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4.- Cinemática de la partícula.
§4.1. Cinemática (87); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88); §4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93); §4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97); §4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (97); §4.9. Velocidad y aceleración relati- vas (102); Problemas (104)
En las lecciones anteriores hemos pasado revista a un conjunto de conceptos matemáticos que nos resultarán sumamente útiles conforme vayamos desarrollando este curso. Nótese que hasta ahora no hemos considerado ningún fenómeno físico y que sólo hemos preparado las herramientas necesarias para trabajar en la Física.
El fenómeno físico más obvio y fundamental es el movimiento. La Mecánica es la ciencia del movimiento. En un principio, la Física pretendía dar imágenes mecánicas de todos los fenómenos físicos y en tiempos de GALILEO (1564-1642) ya se reconocía el papel hegemónico de la Mecánica, estando condensada esta idea en la proposición ignorato motu , ignoratur natura. Hoy en día se ha renunciado a ese propósito pero, no obstante, los principios de la Mecánica encuentran aplicación en todos los campos de la Física y por ello deberemos comprenderlos bien antes de pasar al estudio de la Termodinámica, del Electromagnetismo y de la Física Atómica y Nuclear. La Mecánica es la rama de la Física que estudia los movimientos y las fuerzas que los producen. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la Mecánica puede dividirse en dos partes: Cinemática o teoría geométrica del movimiento y Dinámica o estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que éstas producen; esta última abarca a la Estática o teoría de las fuerzas y del equilibrio.
Comenzaremos el estudio de la Mecánica preocupándonos por describir adecua- damente el movimiento de los cuerpos (la Cinemática) y dejaremos para más adelante el porqué de esos movimientos (la Dinámica). En la antigüedad se cometió el error de invertir el orden de esos dos problemas. ARISTÓTELES (384-322 AC) se preguntó sobre las causas del movimiento antes de dar una descripción científica del movimiento. Este error impidió el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento durante muchos siglos, hasta que llegó el Renacimiento.
Manuel R. Ortega Girón 87
88 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
§4.1. Cinemática.- La Cinemática estudia en forma abstracta el movimiento, sin preocuparse de las causas del mismo. Los orígenes de la Cinemática hay que buscarlos en el estudio de la cicloide realizado por TORRICELLI (1608-47), continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano de B ERNOULLI (1700-1782). D’A LEMBERT, EULER, K ANT y C ARNOT , entre otros, estudiaron el movimiento prescindiendo de sus causas y fundaron la Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática fue creado por A MPÈRE (1775-1836), quién delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia. Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio , tiempo y móvil. En la Mecánica Clásica^1 se admite la existencia de un espacio absoluto ; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.
Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.
El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado. Así, por ejemplo, podemos considerar la Tierra como un punto material si sólo estamos interesados en su movimiento alrededor del Sol, pero no cuando estemos interesados en el movimiento de la Tierra en torno a su propio eje.
Es importante que no confundamos el concepto de punto material con el de punto geométrico, pues aquél posee un tributo que éste no tiene; la masa inercial , que está íntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como veremos al estudiar la Dinámica. Dado un punto material, con una cierta masa inercial, se precisará un cierto esfuerzo para modificar su estado de movimiento; llamaremos fuerza a cualquier agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos.
§4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales.- Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posición en el espacio en función del tiempo,
(^1) La existencia de un espacio y de un tiempo absoluto son dos hipótesis de partida que están,
en el ámbito de la Mecánica Clásica, fuera de toda posibilidad de experimentación, de modo que la verdad o falsedad de esas ideas salen del campo de la Mecánica Clásica para entrar en el de la Metafísica.
90 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
el observador terrestre la
Figura 4.
Luna describirá una órbita casi circular en torno a la Tierra. Para el observador solar la trayectoria de la Luna será una línea ondu- lante, como se muestra en la Figura 4.3^. Naturalmente, si los observadores conocen su movimiento relativo, po- drán reconciliar fácilmente s u s o b s e r v a c i o n e s respectivas. Dejaremos para más adelante la discusión detallada de como comparar las ob- servaciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Por ahora vamos a suponer que disponemos de un cierto referencial bien establecido y a él vamos a referir todas nuestras observaciones.
