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15.- Superposición de
movimientos armónicos simples.
§15.1. Principio de superposición (429); §15.2. Teorema de Fourier (432); §15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); §15.4. Fuerzas impulsoras periódicas (436); §15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión (439); §15.6. Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas (452)
§15.1. Principio de superposición.- Las oscilaciones que hemos estudiado en las lecciones precedentes obedecen a una ecuación diferencial de la forma
m¨x γ x˙ kx F ( t ) [15.1]
que es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, no homogénea y de coeficientes constantes. Ya hemos aclarado anteriormente el significado de cada uno de esos términos. Insistiremos ahora en uno de ellos: la ecuación diferencial del movimiento del oscilador armónico amortiguado y forzado es lineal ; i.e. , no contiene potencias superiores a la primera en x , x˙ y ¨x. Así pues, es lineal en x y en sus derivadas respecto al tiempo. Podemos escribir [15.1] , simbólicamente, en la forma
[15.2]
m d^
2 d t^2
γ d d t
k x F ( t )
La cantidad entre paréntesis es un operador diferencial lineal , que representaremos por L, de modo que, con notación compacta, podemos escribir
L x F ( t ) [15.3]
Los operadores diferenciales lineales poseen la propiedad distributiva respecto a la suma de funciones; esto es
L ( x 1 x 2 ) L x 1 L x 2 [15.4]
y también poseen la propiedad asociativa respecto al producto de una función por una constante, de modo que, si es c una constante, será
Manuel R. Ortega Girón 429
430 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
L( cx ) c L x^ [15.5] Como consecuencia de esas propiedades se sigue el Principio de Superposición , de modo que si tenemos dos soluciones, x 1 ( t ) y x 2 ( t ), de la ecuación diferencial [15.1] , correspondientes a dos funciones de fuerza, F 1 ( t ) y F 2 ( t ), diferentes, esto es
L x 1 F 1 ( t ) L x 2 F 2 ( t ) [15.6]
entonces, podemos sumar esas dos soluciones, multiplicadas por sendas constantes arbitrarias, c 1 y c 2 , y obtener
L ( c 1 x 1 c 2 x 2 ) c 1 F 1 ( t ) c 2 F 2 ( t ) [15.7]
Es decir,
las soluciones de la ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1] , correspondientes a diferentes fuerzas impulsoras, son aditivas. Esto significa que si conocemos el movimiento x 1 ( t ) del oscilador bajo la acción de una fuerza impulsora única F 1 ( t ) y el movimiento x 2 ( t ) debido tan sólo a una fuerza impulsora F 2 ( t ), el movimiento que resultará bajo la acción conjunta de esas dos fuerzas impulsoras se obtendrá, sencillamente, sumando x 1 ( t ) y x 2 ( t ). Naturalmente, podemos extender la argumentación anterior para un conjunto de soluciones x (^) n ( t ), con n =1, 2, 3, ... N , de la ecuación diferencial del oscilador, correspondientes, cada una de ellas, a una fuerza Fn ( t ) apropiada. El Principio de Superposición nos permite asegurar que el movimiento resultante bajo la acción conjunta de N fuerzas impulsoras
F ( t ) [15.8]
N
n 1
F (^) n ( t )
es simplemente x ( t ) [15.9]
N
n 1
x (^) n ( t )
Así pues, estamos en condiciones de encontrar una solución particular de la ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1] para una fuerza impulsora cualquiera F ( t ), con tal que sepamos expresar dicha fuerza como una suma de fuerzas F (^) n ( t ) para las que conozcamos las soluciones correspondientes x (^) n ( t ). En particular, si cada una de las fuerzas Fn ( t ) es armónica, de modo que podamos expresar F ( t ) en la forma
F ( t ) [15.10]
N
n 1
c (^) n sen(ω n t θ n )
donde cn ( n = 1, 2, ... N ) son constantes escalares que representan las intensidades máximas de las F (^) n ( t ) respectivas^1 y θ n son los correspondientes ángulos de fase
(^1) Rehusamos la notación F 0, n para evitar el doble subíndice.
