < x
ξ i F (^) i (^) ⌡⌠
x
0
ξ w (ξ)dξ x F˘ ( x )
Resulta muy práctico representar gráficamente las funciones F˘ ( x ) y M˘ ( x ); así se obtienen los diagramas de fuerza cortante y de momento flexor. Las pendientes de esas gráficas en cualquiera de sus puntos pueden obtenerse derivando las expresiones [28.3] y [28.5] :
[28.6]
d F˘ ( x ) d x
w ( x )
d M˘ ( x ) d x
x w ( x ) x d^
F˘
d x
F^ ˘ ( x ) F˘ ( x )
y derivando de nuevo la expresión [28.6b] podemos disponer finalmente de la pareja de ecuaciones
§28.1.- Estática de vigas. Fuerza cortante y momento flexor. 855
d F˘ ( x ) [28.7] d x
w ( x ) d^
(^2) M˘ ( x ) d 2 x
w ( x )
que nos permiten determinar F˘ ( x ) y M˘ ( x ) mediante dos integraciones indefinidas sucesivas sobre x , conocida la carga distribuida w ( x ). Las dos constantes de integración se valorarán teniendo en cuenta que:
a) en un extremo libre de la viga, deberán anularse F˘ y M˘ ;
b) en un extremo empotrado de la viga, F˘ y M˘ deberán tener los valores necesarios para sostener la viga completa;
c) en los puntos x (^) i en los que actúan cargas concentradas Fi positivas (negativas), la función F˘ ( x ) presentará una discontinuidad ascendente (descendente) de valor F (^) i ;
d) en los puntos xi , en los que actúan cargas concentradas, la función M˘ ( x ) presentará una discontinuidad en su primera derivada ( i.e. , en su pendiente).
Ejemplo I.- Obtener las distribuciones de fuerza cortante y momento flexor a lo largo de una viga uniforme de longitud L y peso W , apoyada en sus extremos y que soporta una carga vertical F concentrada en su centro. Comenzaremos determinando las reacciones en los apoyos. Las dos condiciones de equilibrio
Figura 28.
para la viga completa se escriben en la forma:
[28.8]
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
R 1 R 2 W F
W L 2
F L 2
R 2 L
de modo que resulta
R 1 R 2 R W^ F [28.9] 2 Como la viga se supone uniforme y la única carga distribuida que soporta es su propio peso, tenemos que
w ( x ) W [28.10] L
cte
En la mitad izquierda de la viga, la integración de las ecuaciones [28.6] nos proporciona los resultados siguientes:
[28.11]
0< x < L 2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ F^ ˘ ( x ) R ⌡
⌠ x 0
w ( x )d x W^ F 2
W L ⌡
⌠ x 0
d x W^ F 2
W L
x
M^ ˘ ( x ) ⌡
⌠
x 0
F^ ˘ ( x ) d x ⌡
⌠
x 0
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
W F 2
W L
x d x W^ F 2
x W 2 L
x^2
§28.2.- Deformaciones en las vigas reales. 857
§28.2. Deformaciones en las vigas reales.- Analizaremos ahora las deformaciones producidas por las fuerzas cortantes y los momentos flexores que actúan sobre cualquier sección recta a lo largo de una viga uniforme.
Reconsideremos el Ejemplo I: una viga horizontal, apoyada en sus extremos y
Figura 28.
que soporta una carga concentrada en su centro. A través de cada sección recta de la viga, el material situado a la izquierda ejerce una fuerza cortante F˘ ( x ) sobre el material situado a la derecha. En la Figura 28.8a mostramos la viga no deformada. En la Figura 28.8b y en la Figura 28.8c se muestran las deformaciones experimentadas por dos tajadas o porciones elementales de la viga sometidas a esfuerzos negativos (Figura 28.8b ) y positivos (Figura 28.8c ), respectivamente. Estas deformaciones son simples cizalladuras, cuyos efectos son deslizar los diver- sos planos verticales unos con respecto a los otros, de modo que la línea de trazos, inicial- mente horizontal, forma ángu- los γ 1 y γ 2 con la horizontal. En general, dichos ángulos vienen dados por
γ F˘ ( x ) [28.17] S G
donde S es el área de la sec- ción recta de la viga y G es el módulo de rigidez del material. En el ejemplo considerado, el ángulo de cizalladura γ será mayor en los extremos que en el centro de la viga, ya que dicho ángulo resulta ser proporcional a la intensidad de la fuerza cortante F˘ ( x ) ( Figura 28.6b ). Obviamente, la viga en su conjunto experimenta una deformación, apartándose de su forma rectilínea original; esta deformación representa un encorvamiento por cizalladura. A través de cada sección recta de la viga, el material
Figura 28.