§4.3. Movimiento de la partícula.- Comenzaremos la Cinemática con el estudio del movimiento del punto material. La posición de una partícula en el espacio queda determinada mediante el vector de posición r trazado desde el origen O de un referencial xyz a la posición de la partícula P (Figura 4.4). Cuando la partícula se mueve, el extremo del vector de posición r describe una curva C en el espacio, que recibe el nombre de trayectoria. La trayectoria es, pues, el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento. (1) En un sistema coordenado de ejes rectangulares xyz , de origen O, las componentes del vector r son las coordenadas ( x,y,z ) de la partícula en cada instante. Así, el movimiento de la partícula P quedará completamente especificado si se conocen los valores de las tres coordenadas ( x,y,z ) en función del tiempo. Esto es
x x ( t ) y y ( t ) z z ( t ) [4.1]
Estas tres ecuaciones definen una curva en el espacio (la trayectoria) y son llamadas ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Para cada valor del parámetro t (tiempo) las ecuaciones [4.1] nos determinan las coordenadas de un punto de la trayectoria. Vemos que el movimiento real de la partícula puede reconstruirse a partir de los movimientos (rectilíneos) de sus proyecciones sobre los ejes coordenados.
En el caso de que la trayectoria sea plana, esto es, contenida en un plano, si convenimos en que dicho plano sea el xy , será z =0 y podemos eliminar el tiempo t entre las dos primeras ecuaciones de [4.1] para obtener la ecuación de la trayectoria plana en forma implícita, f( x,y )=0, o en forma explícita, y = y ( x ).
(2) Las tres ec. [4.1] se pueden compactar en una sola ecuación vectorial
r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k [4.2]
que es la ecuación vectorial del movimiento.
(3) En ciertos casos puede ser conveniente proceder de un modo distinto,
§4.3.- Movimiento de la partícula. 91
tomando un punto arbitrario O (^) O sobre la
Figura 4.
trayectoria y definiendo un cierto sentido positivo sobre ella. La posición de la partícula P, en cualquier instante t , queda determinada por la longitud del arco s = OO P. Entonces, a cada valor de t le corresponde un valor de s , es decir
s s ( t ) [4.3]
Al parámetro s se le llama intrínseco y la ecuación [4.3] se denomina ecuación intrínseca del movimiento. Evidentemente, dicha ecuación sólo describe el movimiento de la partícula si conocemos de antemano su trayectoria.
§4.4. Velocidad.- Consideremos una partícula que describe una trayectoria cur-
Figura 4.
vilínea en el espacio, como la ilustrada en la Figura 4.5 , y que durante un cierto intervalo de tiempo Δ t pasa de la posición P a la Q. Aunque la partícula se ha desplazado a lo largo del arco PQ=Δ s , el desplazamiento , que es un vector, lo definimos como PQ=Δ r , de modo que el nuevo vector de posición es OQ= r +Δ r. Definimos, entonces, como velocidad media de la partícula durante ese desplazamiento el cociente Δ r /Δ t , esto es
v Δ r [4.4] Δ t Es obvio que < v > es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento Δ r , o sea, secante a la trayectoria. Además, el valor encontrado para < v > dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δ t empleado para medirla. Evitaremos este inconveniente considerando un intervalo de tiempo infinitesimal y definiendo la velocidad en un instante dado como el límite a que tiende el cociente incremental Δ r /Δ t , en el caso de que exista dicho límite, cuando Δ t →0; esto es, como la derivada del vector de posición con respecto al tiempo^2. Por tanto
v lím [4.5] Δ t → 0
Δ r Δ t
d r d t
˙r
Cuando Δ t →0, el punto Q→P, como lo indican los puntos Q′, Q″, ... en la Figura 4.6. Durante el proceso de paso al límite el vector PQ=Δ r cambia continuamente
(^2) Utilizaremos la notación ˙r , ˙x , ... para indicar derivación con respecto al tiempo.
§4.4.- Velocidad. 93
v d s [4.13] d t
v x^2 v y^2 v z^2
§4.5. Aceleración.- En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria,
Figura 4.
queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. La dirección de la velocidad sólo permanece constante, y coincide con la trayectoria, en el movimiento rectilíneo; entonces, para espe- cificarla, será suficiente dar su valor numérico (la celeridad) con el signo adecuado al sentido del movimiento. En la Figura 4.7 se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t +Δ t , cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δ v , en el triángulo vectorial al pie de la Figura 4.7. En estrecho paralelismo con nuestra definición anterior de la velocidad media, definiremos ahora la acele- ración media de la partícula, en el intervalo Δ t , como el cociente
a Δ v [4.14] Δ t
que es un vector paralelo a Δ v , y, como aquélla, dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δ t empleado en medir el cambio en la velocidad.
