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17.- Sistemas de partículas.
Leyes de conservación.
§17.1. El problema de los N-Cuerpos (490); §17.2. Cantidad de movimiento (491); §17.3. Conservación de la cantidad de movimiento (493); §17.4. Movimiento del centro de masa (495); §17.5. Sistema de referencia del centro de masa (497); §17.6. Momento angular (498); §17.7. Conservación del momento angular (503); §17.8. Momentos angulares orbital e interno (505); §17.9. Energía cinética (508); §17.10. Energía potencial (510); §17.11. Conservación de la energía (512); Problemas (515)
Hasta ahora, hemos limitado nuestro estudio de la dinámica al análisis del movimiento de la partícula, considerada ésta como un punto material. Los conceptos físicos esenciales relacionados con el movimiento de la partícula están contenidos, según hemos visto, en la segunda ley del movimiento de Newton , que puede ser considerada como un postulado fundamental o como una definición de fuerza y de masa. Por otra parte, hemos visto que muchos de los resultados importantes de la Mecánica pueden expresarse en forma de teoremas de conservación (de la cantidad de movimiento, del momento angular, de la energía); dichos teoremas establecen las condiciones en las que varias magnitudes físicas permanecen constantes en el transcurso del tiempo.
Bajo esos dos puntos de vista hemos discutido la teoría de la dinámica de la partícula , tratando de ignorar (aunque no siempre haya sido posible) el resto del Universo; es decir, lo que hemos llamado el medio ambiente o entorno de la partícula, que hemos representado bien por una fuerza o por una energía potencial que depende tan sólo de las coordenadas de la partícula. El medio ambiente de una partícula dada está constituido, en último término, por otras partículas. En esta lección abordaremos el problema real e interesante de la dinámica de un sistema de partículas sujetas a sus interacciones mutuas y a interacciones con otras partículas exteriores al sistema considerado (el medio ambiente del sistema de partículas).
El objetivo de esta lección es generalizar los conceptos de cantidad de movimiento, energía y momento angular, desarrollados en las lecciones anteriores para una partícula, para un sistema de partículas y mostrar el aspecto que toman los correspondientes teoremas, estableciendo las condiciones en las que esos teoremas se convierten en leyes de conservación.
Manuel R. Ortega Girón 489
490 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
§17.1. El problema de los N-Cuerpos.- Consideremos un sistema compuesto por N partículas, que numeraremos 1, 2, .. N ( Figura 17.1 ). Designaremos por m 1 , m 2 , ... las masas de esas partículas, y por r 1 , r 2 , ... sus vectores de posición instantáneos respecto al origen O de un cierto referencial inercial. Los supuestos de partida son:
(a) El sistema de partículas es cerrado^1 , esto es, ni entra ni sale masa de él, de modo que la masa del sistema
m [17.1]
N
i 1
m (^) i cte
permanece constante en el transcurso del tiempo
(b) Se cumplen las leyes de la mecánica newtoniana para cada partícula individual, i.e. , si es F i la fuerza resultante que actúa sobre la partícula i -ésima, será
m (^) i ¨r (^) i F (^) i [17.2]
La fuerza resultante que actúa sobre una partícula cualquiera del sistema puede considerarse compuesta de dos partes:
(i) La resultante de todas las fuerzas cuyo origen o agente es exterior al sistema, fuerza que llamaremos externa y designaremos por F i ,ext.
(ii) La resultante de todas las fuerzas provenientes de la interacción de la partícula dada con las N -1 restantes que constituyen el sistema, fuerza que llamaremos interna y que designaremos por F i ,int. Si las interacciones entre las
Figura 17.
partículas se realizan por parejas, la resultante de las fuerzas internas sobre la partícula i -ésima será
F i ,int [17.3]
N j 1
′ F (^) ij
donde F ij representa la fuerza que actúa sobre la partícula i -ésima debida a su interacción con la partícula j -ésima. El signo (′) tras el símbolo de sumatorio nos indica que al extender la suma a todos los valores de j , desde j =1 hasta j = N , deberemos excluir el valor de j = i , ya que F ii = 0 (de modo que el sumatorio incluye realmente N -1 términos).