432 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
Este resultado puede condensarse en el enunciado siguiente: Si la fuerza impulsora F ( t ) puede expresarse como una serie (finita o infinita) de términos armónicos, entonces, la ecuación del movimiento x ( t ) también puede expresarse como una serie de términos armónicos. Este resultado es muy interesante, ya que, de acuerdo con el Teorema de F OURIER (1768-1830), cualquier función periódica (sujeta a ciertas condiciones que no son demasiado restrictivas) puede desarrollarse en una serie de términos armónicos.
§15.2. Teorema de Fourier.- Una función F( t ) es periódica si existe una cons- tante T , llamada periodo , tal que para todo valor de t =ξ es
F(ξ T ) F(ξ) [15.20]
como se muestra en la Figura 15..
El teorema de Fourier establece que bajo ciertas condiciones (que se suelen cum- plir en la práctica para un gran número de funciones) una función periódica, de
periodo T , definida en el intervalo ξ < t < ξ T puede desarrollarse como una suma de términos armónicos, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia ω=2π/ T , en la forma
F( t ) a^0 [15.21] 2
∞
n 1
( a (^) n cos n ω t b (^) n sen n ω t )
donde los coeficientes a 0 , an y bn ( n = 1, 2,
Figura 15.
... ∞) reciben el nombre de coeficientes de Fourier. La frecuencia ω (que es la más baja) se denomina frecuencia fundamental , y las frecuencias 2ω, 3ω, ... son las frecuen- cias armónicas o sobretonos. Una vez deter- minados los coeficientes a (^) n y b (^) n , de modo que la serie [15.21] sea convergente y su suma sea F( t ), la serie [15.21] recibe el nom- bre de serie de Fourier de la función F( t ). Para calcular los coeficientes a 0 , a (^) n y b (^) n , tendremos en cuenta que, para todo ξ y todo número natural n , son:
[15.22]
ξ T
ξ
sen n ω t d t (^0) ⌡⌠^
ξ T
ξ
cos n ω t d t 0
ξ T
ξ
sen 2 n ω t d t T 2 ⌡
ξ T
ξ
cos 2 n ω t d t T 2
y que para todo m ≠ n ( m y n naturales) son:
§15.2.- Teorema de Fourier. 433
⌡ [15.23]
ξ T
ξ
sen m ω t sen n ω t d t (^0) ⌡⌠^
ξ T
ξ
cos m ω t cos n ω t d t 0
ξ T
ξ
sen m ω t cos n ω t d t 0
En el supuesto de que exista el desarrollo de Fourier [15.21] de la función F( t ) y de que la serie correspondiente sea uniformemente convergente en el intervalo ξ< t <ξ+ T , será lícito integrar, entre los extremos de dicho intervalo, los dos miembros de [15.21] ; entonces, utilizando las expresiones [15.22] , nos queda
[15.24] ⌡
ξ T
ξ
F( t ) d t
a 0 2
T
∞ n 1
( a (^) n 0 b (^) n 0)
de donde se sigue que a 0 2 [15.25] T ⌡
ξ T
ξ
F( t ) d t
Para determinar los coeficientes a (^) n , multiplicaremos por cos n ω t ( n , natural) ambos miembros de [15.21] e integraremos en el intervalo (ξ,ξ+ T ):
[15.26] ⌡
ξ T
ξ
F( t ) cos n ω t d t
a 0 2
0 a (^) n (^) ⌡⌠^
ξ T
ξ
cos 2 n ω t d t 0 0 a (^) nT 2
de modo que a (^) n^2 [15.27] T ⌡
ξ T
ξ
F( t ) cos n ω t d t
y, análogamente, multiplicando ambos miembros de [15.21] por sen n ω t e integrando, se obtienen los coeficientes bn :
b (^) n^2 [15.28] T ⌡
ξ T
ξ
F( t ) sen n ω t d t
