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5.- Cinemática del sólido rígido.
§5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110); §5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular (112); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composición de rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal (118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (118); §5.10. Teorema de Chasles (120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta (129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo (134); Problemas (136)
§5.1. Concepto de sólido rígido.- En esta lección describiremos el movimiento del sólido rígido , entendiendo por tal aquel sistema de partículas en el que la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo fue, en la lección anterior, el punto material.
Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz , como se
Figura 5.
muestra en la Figura 5.1. Indicaremos por r i y r j los vectores de posición de dos puntos, P i y P j , del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por
( r (^) i r (^) j )^2 cte. [5.1]
La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfecta- mente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alinea- dos, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 5.1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesi-
Manuel R. Ortega Girón 109
110 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
tamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [5.1]; esto es
[5.2]
( x 1 x 2 )^2 ( y 1 y 2 )^2 ( z 1 z 2 )^2 k 122 ( x 2 x 3 )^2 ( y 2 y 3 )^2 ( z 2 z 3 )^2 k 232 ( x 3 x 1 )^2 ( y 3 y 1 )^2 ( z 3 z 1 )^2 k 312
tres ecuaciones que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad. Volveremos sobre este asunto en §20.6.
§5.2. Condición cinemática de rigidez.- Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.
Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (P i ,P j ) por ejemplo,
Figura 5.2 Figura 5.
podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [5.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a
2 ( r [5.3] i r^ j )
d r (^) i d t
d r (^) j d t
que también podemos escribir en la forma
r ij v ij 0 [5.4]
donde r ij y v ij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P i con respecto a la P j. La ec. [5.4] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido (como el r ij ) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo ( i.e. , a v ij ).
La ec. [5.3] puede escribirse:
112 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.
Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las
Figura 5.
trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, P i y P j , pertenecientes al sólido, y sean r i y r j sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r ′ i y r ′ j , respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación se expresa en la forma
r (^) i r (^) j r (^) i r (^) j [5.10]
o sea (^) r (^) i r (^) i r (^) j r (^) j [5.11]
Δ r (^) i Δ r (^) j^ [5.12]
de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δ t es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido. Es conveniente que insistamos en que el movimiento de
Figura 5.
traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemen- te, si la velocidad de traslación es constante ( v =cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí ( movimiento de traslación uniforme ). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura 5.6; la armadura gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectorias circulares.
§5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular.- Desde el punto de vista geométrico, podemos enunciar:
§5.4.- Movimiento de rotación. Vector velocidad angular. 113
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso,
Figura 5.
los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por
v v e (^) t [5.13]
El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es
v lím [5.14] Δ t → 0
Δ s Δ t
d s d t
pero se verifica que d s = r dθ, mi- diéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que
v d s [5.15] d t
r dθ d t
El cociente dθ/d t recibe el nombre de celeridad angular y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemos escribir
Figura 5.
v ω r [5.16] La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s). Definiremos el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea
§5.5.- Principio de superposición de movimientos. 115
v v ′ v ″ [5.24] Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente:
Si un sólido rígido esta animado de varios movimientos simultáneos, para cada uno de los cuales se cumple la condición cinemática de rigidez, el movimiento resultante también cumple esa condición. En efecto, consideremos dos puntos del sólido, P i y P j (Figura 5.9); por cumplirse la condición
Figura 5.
cinemática de rigidez para cada uno de los movimientos componentes (simultáneos), podemos escribir:
v (^) i r (^) ij v (^) j r (^) ij [5.25] v (^) i r (^) ij v (^) j r (^) ij
que sumados dan
( v (^) i ′ v (^) i ″ ) r (^) ij [5.26] ( v (^) j ′ v (^) j ″ ) r (^) ij
de modo que, teniendo en cuenta [5.24], resulta
v (^) i r (^) ij v (^) j r (^) ij [5.27]
que es la expresión de la condición cinemática de rigidez para el movimiento resultante.
§5.6. Composición de rotaciones.- A partir de la definición del vector velocidad angular, y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento de rotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotaciones se reducirá a sumar los vectores de velocidad angular que las representan, sin olvidar que dichos vectores son deslizantes. Consideraremos dos casos sencillos.