(^1) No deberemos confundir el concepto de sistema cerrado con el de sistema aislado (aquél que
no interacciona con el exterior, vide §17.3).
492 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
§17.2. Cantidad de movimiento.- Dado un sistema de partículas, la cantidad de movimiento de una cualquiera de ellas, en un referencial dado, viene dada por el producto de su masa por su velocidad; esto es,
p (^) i m (^) i v (^) i [17.6]
La cantidad de movimiento total p del sistema de partículas en un cierto referencial se define simplemente como la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales en ese mismo referencial; o sea
p [17.7]
N i 1
p (^) i
Para establecer el teorema de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas será conveniente escribir la ecuación del movimiento de la partícula i -ésima [17.4] en la forma^2
d p (^) i [17.8] d t
F i ,ext F i ,int
Evidentemente, podemos escribir una ecuación análoga para cada una de las N partículas del sistema. Sumando miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos
[17.9]
N
i 1
d p (^) i d t
N i 1
F i ,ext
N i 1
F i ,int
El primer miembro de esta ecuación puede reescribirse en la forma
[17.10]
N
i 1
d p (^) i d t
d d t
N i 1
p (^) i^ d p d t El primer sumatorio del segundo miembro de [17.9] representa la suma (vectorial) de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, o sea, la resultante de las fuerzas externas , que representaremos por F ext
F ext [17.11]
N i 1
F i ,ext
El segundo sumatorio del segundo miembro de [17.9] representa la suma de todas las fuerzas internas que actúan sobre las partículas del sistema. Supongamos que la fuerza F i ,int que actúa sobre la partícula i -ésima pueda representarse con la suma de fuerzas independientes debidas a la interacción de la partícula i -ésima con las
(^2) Suponemos que hemos adoptado un cierto referencial inercial a fin de evitarnos la
"aparición" de fuerzas de inercia.
§17.2.- Cantidad de movimiento. 493
N -1 partículas restantes [17.3] y que dichas fuerzas cumplan la tercera ley de Newton, al menos en lo que podemos llamar su forma débil^3 ; es decir que
F (^) ij F (^) ji [17.12]
sin que ello implique que esas fuerzas deban estar sobre la recta que une la partícula i -ésima con la partícula j -ésima. Bajo estos supuestos, es fácil comprender que las fuerzas internas al sistema se irán cancelando por parejas (de acción-reacción) de modo que
[17.13]
N i 1
F i ,int
N i 1
N j 1
′ F (^) ij 0
Sustituyendo los resultados [17.10] , [17.11] y [17.13] anteriores en [17.9] tenemos un importante resultado:
d p [17.14] d t
F (^) ext
Esto es:
La rapidez con que cambia la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Este enunciado constituye el teorema de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas, que no es más que una generalización de la ecuación del movimiento de una sola partícula F = d p /d t a un sistema de partículas. El teorema de la cantidad de movimiento establece que
solamente las fuerzas externas al sistema pueden modificar la cantidad de movimiento total del mismo.
Las fuerzas internas al sistema modificarán las cantidades de movimiento individuales de las partículas. Puesto que las fuerzas internas son iguales y opuestas, producirán cambios iguales y opuestos en las cantidades de movimiento de las partículas individuales, de modo que dichos cambios se compensarán entre sí y no contribuirán al cambio en la cantidad de movimiento total.
§17.3. Conservación de la cantidad de movimiento.- Como consecuencia inmediata del teorema de la cantidad de movimiento se tiene el correspondiente principio de conservación. Si suponemos que la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema de partículas es cero, entonces, de acuerdo con la expresión [17.14] , tenemos
d p [17.15] dt
0 ⇒ p
N
i^1
p (^) i cte
(^3) Algunos autores prefieren la denominación de forma amplia.