Puesto que todos los términos del desarrollo de Fourier tienen el periodo T , si la serie converge hacia F( t ) en el intervalo (ξ,ξ+ T ) también convergerá hacia F( t ) para todos los valores de t. En consecuencia, la serie de Fourier puede servir para representar funciones definidas sólo en el intervalo (ξ,ξ+ T ) o definidas para todo valor de t , siempre que la función sea periódica, de periodo T. El cálculo de los coeficientes de Fourier se simplifica notablemente si ξ=- T /2 y la función F( t ) es impar o par en el intervalo (- T /2, T /2). Una función es impar (Figura 15.3a ), en un intervalo centrado en el origen, si en todo ese intervalo es F( t ) = -F(- t ). Para una función impar, definida en el intervalo (- T /2, T /2), poniendo t ′=- t , se tiene
§15.2.- Teorema de Fourier. 435
a (^) n^4 [15.32] T ⌡
T /
0
F( t ) cos n ω t d t b (^) n 0
Es decir, las respectivas series de Fourier se reducen a una serie de senos si F( t ) es impar, o de cosenos si F( t ) es par. Si F( t ) no es ni impar ni par, su serie de Fourier contendrá términos de ambos tipos. En la Figura 15.3 mostramos un ejemplo de funciones periódicas impar, par y ni-par-ni-impar.
Si la función F( t ) está definida tan sólo en medio periodo , esto es, en el intervalo (0, T /2), como se muestra en la Figura 15.4a , cabe desarrollarla como función impar (serie de senos), como se muestra en la Figura 15.4b , o como función par (serie de cosenos), como se muestra en la Figura 15.4c.
Ejemplo I.- Función en dientes de sierra.- En la
Figura 15.
Figura 15.5 mostramos la representación gráfica de una función en dientes de sierra. Se trata de una función impar, puesto que F( t ) = -F(- t ), cuya expre- sión analítica es:
F( t ) 2 A T
t T 2 ≤ t ≤ T 2
Puesto que la función F( t ) es impar, todos los coefi- cientes a (^) n de su serie de Fourier son nulos y la función en dientes de sierra es desarrollable en serie de senos. Los coeficientes b (^) n vienen dados por [15.31]:
b (^) n^4 T ⌡
⌠
T / 0
F( t ) sen n ω t d t^2 ω
(^2) A π^2 ⌡
⌠
π/ω 0
t sen n ω t d t
2 ω^2 A π^2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
t cos n ω t n ω
sen n ω t n^2 ω^2
π/ω 0
2 ω^2 A π^2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
π n ω^2
cos n π 2 A n π
( 1) n^^1
donde el factor (-1) n+1^ tiene en cuenta que
Figura 15.
cos n π ⎧⎨ ⎩
1 si n es par 1 si n es impar
436 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
El desarrollo en serie de Fourier de la función en dientes de sierra es
F( t ) 2 A π
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
senω t^1 2
sen2ω t^1 3
sen3ω t ...
En la Figura 15.6 representamos gráficamente la expansión en serie de Fourier de la función en dientes de sierra para 2, 4 y 8 términos del desarrollo, respectivamente. Evidentemente, cuantos más términos tomemos, tanto mejor se ajustará la serie de Fourier a la función F( t ) que representa.
§15.3. Convergencia de las series de Fourier.- El estudio de la convergencia de la serie de Fourier para una función dada escapa de los propósitos de este libro. Así que nos limitaremos a exponer, sin demostración, las condiciones que son sufi- cientes para las funciones que normalmente aparecen en las aplicaciones prácticas.
(1) La función F( t ) deberá estar definida en el intervalo ξ< t <ξ+ T.