situado a la izquierda ejerce un momento flexor M˘ ( x ) sobre el situado a la derecha. En la Figura 28.9 mostramos la deformación experimentada por una porción elemental de la viga bajo la acción de los momentos flexores a que está sometida en sus extremos. Este tipo de deformación recibe el nombre de flexión. La viga en su conjunto experimentará una deformación de este tipo, apartándose de su forma rectilínea original; esta deformación representa un encorvamiento por flexión. Las deformaciones por cizalladura y por flexión se superponen y contribuyen a la deformación total de la viga. Sin embargo, el cálculo y la experiencia demuestran que en las vigas largas y delgadas (que son las más usuales) la deformación debida a las fuerzas cortantes (cizalladura) es despreciable en comparación con la debida a los momentos flexores (flexión). En el caso de las vigas cortas y gruesas ocurre justamente lo contrario. En lo que sigue nos limitaremos a estudiar los efectos producidos por la flexión en las vigas largas y delgadas de sección recta uniforme.
858 Lec. 28.- Elastostática.
§28.3. Estudio de la flexión.- En la Figura 28.10a mostramos el aspecto general
Figura 28.
que presenta una viga horizontal con doble apoyo al encorvarse bajo la acción de las cargas que soporta; la curvatura está muy exagerada en dicha figura. Imaginemos la viga descompuesta en delgadas láminas horizontales. Debido al encorvamiento, las láminas situadas en la región superior de la viga se encuentran comprimidas, en tanto que las situadas en la región inferior están estiradas. Ambas regiones están separadas por una capa cuyas fibras no están estiradas ni comprimidas; esa capa recibe el nombre de capa o superficie neutra. De acuerdo con el sistema de ejes que hemos adoptado anteriormente, haremos coincidir la superficie neutra de la viga con el plano xz ( i.e. , y =0), de modo que la intersección del plano de simetría vertical de la viga con la superficie neutra de la misma nos defina el eje x , que por esta razón recibe los nombres de eje neutro y fibra neutra. En la Figura 28.10a hemos imaginado un corte transversal de la viga, y mostramos el esfuerzo longitudinal σ xx resultante de la acción del material situado a la izquierda del corte sobre el situado a la derecha. De acuerdo con la ley de la acción-reacción, el esfuerzo longitudinal resultante de la acción del material de la derecha sobre el de la izquierda será σ xx.
Calculemos ahora la fuerza longitudinal ( i.e. , normal) total que actúa sobre una sección recta de la viga como resultado de la acción del material situado a la izquierda sobre el situado a la derecha de la sección. El área del elemento infinitesimal de superficie sobre dicha sección recta es d S =d y d z ; la fuerza elemental d F sobre dicho elemento de superficie es d F l=σ xx d s , de modo que
F (^) l (^) ⌡⌠ [28.18] S
σ xx d S (^) ⌡⌠ S
σ xx d y d z 0
puesto que todas las cargas que soporta la viga se suponen verticales, de modo que no puede haber fuerza neta horizontal en ninguna sección recta de la viga.