La aceleración instantánea la definiremos, análogamente, como el límite a que tiende el cociente incremental Δ v /Δ t cuando Δ t →0; esto es, como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:
a lím [4.15] Δ t → 0
Δ v Δ t
d v d t
˙v
o bien, en función del vector de posición
Figura 4.
a d^ [4.16]
(^2) r d t^2
r¨
La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cambio instantáneo en la velocidad. Como la velocidad cambia en la dirección en que la trayectoria se curva, la aceleración apuntará siempre hacia la concavidad de la curva, como se muestra en
94 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
la Figura 4.8 , y en general no será ni tangente ni normal a la trayectoria. Si tomamos un punto arbitrario (A)
Figura 4.
del espacio y trazamos desde él vectores equipolentes a los vectores velocidad en cada uno de los puntos de la trayectoria, el lugar geométrico de los extremos de dichos vectores define una curva llamada hodógrafa^3 del movimiento. Compa- rando la hodógrafa de la Figura 4.9b con la trayectoria de la Figura 4.9a es fácil comprender que la derivada de la velo- cidad con respecto al tiempo, esto es, la aceleración, será un vector tangente a la hodógrafa y que la celeridad del punto figurativo H sobre la hodógrafa será igual al módulo de la aceleración. En coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta [4.15] y [4.16] y que los versores cartesianos ( i , j , k ) son constantes, podemos escribir
a d v [4.17] d t
d v (^) x d t
i
d v (^) y d t
j
d v (^) z d t
k
a d^ [4.18]
(^2) r d t^2
d 2 x d t^2
i d^
(^2) y d t^2
j d^
(^2) z d t^2
k
o bien, con notación matricial
[4.19] a
a (^) x
a (^) y a (^) z
d v (^) x /d t
d v (^) y /d t d v (^) z /d t
d 2 x /d t^2 d 2 y /d t^2 d 2 z /d t^2
Las componentes de la aceleración en las direcciones de los ejes coordenados son
a (^) x^ d v^ x [4.20] d t
a (^) y
d v (^) y d t
a (^) z
d v (^) z d t
a (^) x^ d^ [4.21]
(^2) x d t^2
a (^) y^ d^
(^2) y d t^2
a (^) z^ d^
(^2) z d t^2
y su módulo es (^) a a^2 x a^2 y a z^2 [4.22]
(^3) De οδος=camino y grafo (=γραϕος, de la raíz γραϕω=escribir, elemento
compositivo que significa «que escribe» o «que describe»). El término «hodógrafa» no aparece en el Diccionario de la Academia, en tanto que sí aparece «odómetro» (aparato para medir el camino recorrido, taxímetro), por lo que entendemos que, en contra de la costumbre, debería escribirse sin «h».
96 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
de modo que combinando las dos
Figura 4.
expresiones anteriores resulta que
d e (^) t^1 [4.27] ρ
d s
o sea
[4.28]
d e (^) t d t
ρ
d s d t
v ρ
que nos da el módulo del vector d e t/d t. Si llamamos e n al versor en la dirección de la normal principal a la curva y en el sentido de la concavidad podemos escribir
d e (^) t [4.29] d t
v ρ
e (^) n
y llevando este resultado a la expresión [4.24] de la aceleración obtenemos finalmente
a d v [4.30] d t
e (^) t^ v
2 ρ
e (^) n
Así pues, en tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas ) mutuamente perpendiculares (Figura 4.10) : una componente tangencial a t (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial , y una componente normal a n (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre va dirigida hacia el centro de curvatura). Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleración son
a t d v [4.31] d t
a n^ v
2 ρ
y la magnitud de la aceleración de la partícula es
a a^2 [4.32] t a
2 n Cada una de estas dos componentes de la aceleración tiene un significado físico bien definido. Cuando una partícula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleración tangencial. Pero si la trayectoria es curva también cambia la dirección de la velocidad y este cambio lo mide la aceleración normal. Si en el movimiento curvilíneo la celeridad es constante ( v =cte), la aceleración tangencial será nula, pero habrá una cierta aceleración normal, dada por [4.31] , de modo que en un movimiento curvilíneo siempre habrá aceleración. Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la
§4.6.- Componentes intrínsecas de la aceleración. 97
aceleración normal se escribe a n = v^2 / R , como ya sabíamos por los cursos elementales de Física. Si la trayectoria es rectilínea, entonces el radio de curvatura es infinito (ρ→∞) de modo que a n =0 (no hay cambio en la dirección de la velocidad) y la aceleración tangencial a t será nula o no según que la celeridad sea o no constante.