(2) La función F( t ) y su derivada dF( t )/d t deberán ser continuas o casi conti- nuas en el intervalo de definición (Figura 15.7) ; es decir, sólo podrán tener un número
Figura 15.
finito de discontinuidades de primera especie (de modo que existan los límites F(ξ i^ -^ ) por la izquierda y F(ξ i^ +) por la dere- cha), y sólo podrá tener un número finito de máximos y mínimos en dicho intervalo de definición. Si se satisfacen estas condiciones, llamadas condiciones de DIRICHLET (1805-1859), la serie de Fourier converge hacia F( t ) en todos los puntos de continuidad y hacia [F(ξ i^ -^ )+F(ξ i^ +)]/2 en los puntos de discontinuidad.
§15.4. Fuerzas impulsoras periódicas.- El teorema de Fourier nos permite resolver, al menos en principio, el problema del oscilador forzado para cualquier fuerza impulsora que varía periódicamente con el tiempo. Bastará desarrollar la función F ( t ), correspondiente a la fuerza impulsora, en serie de Fourier en la forma [15.21] ; esto es,
F( t ) a^0 [15.33] 2
∞
n 1
( a (^) n cos n ω t b (^) n sen n ω t )
Entonces, la solución de la ecuación diferencial del oscilador forzado con amortiguamiento, en lo que concierne al estado estacionario, se obtiene de [15.19] sin más que poner ω n = n ω; esto es,
x ( t ) ≡ x ( t τ) (^) [15.34]
m
∞
n 1
a (^) n cos( n ω t δ n ) b (^) n sen( n ω t δ n )
(ω^20 n^2 ω^2 )^2 4 β^2 n^2 ω^2
438 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
respuesta en elongación.
Figura 15.
Una situación crítica, realmente interesante, se presenta cuando alguna de las frecuencias de los armónicos de la fuerza impulsora ( n ω) coincide o está muy próxima a la frecuencia natural del oscilador ( Figura 15.8b ). Entonces, la amplitud de la respuesta ( C (^) n ) correspondiente a dicho armónico será mucho mayor que las amplitudes de los restantes armónicos, sobre todo si el amortiguamiento es muy débil. En estas condiciones, de [15.35] y [15.39] se sigue
δ n^ π [15.40] 2
C (^) n
c (^) n 2 m β n ω 0
que es la amplitud correspondiente a la resonancia del armónico n ω de la fuerza impulsora con la frecuencia natural del oscilador débilmente amortiguado^2 (β«ω 0 ), que podrá llegar a ser muy grande si el amortiguamiento es muy débil (β→0).
Obsérvese que una fuerza periódica no sinusoidal, cuya frecuencia (fundamental) sea ω 0 / n ( n , natural) puede forzar en el oscilador una oscilación casi sinusoidal (m.a.s.) con su frecuencia natural ω 0. Este es el caso, por ejemplo, cuando empujamos un columpio con una fuerza impulsiva a intervalos regulares de tiempo que sean múltiplos de su periodo natural. Una generalización del teorema de la serie de Fourier es el Teorema de la Integral de Fourier , que nos permite representar cualquier función no periódica, que cumpla ciertas condiciones, como una superposición de funciones armónicas. La diferencia fundamental entre el teorema de la serie de Fourier y el de la integral de Fourier estriba en que en éste, en lugar de representarse la función mediante un espectro discreto de términos armónicos (de frecuencia ω, 2ω, 3ω, ...), se representará mediante un espectro continuo de frecuencias. La amplitud correspondiente a cada frecuencia está dada por una función llamada transformada de Fourier de la función dada. Por medio de la serie e integral de Fourier puede resolverse la ecuación diferencial del oscilador para casi todas las fuerzas F ( t ) físicamente posibles. No insistiremos más sobre el tema; nos bastará recordar que aun cuando el cálculo resulte demasiado complejo
(^2) Al considerarlo débilmente amortiguado no es necesario distinguir entre las frecuencias de
resonancia en amplitud y en absorción de potencia.