§17.3.- Conservación de la cantidad de movimiento. 495
ley de Newton. Es obvio que resulta poco satisfactorio basar la deducción de esta ley de conservación en la hipótesis de fuerza newtonianas. En realidad, al establecer que la suma de todas las fuerzas internas al sistema es igual a cero [17.13] hemos hecho unas suposiciones más restrictivas de lo necesario sobre el carácter de dichas fuerzas. Podemos llegar al mismo resultado [17.13] sin hacer mención alguna a la tercera ley de Newton; ni tan siquiera es preciso admitir que las partículas del sistema interactúen por parejas. Bastará suponer únicamente que las fuerzas internas sean tales que no se realice trabajo neto alguno si todas y cada una de las partículas del sistema experimentasen un mismo desplazamiento virtual^4 δ r a partir de su posición en un instante dado cualquiera. Esta suposición equivale a admitir que, desde el punto de vista general de la conservación de la energía, el espacio es homogéneo. Si movemos el sistema en conjunto desde su posición actual hasta otra posición ligeramente des- plazada en el espacio, sin alterarlo en nada más (misma estructura interna, mismas velocidades de las partículas individuales, ...), la distribución de los diversos tipo de energías (potencial y cinética) en él no habrán podido realizar trabajo neto. Evidentemente, descartamos la existencia de campos (fuerzas) externos al sistema. El trabajo realizado por la fuerza F i ,int en el desplazamiento virtual elemental δ r es
Figura 17.
δ W (^) i F i ,int δ r [17.16]
de modo que el trabajo neto realizado por todas las fuerzas interiores es
δ W [17.17]
N i 1
δ W (^) i (
N i 1
F i ,int ) δ r
donde hemos sacado δ r como factor común, por ser el mismo para todas las partículas. Puesto que hemos supuesto que δ W = 0, tendremos
(^ N [17.18] i 1
F i , int ) δ r 0
relación debe verificarse para cualquier desplazamiento virtual elemental, de modo que será
[17.19]
N i 1
F i , int 0
§17.4. Movimiento del centro de masa.- El teorema de la cantidad de movi- miento [17.14] y el principio de conservación de la cantidad de movimiento [17.15] ad- quieren una forma más expresiva cuando se introduce el concepto de centro de masa de un sistema de partículas.
En la lección anterior, hemos definido el centro de masa de un sistema de partí- culas, como el punto del espacio cuyo vector posición es
r (^) cm [17.20]
N i 1
m (^) i r (^) i N i 1
m (^) i
(^4) El concepto de desplazamiento virtual será definido y desarrollado en §20.10.
496 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
donde mi representa, evidentemente, la
Figura 17.
masa total m del sistema de partículas; discutiremos ahora la importancia física y las propiedades dinámicas del centro de masa de un sistema de partículas. Al variar en el transcurso del tiempo las posiciones de las partículas que constituyen el sistema, también variará la posición del centro de masa del mismo en un referencial dado. Determinaremos la velocidad del centro de masa del sistema derivando respecto al tiempo la expresión [17.20] de su vector de posición; tenemos
v (^) cm d r cm [17.21] d t
m
N i 1
m (^) i
d r (^) i d t
m
N i 1
m (^) i v (^) i
y puesto que p i = mi v i y p = p i , podemos escribir
v (^) cm^1 [17.22] m
N i 1
p (^) i^ p m
o bien p m v cm [17.23]
de modo que:
La cantidad de movimiento total del sistema de partículas ( p ) es la que correspondería al caso en que toda la masa del sistema ( m ) estuviese concentrada en el centro de masa del mismo y se moviese con la velocidad de éste ( v cm ).
Esta es la razón por la que, en ocasiones, se llama a v cm la velocidad del sistema. Así, cuando hablamos de la velocidad de un cuerpo móvil, compuesto por muchas partículas, como pueda ser la Tierra, un automóvil, una molécula, ..., nos referimos en realidad a la velocidad de su centro de masa. En el caso de que se trate de un sistema aislado, o de un sistema sobre el que sea nula la resultante de las fuerzas externas^5 , la cantidad de movimiento total permanece constante en el transcurso del tiempo, conforme el sistema evoluciona, y por consiguiente podemos enunciar el principio de conservación de este modo:
El centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante en un referencial inercial.