(1) Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto .- Consideremos un sólido rígido animado de dos rotaciones simultáneas^1 , ω 1 y ω 2 , cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 5.10). La velocidad de un punto genérico P del sólido^2 será la suma de las velocidades, v 1 y v 2 , que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e. ,
v 1 ω 1 × R v 2 ω 2 × R [5.28]
(^1) Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en la (Figura 5.10).
Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω 2 alrededor de un cierto eje; a su vez, este eje está rotando con una velocidad angular ω 1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La rotación ω 2 suele denominarse rotación intrínseca ; la rotación ω 1 recibe el nombre de precesión.
(^2) Entenderemos que el punto P pertenece materialmente al sólido o que, en caso contrario, es
un punto del espacio que se mueve como lo haría si perteneciese realmente al sólido ( i.e. , que se mueve solidariamente con el sólido).
116 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
de modo que v v 1 v 2 (ω 1 ω 2 ) × R ω × R [5.29]
o sea que
el resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes concurren en un punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto y cuya velocidad angular es la suma (vectorial) de las velocidades angulares correspondientes a las rotaciones componentes.
(2) Par de rotaciones .- Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente
Figura 5.10 Figura 5.
de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que las velocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismo módulo y sentidos opuestos (Figura 5.11); esto es, ω 1 =ω y ω 2 =-ω. Los vectores ω y -ω constituyen un par de rotaciones. La velocidad de un punto genérico P del sólido será
v (ω × O 1 P) ( ω × O 2 P) ω × (O 1 P PO 2 ) [5.30]
o sea v ω × O 1 O 2 [5.31]
resultando ser independientes del punto P. En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad. En definitiva, podemos enunciar:
Un par de rotaciones equivale a una traslación
Figura 5.
cuya velocidad es la expresada por [5.31], o sea, el momento del par. Y recíprocamente: Una traslación equivale a un par de rotaciones cuyo momento sea la velocidad de traslación. Como puede parecernos algo difícil aprehender intuitiva- mente el enunciado anterior, recurriremos a un ejemplo sencillo. Sea AB una recta del sólido (Figura 5.12); supongamos que sólo existiese la rotación ω 1 =ω y giremos el sólido un cierto ángulo φ (=90° en la figura) alrededor del eje de ω 1 , de modo que la recta AB pase a la posición A′B′. A continuación consideremos la rotación ω 2 =-ω, de modo que la recta A′B′ girará (en el mismo intervalo de tiempo) el mismo ángulo φ en sentido contrario al anterior,
118 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dos movimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación.
Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamente determinada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad v P de un punto cualquiera del mismo; i.e. , por los vectores ω y v P , a los que denominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P.
§5.8. Movimiento helicoidal.- Un movimiento rototraslatorio de especial
Figura 5.
interés es el que resulta de combinar un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje; el resultado es un movimiento helicoidal.
Sean v O la velocidad de traslación y ω la velocidad angular de rotación del sólido rígido. La velocidad de un punto genérico P, perteneciente al sólido y que no está situado sobre el eje de rotación ( Figura 5.14 ), viene dado por
v (^) P v (^) O ω × OP [5.34]
Como el vector ω × OP resulta ser perpendicular a ω y, por lo tanto, a v O , la velocidad del punto P es la suma de dos vectores perpendiculares entre sí; el v O , paralelo al eje y el ω×OP, debido a la rotación, perpendicular al eje y que depende de la posición del punto P con respecto a dicho eje.
Si tanto v O como ω son indepen-
Figura 5.
dientes del tiempo (traslación y rotación uniformes), el punto P describe una trayectoria que es una curva alabeada llamada hélice (Figura 5.15 ), cuyo eje es la recta soporte de ω, y el movimiento del sólido se llama helicoidal uniforme. El paso de la hélice estará dado por
h v O T 2 π v O [5.35] ω Obsérvese que en el movimiento helicoidal el eje actúa como eje de rotación y deslizamiento , ya que el sólido rígido, al tiempo que gira en torno al eje se traslada o desliza a lo largo del mismo.
Si son v O ( t ) y ω( t ) ( i.e. , funciones del tiempo), el movimiento sigue siendo heli- coidal, pero tanto el eje de rotación y deslizamiento como el paso de la hélice variarán en el transcurso del tiempo.