§15.4.- Fuerzas impulsoras periódicas. 439
en la mayoría de los casos, ya es bastante útil de por sí que sepamos que siempre será posible encontrar la solución.
§15.5. Superposición de dos m.a.s. en una dimensión.- De acuerdo con el principio de superposición, las soluciones de la ecuación diferencial del movimiento del oscilador [15.1] , correspondientes a diferentes fuerzas impulsoras, son aditivas. Ya hemos visto lo que eso significa y como el teorema de Fourier nos permite resolver el problema del oscilador para cualquier fuerza impulsora periódica. Vamos a estudiar ahora un problema mucho más sencillo. Nos interesaremos en la respuesta en elongación de un oscilador, en el estado estacionario, que corresponde a la acción conjunta de dos fuerzas impulsoras armónicas, cuyas frecuencias serán ω 1 y ω 2 , que actúan en una misma dirección (problema unidimensional). Las respuestas a esas dos fuerzas, por separado, serán
[15.41]
x 1 ( t ) A 1 sen(ω 1 t ψ 1 )
x 2 ( t ) A 2 sen(ω 2 t ψ 2 )
y la elongación o respuesta resultante de la superposición de esos dos movimientos armónicos simples será sencillamente
x ( t ) x 1 ( t ) x 2 ( t ) A 1 sen(ω 1 t ψ 1 ) A 2 sen(ω 2 t ψ 2 ) [15.42]
A continuación, discutiremos las características de esa respuesta para tres casos de interés.
§15.5.a. Frecuencias iguales.- Esto es, ω 1 =ω 2 =ω. En este caso, el movimiento resultante es un m.a.s. de la misma frecuencia (ω). Para comprobar que es así, determinaremos su amplitud ( A ) y su ángulo de fase inicial (ψ) desarrollando las expresiones [15.41]
[15.43]
x 1 ( t ) A 1 sen(ω t ψ 1 ) A 1 senω t cosψ 1 A 1 cosω t senψ 1
x 2 ( t ) A 2 sen(ω t ψ 2 ) A 2 senω t cosψ 2 A 2 cosω t senψ 2
y sumándolas
x ( A 1 cosψ 1 A 2 cosψ 2 ) senω t ( A 1 senψ 1 A 2 senψ 2 ) cosω t [15.44]
La respuesta resultante será de la forma
x A sen(ω t ψ ) A senω t cosψ A cosω t senψ [15.45]
e identificando las expresiones [15.44] y [15.45] se tiene
[15.46]
A senψ A 1 senψ 1 A 2 senψ 2
A cosψ A 1 cosψ 1 A 2 cosψ 2
§15.5.- Superposición de dos m.a.s. en una dimensión. 441
Figura 15.
A A 1 A 2 ψ ψ 1 [15.50]
esto es, se produce una atenuación en la amplitud de las oscilaciones. En particular, si A 1 = A 2 , los dos movimientos se cancelan mutuamente.
(3) Si es ψ 1 =ψ 2 ± π/2, decimos que los dos m.a.s. componentes están en cuadra- tura ( Figura 15.10c ). Los dos fasores son, en este caso, perpendiculares entre sí, y
tenemos A^2 A (^) 12 A (^) 22 ψ ψ 2 arctg [15.51]
A 1
A 2
§15.5.b. Frecuencias diferentes.- Consideraremos
Figura 15.