(^5) En lo sucesivo, puesto que ambos sistemas tienen un mismo comportamiento en lo que aquí
nos interesa, diremos simplemente, para abreviar, sistema aislado , aunque no se descarte posibilidad de fuerza resultante nula.
498 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
incluso en este segundo caso, al permanecer fija la orientación del SCM respecto al SI, es
Figura 17.
d [17.26] d t (^) I
d d t (^) CM
Definiremos el vector de posición interno r i ′ de la partícula i -ésima como el vector de origen en el centro de masa y de extremo en dicha partícula ( Figura 17.5 ). Esto es,
r (^) i ′ r (^) i r cm [17.27]
Así, de acuerdo con la definición [17.20] del centro de masa, las coordenadas internas r i ′ ( i = 1, 2, ... N ) de las partículas satisfacen la relación
[17.28]
N i 1
m (^) i r (^) i ′ 0
ya que el sumatorio [17.28] , dividido por la masa total m , representa la posición del centro de masa en un referencial cuyo origen es precisamente dicho centro de masa.
La velocidad y la cantidad de movimiento internas de la partícula i -ésima son
v (^) i ′ v (^) i v cm p (^) i ′ m (^) i v (^) i ′ [17.29]
de modo que la cantidad de movimiento total del sistema de partículas en el SCM, o sea la cantidad de movimiento total interna es siempre igual a cero
[17.30]
N i 1
p (^) i ′
N i 1
m (^) i v (^) i ′ 0
como se deduce inmediatamente de [17.28] por derivación. Este último hecho es la razón profunda de la importancia dinámica del centro de masa y el motivo de su elección del modo que se hizo en [17.20].
La cantidad de movimiento interna de un sistema de partículas (aisladas o no) es siempre nula.
§17.6. Momento angular.- Recordemos que el momento angular de una partícula respecto a un punto fijo en un referencial fue definido (§12.2) como el mo- mento de la cantidad de movimiento de la partícula respecto a dicho punto, o sea
L r × p m r × v [17.31]
y que dicho momento angular depende del punto elegido para calcularlo. En el caso de un sistema de partículas, será conveniente, para no perder genera- lidad, calcular el momento angular de cada una de las partículas respecto a un punto
§17.6.- Momento angular. 499
cualquiera Q, que no precisa ser el origen del referencial ni encontrarse fijo en dicho referencial. Definiremos el momento angular de la partícula i -ésima del sistema respecto a dicho punto Q en la forma
L i ,Q m (^) i ( r (^) i r Q ) × ( r˙ (^) i ˙r (^) Q ) [17.32]
donde r Q es el vector de posición del punto
Figura 17.
Q y r i - r Q es el vector de posición de la partícula i -ésima respecto al punto Q. Obsérvese que hemos utilizado la veloci- dad relativa ( ˙r (^) i r˙ (^) Q ) de la partícula i -ési- ma respecto a Q, por lo que L i ,Q es el mo- mento angular de dicha partícula calculado como si el punto Q fuese un origen (de momentos) fijo. Este es el modo más habitual^6 de definir el momento angular respecto a un punto móvil, aunque no es el único^7.