§5.9.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 119
§5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- En los apartados ante- riores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general del sólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ω i ( i =1, 2, ...), que lo representa. Así, la velocidad de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado [5.32] , y la velocidad de un segundo punto del sólido está relacionada con la del anterior por la expresión [5.33]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (en general); pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en la dirección de la velocidad angular resultante ω. En efecto, multiplicando escalarmente por ω ambos miembros de la exp. [5.33] , tenemos
ω v P ω v (^) P ω (ω × PP ) ω v (^) P
o sea
Figura 5.
ω v cte. [5.36]
que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes ω i ( i =1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que
en un instante dado, el producto escalar de los dos vectores del grupo cinemático tiene el mismo valor en todos los puntos del sólido; i.e. , es invariante. El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo si dicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante ω. Pero el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuación (Figura 5.16):
OE ω^ ×^ v^ O [5.37] ω^2
λω
que es la ecuación del eje central del sistema de vectores deslizantes ω i ( i =1, 2, ...), en un referencial de origen en el punto O. Obviamente, v O representa la velocidad que le corres- pondería al punto O, en el caso de que perteneciera al sólido. Cuando el sistema de vectores deslizantes está constituido por vectores de velocidad angular ω i , el eje central del sistema de vectores recibe el nombre especial de eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD queda definido como
el lugar geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima
o bien
§5.10.- Teorema de Chasles. 121
(propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta de acción de ω, aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω, por ser ω v =0. (4) Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0: En este caso deberá ser v ⊥ω, de modo que cada punto del sólido se moverá en un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea, al vector ω). Como para los puntos de dicho eje deberá ser, además, v ω, la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura , con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo de rotación, pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneo de rotación se encuentran instantáneamente en reposo.
§5.11. Axoides. Representación de Poncelet.- Recordemos que todo cuanto
Figura 5.
hemos estudiado hasta ahora ocurre en un instante determinado y, así, la ec. [5.37] , que define al eje instantáneo de rotación y deslizamiento (eje central), depende de los valores instantáneos de ω y de v O , de modo que representa una recta móvil en el espacio. En efecto, los vectores ω y v O pueden variar de un instante a otro de modo que el eje instantá- neo, en general, cambiará constantemente de posición, en el transcurso del tiempo, tanto con respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio, como con respecto a otro sistema de ejes liga- dos al sólido rígido y que se mueven solidariamente con él. El eje instantáneo sólo estará indefinido en aquellos instantes en los que el movi- miento del sólido sea una traslación pura. En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio ( xyz ), generando una superficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo. Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido ( x ′ y ′ z ′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil. Se comprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, que es el eje instantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoides son tangentes a lo largo de la recta mencionada.
Pero además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con una velocidad v d que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del
122 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento; i.e. ,
v d^ ω^ v [5.40] ω En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puede representar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se mueve solidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lo largo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento del sólido se debe al matemático y general francés Jean Victor PONCELET (1788-1867). En el caso de que uno de los puntos
Figura 5.
del sólido permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoides degeneran en conos tangentes entre sí a lo largo de una generatriz y el movimiento continuo de Poncelet se reduce a una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo , ya que no habrá deslizamiento por ser nula la velocidad de uno de los puntos del sólido. En la Figura 5.19 ilustramos este tipo de movi- miento. El sólido rígido (y el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular ω 1 al mismo tiempo que el eje de ω 1 gira con una velocidad angular ω 2 alrededor de un eje fijo en el espacio. El resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el eje instantáneo de rotación (puntos de velocidad instantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la generatriz común instantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω 1 + ω 2 , como se ilustra en la Figura 5.19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido.