ahora el caso más general, expresado por [15.41] , en el que tenemos dos oscilaciones de amplitudes diferentes ( A 1 y A 2 ) y de frecuencias también diferentes (ω 1 y ω 2 ). En una representación fasorial, esta situación corresponde a la de sumar dos vecto- res rotantes que giran con diferente velocidad angular, como se muestra en la Figura 15.11 de modo que el ángulo que forman (o sea, la diferencia de
442 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
fase entre ambas oscilaciones) va cambiando continuamente. En estas condiciones, es fácil comprender que carece de significado apreciable la especificación de cualquier diferencia de fase inicial (entre los m.a.s. componentes) que sea distinta de cero. Así pues, y sin perder generalidad en nuestras valoraciones, podemos escribir
x 1 ( t ) A 1 sen ω 1 t x 2 ( t ) A 2 sen ω 2 t [15.52]
El movimiento resultante de la superposición de estos dos m.a.s. ya no es un m.a.s., puesto que el fasor resultante ni tiene módulo constante ni rota uniforme- mente. En cuanto a la "amplitud" del movimiento resultante, se desprende fácilmente de la observación de la Figura 15.11 que
A^2 A (^) 12 A (^) 22 2 A 1 A 2 cos (ω 1 ω 2 ) t [15.53]
de modo que su valor está comprendido entre A 1 + A 2 (cuando [ω 1 - ω 2 ] t= 2 n π) y A 1 - A 2 (cuando [ω 1 - ω 2 ] t =(2 n +1)π). Se dice que la amplitud está modulada. A menos que exista una relación sencilla entre ω 1 y ω 2 , el desplazamiento resultante será una función complicada del tiempo y quizás no llegue a repetirse nunca. Para que exista una periodicidad en el movimiento resultante será necesario que los periodos T 1 y T 2 sean conmensurables ; es decir, que existan dos números naturales, n 1 y n 2 , tales que
T n 1 T 1 n 2 T 2 [15.54]
El periodo del movimiento resultante es, entonces, el valor de T obtenido utilizando
Figura 15.
los valores enteros más pequeños de n 1 y n 2 que satisfagan dicha relación. Así, por ejemplo, si T 1 =1s y T 2 =2.5s, entonces T 1 / T 2 = 1/2.5 = 2/5 = n 2 / n 1 , y son n 1 =5 y n 2 =2, de modo que el periodo del movimiento resultante es T = 5 1 = 2 2.5 = 5 s. En la Figura 15.12a se ilustra el resultado de la combinación de dos m.a.s. de este tipo, con amplitudes A 1 =2 y A 2 =3, cuyos "ceros" coinciden en el instante inicial ( t =0). En la Figura 15.12b mostramos la misma combinación cuando son los máximos de elongación los que coinciden en el instante inicial (ψ 1 =ψ 2 =π/2, en [15.41] ). Obsérvese como el aspecto del resultado puede depender marcadamente de la fase inicial de las oscilaciones que se combinan.
444 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
cuya frecuencia (ω) es igual al valor medio de las dos frecuencias que se combinan, pero cuya amplitud A res no permanece constante, sino que varía periódicamente con el tiempo, con una frecuencia mucho menor ([ω 1 - ω 2 ]/2), de modo que en cada ciclo de esta variación están incluidos muchos ciclos ( ¿cuántos? ) de la oscilación básica. En la Figura 15.13 se muestra el resultado de combinar dos oscilaciones armónicas simples, cuyas frecuencias respectivas son 40 Hz y 36 Hz. Puede observarse que la oscilación resultante, cuya frecuencia es (ν 1 +ν 2 )/2 = 38 Hz, tiene su amplitud modulada con una frecuencia que es la diferencia, ν 1 - ν 2 = 4 Hz, entre las frecuencias de las oscilaciones que se combinan, de modo que se anulará 4 veces por segundo. Repárese en que la frecuencia de la pulsación es νp= ν 1 - ν 2 y no ν 1 - ν 2 /2, como podría sugerir una primera impresión de la ecuación [15.56]. Es fácil producir pulsaciones acústicas haciendo vibrar dos diapasones idénticos, a uno de los cuales se le haya ajustado una pequeña mordaza en uno de sus brazos a fin de alterar ligeramente la frecuencia natural de sus vibraciones. En este caso, la pulsación se manifiesta como reforzamientos y debilitamientos periódicos en la intensidad del sonido que percibimos. Se hace uso del fenómeno de las pulsaciones en el proceso de "afinado" de un instrumento musical de cuerdas dobles, como un piano, un laúd, ...; las pulsaciones desaparecen cuando las dos cuerdas dan la misma nota.