§4.7. Triedro móvil.- Anteriormente hemos definido los versores e t (tangente)
Figura 4.
y e n (normal) a una curva alabeada (en el espacio). Definiremos ahora un nuevo ver- sor e b (binormal) mediante el producto vectorial de los dos anteriores; i.e. ,
e (^) b e (^) t × e (^) n [4.33]
de modo que los versores e t, e n y e b , en ese orden, definen un triedro direc- to llamado triedro intrínseco o de Frenet. Este triedro acompaña a la partícula en su movimiento, por lo que también se le llama triedro móvil (Figura 4.12).
Los versores ( e t, e n ) definen, como ya dijimos anteriormente, el plano osculador. Los pares de vecto- res ( e n , e b ) y ( e t , e b ) definen los planos normal y rectificante , respectivamen- te. El vector aceleración está contenido en el plano osculador. Podemos servirnos de la relación a = a t + a n para calcular las componentes in- trínsecas de la aceleración y el radio de curvatura en un punto de la trayectoria. En efecto, multiplicándola escalar y vectorialmente por v obtenemos
v a v ( a (^) t a (^) n ) v a t [4.34]
v × a [4.35]
v 0 (^0) t n b
×
˙v v^2 /ρ (^0) t n b
v^3 /ρ (^) t n b
v^3 ρ
e (^) b v a n e (^) b
y de aquí se sigue
a t ( v a ) [4.36] v
a n^ v^ ×^ a v
κ 1 ρ
v × a v^3
a n v^2
§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento.- Como aplicación de todo lo anteriormente expuesto, estudiaremos a continuación algunos tipos de movimiento de especial relevancia.
§4.8.a. Movimiento uniforme.- Cuando la velocidad es constante (en módulo,
§4.8.- Discusión de algunos tipos de movimiento. 99
r r 0 1 [4.40] 2 a^0 t
2
de modo que la trayectoria es rectilínea y el sentido del movimiento es el de a 0. (2) Si los vectores v 0 y a 0 tienen la misma dirección, entonces la trayectoria es rectilínea y el movimiento será rectilíneo uniformemente acelerado o retardado según que los sentidos de ambos vectores sean iguales u opuestos.
(3) En el caso general, los vectores v 0 y a 0 tendrán direcciones diferentes. Entonces, la ec. [4.39] representa una parábola situada en el plano definido por los vectores v 0 y a 0 y que pasa por un punto del espacio cuyo vector de posición es r 0. Uno de los problemas más interesantes en que se presenta esta situación es el movimiento de los proyectiles.
§4.8.c. Movimiento de un proyectil.- Aplicaremos los resultados anteriores al estudio del movimiento de un proyectil, es decir de un objeto que es lanzado al aire con una cierta velocidad inicial y que se mueve sometido solamente a la acción del campo gravitatorio. Utilizaremos las siguientes hipótesis simplificadoras: (a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la cur- vatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) la altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura; (c) la velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) no tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.