§5.12. Aceleración. Vector aceleración angular.- Consideremos un punto genérico P de un sólido rígido en movimiento y sea v P su velocidad. Si consideramos un segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea v O , la relación existente entre ambas velocidades es de la forma
v P v O ω × OP [5.41]
donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración a P del punto P; esto es,
a P d v P [5.42] d t
d v O d t
dω d t
× OP ω × dOP d t
124 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
d e dφ sen θ ⎡⎢^ [5.45] ⎣
d e d t
dφ d t
sen θ Ω sen θ
siendo Ω la velocidad angular instantánea
Figura 5.
asociada a la rotación del eje (definido por e ) en el espacio, lo que nos lleva a
ω ⎡⎢ [5.46] ⎣
d e d t
Ω ω sen θ
o sea ω d e [5.47] d t
Ω × ω
Así pues, en el caso más general, la acele- ración angular α se expresará en la forma
α dω [5.48] d t
dω d t
e Ω × ω
en la que observaremos que la aceleración
Figura 5.
angular α tiene dos componentes (Figu- ra 5.22): una componente longitudinal ( i.e. , en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es dω/d t y una componente trans- versal ( i.e. , perpendicular al eje de rota- ción) cuyo módulo es Ω×ω. Así pues, en general, el vector α no tendrá la mis- ma dirección que el vector ω; dicho de otra manera, el vector α no tendrá la dirección del eje de rotación. En definitiva, la dirección de la acele- ración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio (Figura 5.34).
En cualquier caso, de acuerdo con las anteriores definiciones, la expresión [5.42] puede escribirse ahora en la forma
a a O α × OP ω × (ω × OP) [5.49]
y vemos que, puesto que a t=α × OP, podemos considerar la aceleración tangencial del punto P del sólido, en la rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto O, como el momento del vector α con respecto al punto P. En realidad, una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado [5.48] es mas general de lo que pudiera parecernos a primera vista, ya que podemos emplear cualquier magnitud vectorial en [5.48], en el lugar del vector velocidad angular ω, y la forma del resultado sería la misma. Así, la operación de calcular la derivada temporal de cualquier magnitud vectorial, expresando el resultado descompuesto en dos componentes asociadas, respectivamente, al cambio de su módulo
§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular. 125
(componente longitudinal , i.e. , en la dirección de la propia magnitud vectorial) y al cambio de su dirección (componente transversal , i.e. , perpendicular a la misma), es equivalente a efectuar la operación simbólica
d [5.50] d t
d d t
e Ω ×
donde representa el vector, su módulo, e el versor en la dirección del vector y Ω la velocidad angular instantánea asociada a la rotación del versor e en el espacio. Así, por ejemplo, si sustituimos en el operador [5.50] por e , obtenemos
d e [5.51] d t
d e d t
e Ω × e Ω × e
ya que e =1, de donde se sigue (Figura 5.21)
⎡⎢ [5.52] ⎣
⎤ ⎥ ⎦
d e d t
Ω × e Ω sen θ
que es la misma expresión [5.45] encontrada anteriormente mediante consideraciones fundamental- mente geométricas.
Ejemplo I.- Un disco circular, de radio R 2 , gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa
Figura 5.
por su centro, con una velocidad angular constante ω 2. A su vez, dicho eje gira alrededor de otro eje, perpendicular al primero y que lo corta a una distancia R 1 del centro del disco, como se ilustra en la Figura 5.23, con movimiento uni- formemente acelerado. Determinar la velocidad y la aceleración del punto P indicado en la figura. (a) La velocidad angular resultante del sólido rígido es
ω ω 1 ω 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 0 ω 1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ω 2 0 0
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ω 2 0 ω 1
La velocidad y la aceleración del punto O, "perteneciente" al sólido rígido, son nulas, por encontrarse dicho punto en la intersección de los dos ejes de rotación; i.e. , v O =0 y a O =0. La velocidad del punto P es
v P v O ω × OP
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 0 0
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ω 2 0 ω 1
×
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
R 1 0 R 2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 ω 1 R 1 ω 2 R 2 0
y su aceleración es a (^) P a (^) O dω d t
× OP ω × (ω × OP)
§5.13.- Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento. 127
descomponer en dos rotaciones concurrentes en J, en las direcciones ortogonales definidas por la normal NN a ambas superficies en el punto de contacto y por la proyección sobre el plano tangente:
ω ω (^) p ω (^) r [5.53]
La componente ωp recibe el nombre de rotación de pivotamiento ; la componente ωr se denomina rotación de rodadura. Consideramos ahora el caso particularmente importante en el que un sólido (S 1 )
Figura 5.