§15.6. Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares.- Vamos a estudiar ahora un problema esencialmente diferente al considerado en los artículos anteriores. Nos vamos a interesar por el resultado de combinar dos m.a.s., que tienen lugar en direcciones perpendiculares entre sí, de modo que el movimiento real resultante es un verdadero movimiento bidimensional. Este problema tiene un interés físico considerable, y su estudio en el contexto de esta lección es adecuado porque se sirve de las mismas técnicas que hemos utilizado anteriormente para la combinación de dos m.a.s. en la misma dirección. Las consideraciones que haremos pueden generalizarse fácilmente para la superposición de tres m.a.s. en direcciones perpendiculares entre sí; entonces, el movimiento real será tridimensional. Este será el caso, por ejemplo, de las vibraciones de un átomo ligado elásticamente dentro de la estructura esencialmente tridimensional de una red cristalina. Limitándonos a la situación bidimensional, podemos considerar tres casos de interés.
§15.6.a. Frecuencias iguales.- Consideremos una partícula de masa m que se
Figura 15.
encuentre inicialmente en reposo en una posición P( x 0 , y 0 ) (Figura 15.14 ), en un campo de fuerzas centrales cuya ley de la fuerza es
F k r [15.60] donde k es una constante esencialmente positiva (cons- tante elástica). En estas condiciones es fácil comprender que el movimiento de la partícula será un m.a.s. a lo largo de la recta que une el punto P con el origen O (centro de fuerzas); la frecuencia de las oscilaciones será ω k / m Consideremos ahora el caso más general en el que la partícula posea una velocidad inicial ( v 0 ) que no tenga
§15.6.- Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares. 445
la misma dirección que la fuerza F (Figura 15.15 ). En estas
Figura 15.
condiciones es evidente que la trayectoria de la partícula no será rectilínea. Puesto que la fuerza es central, el movimiento de la partícula deberá estar contenido en el plano definido por los vectores v 0 y F , y se cumplirá la ley de las áreas. Tomaremos el centro de fuerzas O como origen de un sistema de coordenadas cartesianas ( xy ), cuyos ejes estén contenidos en el plano en el que tiene lugar el movimiento. Entonces, podemos escribir
F k r kx i ky j [15.61]
de modo que la segunda ley de Newton nos permite poner
kx m¨x ky m¨y [15.62]
y las proyecciones de la ec. diferencial del movimiento de la partícula sobre los ejes coordenados son
¨x ω^2 x 0 ¨y ω^2 y 0 [15.63]
donde hemos puesto ω^2 = k / m , como en los artículos anteriores. Las soluciones de estas ec. dif. son
x A sen(ω t α) y B sen(ω t β) [15.64]
respectivamente, donde A , B , α y β son cuatro constantes que deberán evaluarse a partir de las condiciones iniciales ( x 0 , y 0 , ˙x 0 , y˙ 0 ). Las funciones [15.64] constituyen las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y representan dos m.a.s. en direcciones perpendiculares, de la misma frecuencia, pero, en general, con diferentes amplitudes y fases iniciales.
Obtendremos la ecuación algebraica de la trayectoria eliminando el tiempo t entre las dos ecuaciones paramétricas [15.64] del movimiento de la partícula. Poniendo δ=α-β, tenemos
x A sen(ω t β δ) A sen(ω t β) cosδ A cos(ω t β) senδ [15.65]
entonces, teniendo en cuenta que
y [15.66] B
sen(ω t β) ⇒ cos(ω t β) 1 y^
2 B^2
expresiones que sustituiremos en [15.65] para obtener
x [15.67] A
y B
cosδ 1 y^
2 B^2
senδ
§15.6.- Superposición de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares. 447
(2) Si δ=π (en contrafase), entonces es senδ=0 y cosδ=-1, y la trayectoria elíptica degenera, también, en una recta cuya ecuación es
x [15.71] A
y B
0 ⇒ y B A
x
es decir, la trayectoria es una recta de pendiente negativa, como se muestra en la Figura 15.16c. El movimiento es armónico simple como en el caso anterior.