El momento angular total L Q del sistema de partículas respecto al punto Q se define simplemente como la suma vectorial de los momentos angulares de las partícu- las individuales respecto a ese mismo punto, o sea
L Q [17.33]
N i 1
L i ,Q
N i 1
m (^) i ( r (^) i r (^) Q ) × ( r˙ (^) i ˙r (^) Q )
A fin de establecer el teorema del momento angular para un sistema de partículas, necesitaremos calcular la derivada temporal del momento angular total. Comenzamos por derivar la expresión [17.32] para una sola partícula, esto es
d L i ,Q [17.34] d t
m (^) i ( ˙r (^) i ˙r Q ) × ( ˙r (^) i ˙r Q ) m (^) i ( r (^) i r Q ) × ( ¨r (^) i ¨r Q )
comprendiéndose fácilmente que el primer término del segundo miembro es nulo. Desarrollando el último término, se tiene
d L i ,Q [17.35] d t
m (^) i ( r (^) i r Q ) × ¨r (^) i m (^) i ( r (^) i r Q ) × ¨r Q
de modo que teniendo en cuenta que m (^) i ¨r (^) i F (^) i ,ext F (^) i ,int obtenemos finalmente
(^6) Esta elección del punto Q tiene más interés que el puramente académico. En efecto, en un
gran número de problemas asociados con el movimiento del sólido rígido resultará conveniente tomar momentos con respecto a algún punto del sólido que, en general, al moverse con éste, no será estacionario.
(^7) Algunos autores prefieren poner L i ,Q = m (^) i ( r i - r Q ) × v i.
§17.6.- Momento angular. 501
[17.43]
N i 1
N j 1
′( r (^) i r Q ) × F (^) ij
N j 1
N i 1
′( r (^) j r Q ) × F (^) ji
de modo que
M Q,int^1 [17.44] 2
N N i ≠ j
[( r (^) i r Q ) × F (^) ij ( r (^) j r Q ) × F (^) ji ]
Supongamos ahora que las fuerzas internas del sistema cumplan la tercera ley de Newton en su forma fuerte^8 ; es decir, las fuerzas F ij y F ji , entre las partículas i y j , no sólo serán iguales y opuestas, sino que además actuarán a lo largo de la recta que une las dos partículas. Esta condición equivale a decir que las fuerzas son centrales y que sólo son posibles las atracciones o repulsiones puras entre cada pareja de partículas; esta condición puede expresarse como
( r (^) i r (^) j ) × F (^) ij 0 [17.45]
En estos supuestos, la expresión [17.44] del momento interno total nos conduce a
M Q,int^1 2
N N i ≠ j
[( r (^) i r Q ) × F (^) ij ( r (^) j r Q ) × F (^) ij ]
(^1) [17.46] 2
N N i ≠ j
[( r (^) i r (^) j ) × F (^) ij ] 0
de modo que el momento interno total es nulo. El tercer sumatorio de la expresión [17.37] puede desarrollarse así:
[17.47]
[
N i 1
m (^) i ( r (^) i r Q )] × ¨r Q [
N i 1
m (^) i r (^) i (
N i 1
m (^) i ) r Q ] × ¨r Q
[ m r cm m r Q ] × ¨r Q m ( r Q r cm ) × ¨r Q m r Q,cm × ¨r Q
y será nulo si:
a) el punto Q coincide con el centro de masa del sistema (esté acelerado o no).
b) el punto Q no está acelerado en el referencial inercial.
c) la aceleración del punto Q es paralela a r Q,cm ; i.e. , su línea de acción pasa por el centro de masa del sistema. Las aplicaciones más sencillas e interesantes corresponden a los dos primeros casos. Limitaremos nuestra discusión a los casos en que
[ [17.48]
N i 1
m (^) i ( r (^) i r Q )] × ¨r Q m r Q,cm × ¨r Q 0
Finalmente, sustituyendo los resultados anteriores en [17.37] , obtenemos un resultado importante:
(^8) También llamada forma restringida o estricta.
502 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
d L (^) Q [17.49] d t
M Q,ext
Esto es:
La rapidez con que cambia el momento angular de un sistema de partículas, respecto a un punto arbitrario (que cumpla ciertas condiciones), es igual al momento externo total respecto a ese mismo punto. Este enunciado constituye el teorema del momento angular para un sistema de partículas, y no es más que una generalización de la expresión d L /d t = M , para una partícula, a un sistema de partículas. El teorema del momento angular establece que solamente las fuerzas externas ( mejor, su momento ) pueden modificar el momento angular total de un sistema de partículas. Las fuerzas internas al sistema podrán modificar los momentos angulares individuales de las partículas, pero dichos cambios se compensarán de tal modo que no contribuirán al cambio en el momento angular total del sistema. Aunque pudiera parecer reiterativo, conviene insistir en las condiciones en las que es válida la expresión [17.49]. Tanto el momento angular como el momento de las fuerzas externas deberán estar referidos a un mismo punto que deberá satisfacer alguna de las tres condiciones requeridas para la anulación del último sumatorio de [17.37] ; estos requisitos serán fáciles de satisfacer. Además, las fuerzas internas al sistema deberán presentarse como fuerzas de interacción entre pares de partículas y cumplir la tercera ley de Newton en su forma fuerte; estos últimos requisitos pueden ser más difíciles de satisfacer (pensemos en las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas en movimiento).