rueda sin deslizar sobre otro sólido (S 2 ) que se encuentra también en movimiento (Figura 5.25). La confluencia de las dos condiciones imponen la anulación de la velocidad del punto de contacto perteneciente a un sólido en el referencial solidario al otro; i.e. ,
v R.S2 (J (^) S1 ) 0 v R.S1 (J (^) S2 ) 0 [5.54]
de donde se sigue la igualdad de las velocidades de ambos puntos en cualquier referencial:
v Ref (J (^) S1 ) v Ref (J (^) S2 ) [5.55]
expresión de gran utilidad ya que, si conocemos la cinemática del sólido S 2 (en lo que concierne a las velocidades) y el estado de rotación del sólido S (^1) ( i.e. , ω 1 ), permite conocer la velocidad de los puntos del sólido S 1 partiendo de la del punto de contacto J (^) S.
§5.14. Movimiento plano del sólido rígido.- El movimiento del sólido rígido se simplifica considerablemente cuando todos sus puntos se mueven paralelamente a un plano fijo determinado. Este tipo de movimiento, que recibe el nombre de movimiento plano , se caracteriza por ser planas las trayectorias de todos los puntos del sólido. Los planos de esas trayectorias, o cualquier otro plano paralelo a ellas, reciben el nombre de planos del movimiento (Figura 5.26). El movimiento plano del sólido rígido implica: (1) No hay deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación (rotación pura); i.e. , la velocidad de deslizamiento es nula.
(2) El eje instantáneo de rotación mantiene una dirección fija en el espacio, perpendicular a los planos del movimiento, aunque puede trasladarse manteniéndose paralelo a sí mismo; i.e. , la velocidad angular, ω, del sólido es un vector de dirección constante. Por ser nula la velocidad de deslizamiento, el invariante escalar será ω v =0, siendo v (≠0) la velocidad de un punto genérico del sólido. Por consiguiente, el sólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura alrededor del eje instantáneo de rotación ( rodadura ). El punto I, determinado por la intersección del eje instantáneo de rotación con un plano del movimiento, se denomina centro instantáneo de rotación (CIR) o polo de velocidades , correspondiente a dicho plano
128 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
del movimiento; evidentemente, dicho punto se encuentra instantáneamente en reposo. También podemos considerar el movimiento del sólido rígido como la superposición de un movimiento de traslación paralelo a los planos del movimiento y de una rotación alrededor de un eje cualquiera perpendicular a dichos planos. Frecuentemente, aunque no necesariamente, dicho eje se elige de modo que pase por el centro de masas del sólido rígido. Así pues, queda bien claro que, en el movimiento plano, el sólido rígido posee tres grados de libertad: dos de ellos asociados con el movimiento de traslación y el otro con el de rotación.
Las expresiones [5.41] y [5.42] , que nos relacionan la velocidad y la aceleración
Figura 5.26 Figura 5.
de un punto P del sólido con las de otro punto O del mismo, admiten ahora una interpretación geométrica más simple, ya que ω y α son normales al plano del movimiento en el que se encuentran v P y a P. Así, puesto que todos los puntos de sólido rígido que se encuentran sobre una recta paralela a ω tienen la misma velocidad y la misma aceleración ( vide Problema 5.5 ) nos serviremos de las expresiones [5.41] y [5.42] para relacionar las velocidades y aceleraciones de dos puntos (O y P) del sólido contenidos en un mismo plano de movimiento; i.e. ,
v (^) P v (^) O ω × OP [5.56]
a (^) P a (^) O α × OP ω × (ω × OP) a (^) O α × OP ω^2 OP [5.57]
En la Figura 5.27 mostramos la disposición geométrica particular de los términos de estas expresiones, derivadas del hecho de ser ω⊥OP y α⊥OP.
Si en un plano del movimiento partimos del polo de velocidades ( i.e. , O≡I), al ser v I =0, pero a I≠0, las expresiones [5.56] y [5.57] adoptan la forma
v (^) P ω × IP [5.58]
a (^) P a (^) I α × IP ω × (ω × IP) a (^) I α × IP ω^2 IP [5.59]
La expresión [5.58] pone de manifiesto que el movimiento instantáneo del sólido es una rotación pura en torno al eje de rotación que pasa por el polo de velocidades, lo que nos permite localizar geométricamente dicho polo de velocidades en los dos casos siguientes:
(a) Si en el plano del movimiento se conocen las direcciones de las velocidades