Tanto si δ=0, como si δ=π, la partícula realiza un m.a.s. rectilíneo. La interferen- cia de dos m.a.s. de la misma frecuencia, en fase o en contrafase, da lugar a una polarización rectilínea. (3) Si δ=±π/2, esto es, si los dos m.a.s. están en cuadratura, entonces sen^2 δ=1 y cosδ=0, de modo que la ecuación de la trayectoria es
x (^) [15.72] 2 A^2
y^2 B^2
que es la ecuación de una elipse referida a sus ejes (Figura 15.16d ). En el caso de que sea δ= -π/2 (≡ 3 π/2) la elipse se recorre en el sentido horario. Cuando δ= +π/2 la elipse se recorre en el sentido antihorario. En ambos casos tenemos una polarización elíptica. Si fuese A = B , la elipse se transformaría en una circunferencia, cuya ecuación sería
x^2 y^2 A^2 [15.73]
Hablamos entonces de polarización circular. El movimiento circular puede considerarse como la combinación de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares, de la misma amplitud y frecuencia, en cuadratura. (4) Cuando δ no cumple ninguna de las condiciones anteriores el movimiento
Figura 15.
resultante es, como ya hemos visto, elíptico, pero los ejes de la elipse están girados respecto a los ejes coordenados. Hablamos de polarización elíptica en este caso.
448 Lec. 15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
Puesto que la fuerza F es central, la partícula cumple con la ley de las áreas al recorrer su trayectoria. Esto es, su velocidad areolar deberá ser constante
⎡⎢ [15.74] ⎣
d S d t
r × v C
Al ser r = x i + y j y v = x˙ i + y˙ j , tenemos
1 [15.75]
r × v^1 2
x y 0
×
x ˙ y ˙ 0
xy˙ y˙x
y puesto que (^) x˙ ω A cos(ω t α) y˙ ω B cos(ω t β) [15.76]
resulta
C ⎡⎢
d S d t
ω AB [ sen(ω t α)cos(ω t β) cos(ω t α)sen(ω t β) ]
1 [15.77]
ω AB sen(α β) 1 2
ω AB senδ
de modo que la velocidad areolar es proporcional al seno del ángulo de desfase (δ=α-β) entre las dos oscilaciones que se combinan. La velocidad areolar será máxima en la cuadratura (para δ=±π/2, es C = ±ω AB /2) y nula cuando δ=0 o δ=±π, pues entonces la trayectoria es rectilínea.
La expresión [15.77] nos permite determinar el sentido (horario o antihorario) en que se recorre la trayectoria, pues dicho sentido viene dado por el signo de la velocidad areolar, la cual será positiva (sentido antihorario) si O < δ < π, y será negativa (sentido horario) si π < δ < 2π. En la Figura 15.17 presentamos, a modo de resumen, el aspecto de la trayectoria para diversos ángulos de desfase.
§15.6.b. Frecuencias ligeramente diferentes.- Consideremos ahora la combinación de dos m.a.s. perpendiculares cuyas frecuencias respectivas, ω x y ω y son tales que
ω x ω ω y ω [15.78]
siendo tal que [15.79]
ω x ω y ω ω
Las ecuaciones de los m.a.s. que se combinan son
x A sen(ω x t α) y B sen(ω y t β) [15.80]
y pueden escribirse en la forma
x A sen(ω t t α) y B sen(ω t β) [15.81]