Aún cuando la distribución de esfuerzos σ xx sobre una sección recta de la viga representa una fuerza longitudinal neta nula, no ocurre lo mismo con el momento de dicha distribución. La expresión [28.18] equivale a afirmar que dicho momento es independiente del punto con respecto al cual se calcula. Entonces, calcularemos el momento de la distribución de esfuerzos σ xx con respecto al eje z , como se indica en la Figura 28.11. La fuerza elemental d F =σ xx d S al actuar a una distancia y por encima de la superficie neutra produce un momento elemental d M˘ = y σ xx d S ; el momento total será
M^ ˘ ( x ) (^) ⌡⌠ [28.19] S
y σ xx d S (^) ⌡⌠ S
y σ xx d y d z
860 Lec. 28.- Elastostática.
Podemos expresar el esfuerzo
Figura 28.
longitudinal, compresor o tensor, que actúa sobre una fibra situada a una distancia y de la fibra neutra como
σ (^) xx ( x , y ) E (^) xx E [28.22] R
y
donde E es el módulo de Young del material. Esta ecuación es importante, pues nos permite determinar el esfuerzo longitudinal a cualquier distancia de la superficie neutra, supuesto que conozcamos el radio de curvatura R. Sustituyamos la expresión [28.22] en la [28.18] para obtener
F ⌡⌠ [28.23]
S
σ xx d S E R ⌡
S
y d S 0
donde la integral se extiende a toda la superficie S de la sección recta de la viga correspondiente a un valor fijo de x. Puesto que la integral debe anularse, será necesario tomar el origen del eje vertical (eje y ) coincidiendo con el centro de área o centroide de la sección recta para cada valor de x ; lo que equivale a decir que el eje x debe pasar por los centroides de todas las secciones rectas de la viga, o que la superficie neutra coincide con el plano xz.
Determinaremos ahora la forma de la fibra neutra de la viga cuando ésta se encuentra sometida a una flexión pura. En este contexto, esta línea recibe el nombre de línea elástica. Reconsideremos el elemento de viga ilustrado en la Figura 28.13 , sometido a un momento flexor negativo en su extremo izquierdo y a otro igual, pero positivo, en el derecho, de modo que el elemento se encuentra en equilibrio de rotación. Sustituyamos la expresión [28.22] en la [28.19] para valorar el momento flexor en el extremo izquierdo del elemento:
M^ ˘ ( x ) (^) ⌡⌠ [28.24] S
y σ xx d S E R ⌡
S
y^2 d S
extendiéndose la integral a toda la superficie S de la sección recta. La integral en la expresión anterior representa el momento de área de la sección recta de la viga con relación al eje transversal a la viga en su superficie neutra ( i.e. , el eje z ); sus dimensiones son las de una longitud a la cuarta potencia [L 4 ]. El momento de área es numéricamente igual al momento de inercia de una lámina cuya densidad superficial sea la unidad. Entonces, si ponemos
I (^) ⌡⌠ [28.25] S
y^2 d S
§28.3.- Estudio de la flexión. 861
la expresión [28.26] puede escribirse en la forma
M˘ ( x ) EI [28.26] R ( x )
Como tanto E como I son constantes a lo largo de la viga, resulta que el radio de curvatura, al igual que el momento flexor, es función de x ; este hecho ha sido indi- cado explícitamente en [28.26] al escribir R ( x ). En definitiva, la expresión [28.26] nos permite conocer el radio de curvatura de un elemento de viga si conocemos el momento flexor que actúa en sus extremos.
Ejemplo III.- Encontrar la expresión del momento de área seccional
Figura 28.
para una viga de sección recta de forma rectangular. En la Figura 28.14a representamos la sección recta de la viga; hemos marcado en ella una estrecha banda de espesor d y , cuya superficie es d S = b d y. Entonces, utilizando la expresión [28.25], tenemos
I a (^) ⌡⌠ [28.27] S
y^2 d S b (^) ⌡⌠^
a / a /
y^2 d y^1 12
a^3 b
que es la expresión que buscábamos. Si en lugar de considerar la viga apoyada "verticalmente", como en la Figura 28.14a, la consideramos apoyada "horizontalmente", como en la Figura 28.14b, el resultado sería
I b (^) ⌡⌠ [28.28] S
y^2 d S a (^) ⌡⌠^
b / b /
y^2 d y^1 12
ab^3
y como es a > b , resulta que es I a > I b.