Ejemplo I.- Péndulo simple en un ascensor.- Consideremos un péndulo simple suspendido del
Figura 17.
techo de un ascensor. Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de la masa pendular en las dos situaciones siguientes: a) El ascensor está en reposo o se mueve con velocidad constante; b) el ascensor esta acelerando en su movimiento ascendente. a) Tomaremos momentos con respecto al punto O (no acelerado) de modo que obtenemos^9
mgl sen θ ml^2 θ ¨ y para pequeñas oscilaciones ponemos senθ ≈ θ,
de modo que θ ¨ g l
θ 0
por lo que la frecuencia de las pequeñas oscilaciones será
(^9) El segundo miembro de la expresión siguiente es , con I O = ml^2 , como veremos
d L O d t
I O θ ¨
en una Lección posterior, aunque suponemos que el lector ya conoce esta expresión de la Física Elemental.
504 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
De nuevo hemos de insistir en que tan sólo el momento angular total se mantiene constante en ausencia de momento externo. En general, el momento angular de cada una de las partículas del sistema no permanecerá constante. La rapidez con que cambia el momento angular de la partícula i -ésima, d L i ,Q/d t , será igual al momento resultante de las fuerzas externas e internas que actúan sobre ella, ( r i - r Q ) × F i , que no tiene por que ser necesariamente nulo. El principio de conservación del momento angular es aplicable tanto en las regiones celestes y macroscópicas como en la Física Atómica y Nuclear aun cuando la Mecánica Newtoniana o Clásica no sea aplicable en estos últimos campos. En realidad, el principio de conservación del momento angular, al igual que el de la cantidad de movimiento, es mucho más fundamental que los principios newtonianos. Al establecer el principio de conservación del momento angular, la tercera ley de Newton, en su forma fuerte, ha jugado un papel decisivo. Pero no siempre se satis- face exactamente la hipótesis de que las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema sean newtonianas, esto es, que aparezcan como parejas de acción-reacción tales que F ij = - F ji (la forma débil de la tercera ley de Newton) y que estén contenidas en la recta que une las dos partículas que interaccionan (la forma fuerte de dicha ley). Como es sabido, la forma fuerte de la tercera ley de Newton queda violada en las interacciones electromagnéticas. Resulta poco satisfactorio basar la conservación del momento angular, que es de carácter más fundamental que la tercera ley de Newton, en la suposición de que se cumpla dicha ley. En realidad, al demostrar que el momento interno total es nulo, hemos hecho unas hipótesis ( forma fuerte de la tercera ley) más restrictivas de lo que realmente era necesario. Podemos demostrar que el momento interno total es cero sin hacer mención alguna a la tercera ley de Newton; ni tan siquiera necesitamos admitir que las partículas del sistema interactúen por parejas. Bastará suponer únicamente que las fuerzas internas sean tales que no realicen trabajo virtual neto en una rotación virtual δθ alrededor de cualquier eje que pase por el punto Q. Desde el punto de vista de la conservación de la energía, esta suposición equivale a admitir que el espacio es isótropo , en ausencia de campos exteriores. El trabajo virtual realizado por la fuerza F i ,int en la rotación virtual elemental δθ es^10
δ W (^) i δθ [( r (^) i r Q ) × F i ,int ]^ [17.51]
de modo que el trabajo virtual neto realizado por todas las fuerzas interiores es
δ W N [17.52] i 1
δ W (^) i δθ
N i 1
[( r (^) i r Q ) × F i ,int ]
y puesto que hemos supuesto que δ W = 0, tendremos
δθ^ N [17.53] i 1
[( r (^) i r Q ) × F i , int ] 0
y como esta relación deberá verificarse para cualquier rotación virtual elemental, deberá ser
M Q,int^ N [17.54] i 1
[( r (^) i r Q ) × F i ,int ] 0
(^10) Más adelante ( vide §22.5) demostraremos esta expresión del trabajo realizado por el momen-
to aplicado en una rotación elemental.