Supongamos que se dispara un proyectil con una velocidad inicial v 0 que forma un ángulo θ 0 con la horizontal. En este problema a = g , siendo g la aceleración gravitatoria. Escogeremos el plano xy coincidiendo con el plano de la trayectoria (definido por v 0 y g ), con el eje y vertical y dirigido hacia arriba y el origen O coincidiendo con la posición de disparo del proyectil. Tenemos
r [4.41] 0 0 v 0
v 0 cos θ 0 v 0 sen θ 0 (^0) ijk
a g
g (^0) ijk
De acuerdo con la ec. [4.38] , la velocidad en un instante genérico t viene dada por
v [4.42]
v (^) x v (^) y (^0) ijk
v 0 cosθ 0 v 0 senθ 0 gt (^0) ijk
y el módulo de la velocidad es
v v^2 [4.43] x v
2 y
formando el vector v (que es siempre tangente a la trayectoria) un ángulo θ con la
100 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
horizontal dado por
tg θ v^ y [4.44] v (^) x
Similarmente, de la ec. [4.39] se sigue para el vector de posición
[4.45] r
x y z
v 0 t cosθ 0 v 0 t senθ 0 12 g t^2 0
que nos proporciona las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si eliminamos el tiempo t entre las expresiones de las componentes x e y del vector de posición, se obtiene la ecuación algebraica de la trayectoria; esto es,
y x tg θ 0 [4.46] g 2 v 02 cos 2 θ 0
x^2
que representa una parábola de eje vertical con la concavidad dirigida hacia abajo.
Figura 4.
Así, pues, el movimiento es parabólico. A partir de las ecua- ciones anteriores podemos obtener mucha información acerca del movimiento del proyectil. Por ejemplo, el tiempo th requerido para que el proyectil alcance la máxima altura h lo encon- traremos anulando la segun- da componente de v en [4.42], ya que en ese punto la velocidad del proyectil es horizontal. La altura máxi- ma h alcanzada por el proyectil y el recorrido horizontal x (^) h realizado hasta ese instante los obtendremos sustituyendo el tiempo th en las componentes del vector de posición r dado por [4.45]:
t [4.47] h
v 0 senθ 0 g
x (^) h
v 02 sen 2θ 0 2 g
y (^) h h
v 02 sen 2 θ 0 2 g
Resulta fácil comprobar que la máxima altura que adquiere el proyectil, para un determinado valor de v 0 , presenta un valor máximo, para θ 0 =90° (disparo vertical, como es obvio). El tiempo t A que emplea el proyectil en retornar al plano horizontal de lanzamiento recibe el nombre de tiempo de vuelo y lo podemos calcular haciendo y =0 en [4.45]. El alcance x A es la distancia horizontal cubierta durante ese tiempo y se determina sustituyendo el valor del tiempo de vuelo en x ( t) dada por [4.45]. Descartando la solución trivial ( t =0, x =0, y =0) tenemos
102 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
de la aceleración la regla de derivación de una función de función. Así, obtenemos la expresión
a d v [4.50] d t
d v d x
d x d t
v d v d x
que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos a = a ( x ) o v = v ( x ). En la Tabla 4. presentamos el modo de abordar diversos problemas de movimiento rectilíneo.
Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ( a =cte) nos llevan a las bien conocidas relaciones
v v 0 a t v^2 v [4.51] 2 0 2 a^ (^ x^ x 0 )^ x^ x 0 v 0 t^
1 2 a t
2
§4.9. Velocidad y aceleración relativas.- Ya hemos indicado anteriormente
Figura 4.
que el movimiento es un concepto relativo porque debe referirse a un referencial particular escogido por el observador. Ya que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante conocer la forma en que se relacionan las obser- vaciones realizadas por aqué- llos. En este artículo sólo vamos a introducir los concep- tos de velocidad y aceleración relativas para observadores ligados a referenciales en movimiento que mantienen una orientación fija en el espacio ( i.e. , traslación, sin rotación) y dejaremos para un tema posterior el análisis del movimiento relativo en el caso más general ( i.e. , traslación y rotación). Consideremos dos partícu- las A y B que se mueven en el espacio y sean r A y r B sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial son
v A d r A [4.52] d t
v B
d r B d t
Los vectores de posición de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por
r BA AB r B r A r AB BA r A r B [4.53]
y las velocidades de B con respecto a A y de A con respecto a B son
§4.9.- Velocidad y aceleración relativas. 103
v BA d r BA [4.54] d t
v AB
d r AB d t
de modo que al ser r BA = - r AB también resulta que v BA = - v AB. Esto es, las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas. Efectuando las derivadas indicadas en [4.54] resulta
d r BA [4.55] d t
d r B d t
d r A d t
d r AB d t
d r A d t
d r B d t
o sea que v BA v B v A v AB v A v B [4.56]
de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Ref. O xyz en la Figura 4.16). Derivando de nuevo las expresiones [4.56] tenemos para las aceleraciones relativas
d v BA [4.57] d t
d v B d t
d v A d t
d v AB d t
d v A d t
d v B d t Los primeros miembros de [4.57] son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador. Tenemos
a BA a B a A a AB a A a B [4.58]
siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.