§28.4. Ecuación diferencial de la línea elástica.- Estamos interesados en determinar la forma que adopta la viga bajo la acción de una distribución de momento flexor conocido. Designaremos mediante y ( x ) el desplazamiento de la línea elástica de la viga respecto a su fibra neutra original (eje x ). De acuerdo con la Geometría Diferencial , la curvatura (κ) de una curva plana y = y ( x ) en un punto geográfico de la misma, i.e. , la inversa del radio de curvatura ( R ) en ese punto, puede calcularse mediante la fórmula
κ 1 [28.29] R
(d 2 y /d x^2 ) 1 (d y /d x )^2
3/
En la mayor parte de los casos de interés práctico, la flexión que experimenta la viga es muy pequeña, de modo que la línea elástica es casi paralela a la fibra neutra original (eje x ). En consecuencia, resulta posible despreciar el término (d y /d x )^2 frente a la unidad, y la expresión [28.29] se reduce, con suficiente exactitud, a
§28.4.- Ecuación diferencial de la línea elástica. 863
Curvatura y radio de curvatura de curvas planas.
Llamamos curvatura media de un arco AB al cociente del ángulo Δφ girado por su tangente al pasar desde el punto A hasta el B, por la longitud Δ s de dicho arco. Obsérvese que el ángulo Δφ es también el formado por las normales a la curva en los puntos A y B.
Definimos la curvatura en un punto A
Figura 28.
de una curva como el límite de la curvatu- ra media en el arco AB cuando B tiende a confundirse con A; la designaremos por κ, y tenemos
κ lim [28.34] Δ s → 0
Δφ Δ s
dφ d s
Consideremos una curva plana expre- sada en forma paramétrica: x = x ( t ), y = y ( t ). Entonces, la pendiente de la tangente a la curva en un punto genérico será:
tg φ d y [28.35] d x
d y /d t d x /d t
y ˙ x ˙
φ arctg y˙ x ˙
y el elemento de longitud de arco será:
d s d x^2 d y^2 [28.36]
puesto que tanto φ como s , en [28.35] y [28.36], están expresados en función del parámetro t , la expresión [28.34] se escribirá como^1
κ dφ^ /d t [28.37] d s /d t
x ¨ ˙y ˙y ¨x x ˙^2 y˙^2
3/
ya que, como es fácil de comprobar^2 , es
(^1) Al mismo resultado podemos llegar a partir de la expresión [4.36]; en efecto:
κ r˙^ ×^ ¨r r˙^3
˙x ˙y 0 × ¨x y¨ 0 x ˙ ˙y 0 3
x ¨ ˙y y¨˙x ˙x^2 y˙^2 3/
(^2) Recuérdese que d d t
arctg u^1 1 u^2
d u d t
864 Lec. 28.- Elastostática.
dφ [28.38] d t
1 ( y˙ / x˙ )^2
x¨ ˙y y¨˙x x ˙^2
d s d t
x˙^2 y˙^2
En la circunferencia, el ángulo girado por la tangen-
Figura 28.
te al pasar de un punto A a otro B es igual al ángulo central Δφ determinado por los radios CA y CB, y como la longitud del arco CAB es igual al producto del radio r por el ángulo central Δφ que subtiende (expresado en radianes), será:
κ Δφ [28.39] Δ s
Δφ R Δφ
R
y por esta razón llamamos radio de curvatura de una curva en un punto a la inversa de la curvatura (κ) que presenta la curva en dicho punto.
El radio de curvatura en un punto de una curva es el radio del círculo osculador en ese punto. Para una curva plana expresada en forma paramétrica tenemos:
R^1 [28.40]
κ
( x˙^2 y˙^2 ) 3/ x ¨ ˙y y ¨˙x En el caso de una curva plana y uniforme respecto al eje x , que venga expresada en la forma y = y ( x ), las expresiones de la curvatura y del radio de curvatura en un punto son:
κ y ″ [28.41] ( 1 y ′^2 ) 3/^
R ( 1^ y ′
y ″
donde y ′=d y /d x e y ″=d 2 y /d x^2. Las expresiones anteriores se deducen fácilmente de las expresiones [28.37] y [28.40] ; basta con poner x = t , y = y ( t )= y ( x ), de modo que resulta: x ˙ =1, x¨ =0, y˙ = y ′, ¨y = y ″ Obsérvese que en los puntos de inflexión de la curva es y ″=0; por consiguiente, en los puntos de inflexión es κ=0 y r =∞. Esto es, en los puntos de inflexión no existe el círculo osculador, a menos que consideremos como tal la tangente en dichos puntos. En particular, en los puntos de la curva en los que y ′=0, i.e. , en los puntos en los que la tangente es paralela al eje x , se verifica que