§17.8.- Momentos angulares orbital e interno. 505
§17.8. Momentos angulares orbital e interno.- Hemos dicho anteriormente que siempre es posible separar en dos partes bien diferenciadas el movimiento de un sistema de partículas: el movimiento del centro de masa y el movimiento interno del sistema, esto es, el movimiento de las partículas del sistema respecto a su centro de masa. En el caso de la cantidad de movimiento, ya hemos visto que la cantidad de movimiento interna total del sistema es nula. Veamos, ahora, como se descompone el momento angular total.
Si r i y v i son el vector de posición y la velocidad de la partícula i -ésima respecto al origen de un referencial dado, y r i ′ y v i ′ son el vector de posición y la velocidad de dicha partícula respecto al centro de masa del sistema (vectores de posición y de velocidad internos , Figura 17.5 ), tenemos las relaciones siguientes:
r (^) i r (^) i ′ r cm ⇒ v (^) i v (^) i ′ v cm [17.55]
El momento angular total respecto a un punto Q viene dado por
L Q [17.56]
N i 1
m (^) i ( r (^) i r Q ) × ( v (^) i v (^) Q )
entonces, sustituyendo las relaciones [17.55] en esta expresión, tenemos
[17.57]
L Q
N i 1
m (^) i ( r (^) i ′ r cm r Q ) × ( v (^) i ′ v cm v Q )
N i 1
m (^) i ( r (^) i ′ r cm,Q ) × ( v (^) i ′ v cm,Q )
N i 1
m (^) i r (^) i ′ × v (^) i ′ [
N i 1
m (^) i ] r cm,Q × v cm,Q [
N i 1
m (^) i r (^) i ′] × v cm,Q r cm,Q × [
N i 1
m (^) i v (^) i ′]
donde r cm,Q y v cm,Q representan el vector de posición y la velocidad del centro de masa respecto al punto Q. Los dos últimos términos de la expresión anterior son, evidente- mente nulos: el tercero contiene un sumatorio que representa la posición del centro de masa en el referencial del centro de masa; el cuarto contiene un sumatorio que representa la cantidad de movimiento total en el sistema del centro de masa. En definitiva, tenemos
L Q [17.58]
N i 1
m (^) i r (^) i ′ × v (^) i ′ m r cm,Q × v cm,Q
Los dos términos en que se separa el momento angular total L Q tienen una interpretación fácil e interesante.
Tenemos, por una parte^11
(^11) El subíndice Q, que afecta a la cantidad de movimiento total, nos indica que esa cantidad
de movimiento está referida a un referencial que tiene el punto Q como origen, pero que mantiene (continúa...)