κ 1 [28.42] R
d 2 y d x^2
866 Lec. 28.- Elastostática.
y ( x (^) i δ) y ( x (^) i δ) y ′( x (^) i δ) y ′( x (^) i δ)^ [28.45]
que aseguran la continuidad de y ( x ) e y ′( x ) en cada uno de los puntos x (^) i.
Ejemplo V.- Determinar la ecuación de la línea elástica para una viga larga y delgada, de longitud L y peso W , empotrada por uno de sus extremos y que soporta una carga F en el otro extremo. Sustituyendo en la ecuación diferencial de la línea elástica [28.31] la expresión de la distribución de momento flexor que obtuvimos en el Ejemplo II, tenemos
EI y ″( x ) W^^2 F 2
L ( W F ) x W 2 L
x^2
y mediante dos integraciones sucesivas se obtienen
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ EI y ( x ) W^^2 F 2
Lx W^ F 2
x^2 W 6 L
x^3 C 1
EI y ( x ) W^^2 F 4
Lx^2 W^ F 6
x^3 W 24 L
x^4 C 1 x C 2
donde C 1 y C 2 son dos constantes de integración que
Figura 28.
determinaremos a partir de las condiciones impuestas en el extremo empotrado:
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
y (0) 0 ⇒ C 2 0 y ′(0) 0 ⇒ C 1 0
La ecuación de la línea elástica es
y^1 EI
⎛ ⎜ ⎝
W 2 F 4
Lx^2 ⎞⎟ ⎠
W F 6
x^3 W 24 L
x^4
El máximo desplazamiento vertical de la línea elástica, i.e. , la llamada flecha de flexión se presenta en el extremo libre de la viga, y vale
s y ( L ) L^
3 24 EI
(3 W 8 F )
Ejemplo VI.- Encontrar la ecuación de la línea elástica para una viga larga y delgada, de longitud L y peso W , apoyada en las proximidades de sus dos extremos y que soporta una carga F en su centro. Sustituyendo en la ec. diferencial de la línea elástica [28.31] las expresiones correspondientes al momento flexor para la mitad izquierda [28.11] y la mitad derecha [28.13] de la viga, y procediendo a dos integraciones sucesivas de cada una de las dos ecuaciones diferenciales así obtenidas, se obtienen los resultados siguientes:
§28.5.- Integración de la ec. dif. de la línea elástica. 867
mitad izquierda: 0 < x < L /
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ EI y ″( x ) W^ F 2
x W 2 L
x^2
EI y ′( x ) W^ F 4
x^2 W 6 L
x^3 C 1
EI y ( x ) W^ F 12
x^3 W 24 L
x^4 C 1 x C 2
mitad derecha: L /2 < x < L
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ EI y ″( x ) FL 2
W F 2
x W 2 L
x^2
EI y ′( x ) FL 2
x W^ F 4
x^2 W 6 L
x^3 C 3
EI y ( x ) FL 4
x^2 W^ F 12
x^3 W 24 L
x^4 C 3 x C 4
donde C 1 , C 2 , C 3 y C 4 son las constantes de integración
Figura 28.
que determinaremos a partir de las condiciones impues- tas en los apoyos y de la continuidad de las funciones y ( x ) e y ′( x ) en el punto L /2:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y (0) 0 y ( L ) 0
y ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
L 2
δ y ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
L 2
δ
y ′⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
L 2
δ y ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
l 2
δ
C 2 0
C 4 0
C 1 C 3^ FL^
2 8
C 1 C 3^ FL^
2 8
de modo que, en este ejemplo, no podemos determinar C 1 y C 3 por el método general. Sin embargo, el hecho de que el problema sea simétrico respecto a x = L /2 nos permite superar esa dificultad, ya que la condición y ′( L /2-δ)= y ′( L /2+δ) se desdobla en este ejemplo en las dos condiciones siguientes:
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ y ′ L /2 δ 0
y ′ L /2 δ 0
C 1 2 W^^3 F 48
L^2
C 3 2 W^^9 F 48
L^2
La ecuación de la línea elástica es:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y^1 EI
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2 W 3 f 48
L^2 x W^ F 12
x^3 W 24 L
x^4 ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
0 < x < L 2
y^1 EI
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2 W 9 F 48
L^2 x F 4
L x^2 W^ F 12
x^3 W 24 L
x^4 ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
L 2
< x < L
El máximo desplazamiento hacia abajo de la línea elástica se presenta en el centro de la viga ( x = L /2), de modo que la flecha de flexión vale:
§28.6.- Pandeo. 869
d (^) [28.47] (^2) y d x^2
F
E I
y
que es la ec. diferencial de una curva sinusoidal. En consecuencia, si el pandeo es pequeño, la varilla adopta la forma de un arco de sinusoide. La "longitud de onda" λ de la sinusoide es el doble de la longitud de la varilla (λ=2 L ), de modo que 2 π/λ=π/ L y la ecuación de la varilla es
y A sen ⎛⎜ [28.48] ⎝
π L
x
y derivando dos veces esta expresión se obtiene
d (^) [28.49] (^2) y d x^2
π^2 L^2
y
que al compararla con la expresión [28.47] nos permite escribir
F π^2 E I [28.50] L^2
de modo que, para pandeos pequeños, la fuerza es independiente de la magnitud del pandeo ( i.e. , F ≠ F ( y )). Este resultado es importante, pues nos indica que si la fuerza aplicada F es menor que el valor dado por [28.50] no se producirá pandeo alguno; pero si la fuerza aplicada supera el valor crítico de π^2 EI / L^2 (llamado fuerza de Euler ), la varilla experimentará un gran encorvamiento, produciéndose un "rizo". Pensemos en un edificio; si las columnas en la planta baja tuviesen que soportar una carga que excediese a la fuerza de Euler, el edificio se derrumbaría. En realidad, una viga, una varilla, una columna, ... no tienen por qué colapsarse cuando la fuerza aplicada supere el valor crítico de Euler. Comprenderemos que es así si reflexionamos en que las expresiones [28.47] a [28.50] sólo son correctas para pequeños pandeos. Cuando el pandeo es grande, no podemos utilizar la aproximación 1/ R ≈d 2 y /d x^2 ; en su lugar deberemos utilizar la expresión [28.29] , y la ec. diferencial de la línea elástica será
(^1) [28.51] R
y ″( x ) [ 1 y ′^2 ( x ) ] 3/
F
E I
y
Como esta ec. diferencial
Figura 28.
es de difícil manejo, resulta más conveniente utilizar como coordenadas la longitud de arco s medida sobre la curva a partir de uno de sus extremos y el ángulo φ definido por la pendiente de la tangente a la curva en cada uno de sus puntos. Entonces, la curvatura en un punto genérico de la curva vendrá dada por
870 Lec. 28.- Elastostática.
κ 1 [28.52] R
dφ d s
y la ecuación diferencial [28.51] se transforma en
dφ [28.53] d s
F
E I
y
Si derivamos de nuevo con respecto a s la expresión anterior, y tenemos en
Figura 28.
cuenta que d y /d s =senφ, obtendremos finalmente la ecuación diferencial de la línea elástica :
d (^) [28.54] (^2) φ d s^2
F
E I
sen φ
La ecuación diferencial [28.54] es formalmente idéntica a la que obtuvimos en la Lección 13 al describir las oscilaciones de gran amplitud de un péndulo simple [13.18]. Las soluciones de esta ec. dif. nos conducen a las llamadas curvas elásticas , de las que mostramos tres en la Figura 28.21 , correspondientes a valores crecientes del factor F / EI.