§17.8.- Momentos angulares orbital e interno. 507
donde es la constante de Planck. Así, el momento angular orbital del electrón en el átomo de
hidrógeno, sólo puede tomar los valores l ( l 1) donde l ( número cuántico orbital ) toma los valores enteros 0, 1, 2, n -1, ( n es el número cuántico principal , que da lugar a la cuantificación de los valores de la energía). Por otra parte, el momento angular interno o spin del electrón vale /2. La expresión [17.49] del teorema del momento angular es correcta para cualquier punto Q, respecto al que calculamos el momento angular y el momento de las fuerzas, con tal que dicho punto satisfaga alguna de las tres condiciones enunciadas en el §17.6. Así pues, si el punto Q coincide con el centro de masa del sistema, designando por L cm el momento angular interno, tenemos
d L cm [17.61] d t
M cm,ext
Ya hemos visto que el movimiento del centro de masa está determinado por la fuerza total externa que actúa sobre el sistema. Ahora encontramos que el movimiento interno del sistema está determinado por el momento externo resultante respecto al centro de masa. Así pues, si dicho momento externo resultante es nulo ( M cm,ext = 0) el momento angular interno del sistema se conservará constante. Esta es la razón por la que la Tierra se mantiene en rotación con una velocidad angular esencialmente constante alrededor de su eje de rotación, ya que el momento resultante, respecto a su centro de masa, de las fuerzas ejercidas sobre ella por el Sol, la Luna y los otros planetas es nulo (puesto que esas fuerzas pasan por el centro de masa de la Tierra). La ley de la conservación
Figura 17.
del momento angular es válida tal como la hemos formulado en el artículo anterior (recuér- dense las restricciones acerca de la elección del punto Q) para un sistema de cuerpos siempre que estos puedan considerarse como partículas, esto es, siempre que podamos pasar por alto las rotaciones intrínsecas de estos cuerpos considerados individualmente. Cuando tales cuerpos presentan rotaciones sobre sí mismos, el principio de conservación del momento angular seguirá siendo válido, con tal que incluyamos los momentos angulares debidos a esas rotaciones en la evalua- ción del momento angular total del sistema de cuerpos. Así, si consideramos el sistema solar, nos encontraremos con que los cuerpos que lo forman tienen momentos angulares intrínsecos que deben incluirse en el momento angular total para que éste permanezca constante. La conservación del momento angular total juega un papel clave en la valoración de las teorías acerca de la formación del sistema solar, de la evolución de las estrellas y de otros importantes problemas de la Astrofísica.
508 Lec. 17.- Sistemas de partículas. Leyes de conservación.
§17.9. Energía cinética.- Consideremos, de nuevo, un sistema de partículas, en el que cada una de las partículas está sometida a una fuerza que consta de una parte externa, F i ,ext , y otra parte interna, F i ,int, como ya hemos explicado anteriormen- te. En un instante dado, t , cada partícula del sistema ocupa una cierta posición, definida por su vector de posición r i respecto al origen de un referencial inercial dado, y se mueve con una velocidad v i respecto a dicho referencial. En un intervalo de tiempo infinitesimal, d t , cada partícula del sistema experimentará un desplaza- miento infinitesimal d r i , tangente a su trayectoria. Durante ese desplazamiento infini- tesimal, el trabajo elemental realizado sobre la partícula i -ésima del sistema es
d W (^) i F (^) i d r (^) i F i ,ext d r (^) i F i ,int d r (^) i [17.62]
que, en virtud del teorema de la energía cinética (o de las fuerzas vivas), podemos igualar con el cambio elemental experimentado por la energía cinética de la partícula;
d W (^) i d ⎛⎜ [17.63] ⎝
m (^) iv (^) i^2
Evidentemente, podemos escribir una expresión como la anterior para cada una de las N partículas del sistema; sumándolas miembro a miembro, tenemos
d W N [17.64] i 1
F i ,ext d r (^) i
N i 1
F i ,int d r (^) i d
N i 1
m (^) i v (^) i^2
Los dos sumatorios del primer miembro de esta igualdad representan, respectiva-
Figura 17.
mente, el trabajo elemental realizado por las fuerzas externas y por las fuerzas internas^12 al sistema; esto es
[17.65]
d W ext
N i 1
F i ,ext d r (^) i
d W int
N i 1
F i ,int d r (^) i
Análogamente a como hicimos para la cantidad de movimiento y el momento angular, definimos la energía cinética total de un sistema de partículas como la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales; es decir
E k [17.66]
N i 1
1 2 m^ i^ v^
2 i
(^12) En general, el trabajo interno no será nulo. El sólido rígido constituye un caso especial en
el que las condiciones de rigidez permiten asegurar que el trabajo interno será nulo en cualquier movimiento del sistema.