Figura 4.
Ejemplo I.- Navegando por el río.- Un hombre en un bote navega corriente arriba por un río y lleva una botella medio vacía de whisky sobre la popa del bote. Mientras el bote pasa bajo un puente, una ola reflejada por los pilares del puente choca contra la embarcación y la botella cae al agua, sin que lo advierta el tripulante. Durante 15 minutos, el bote continúa aguas arriba, mientras la botella flota aguas abajo. Al cabo de los 15 minutos, el hombre ve que la botella ha desaparecido, vuelve al bote (prescindamos del tiempo empleado en la maniobra) y navega aguas abajo con la misma velocidad que antes respecto al agua. Coge la botella un kilómetro aguas abajo del puente. La pregunta es: ¿cuál es la velocidad del río? (Adaptado de Biografía de la Física , pág, 218, de George Gamow. Alianza Editorial. Madrid 1980). La resolución del problema es muy simple si lo planteamos en un referencial (el del río) en el que la botella se encuentra en reposo. En este referencial, la velocidad de la barca es la misma (en módulo, no en dirección) cuando se aleja de la botella y cuando regresa para recogerla. Puesto que la botella se encuentra en reposo respecto del río, el tiempo que emplea la barca en regresar hasta la botella será otros 15 min. Así, la botella ha permanecido en el agua 30 min. Durante ese tiempo, la botella ha recorrido 1 km, arrastrada por la
Problemas 105
4.8.- En un cierto instante la celeridad de una partícula es de 20 m/s y el módulo de su aceleración es 3 m/s 2. Los vectores velocidad y aceleración forman, en ese instante, un ángulo de 30°. Determinar la curvatura y el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en ese instante.
4.9.- El movimiento de una partícula queda definido por r = R cos ω t i + R sen ω t j , donde R y ω son constantes. a) Obtener la ecuación f( x,y ) de la trayectoria. ¿En qué sentido se recorre dicha trayectoria? b) De- mostrar que la velocidad de la partícula es en todo momento perpendicular a su vector de posición. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigida hacia el origen y que su módulo es proporcional al módulo del vector de posición. d) Demostrar que r × v es un vector constante.
4.10.- El movimiento de una partícula está definido por las ecuaciones x = a cosω t e y = b senω t , donde a , b y ω son constantes. a) Demostrar que la trayectoria es una elipse. b) Demostrar que, en general, la velocidad de la partícula no es perpendicular al vector de posición de la misma. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigi- da al origen. d) Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración. e) En- contrar las expresiones de la curvatura y del radio de curvatura en los puntos de la trayec- toria.
4.11.- En el dispositivo que se muestra en la
Prob. 4.
figura, las deslizadoras 1 y 2 están unidas por una cuerda flexible, de longitud l , que pasa por una pequeña polea P. Determinar la velocidad y la aceleración de la deslizadora 2 en el instante en que la deslizadora 1 se mueve hacia la derecha con velocidad v 1 y aceleración a 1.
4.12.- El movimiento de una partícula en el plano xy está definido por las ecuaciones para- métricas x = 2 t , y = 4 sen ω t. a) Determinar la ecuación de la trayectoria y representarla gráficamente. b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. c) ¿En qué instantes alcanzan la
velocidad y la aceleración sus valores extremos (máximos o mínimos)? 4.13.- Desde el pie de un plano inclinado, que forma un ángulo α con la horizontal, se dispa- ra un proyectil con una velocidad inicial v 0 que forma un ángulo θ 0 con la horizontal. Determinar el alcance del proyectil medido a lo largo del plano inclinado.
4.14.- Justamente en el instante en que un
Prob. 4.
indio dispara un dardo, apuntando con la cerbatana directamente hacia un mono que está colgado de una rama de un árbol, el mono se suelta y cae libremente ( vide figura). a) De- mostrar que cualquiera que sea la velocidad v 0 de salida del dardo, el mono será siempre alcanzado. b) El "siempre" anterior no es total- mente cierto; hay un valor mínimo de v 0 por debajo del cual el mono no será alcanzado. Determinar dicho valor.
4.15.- Sombrilla de cobertura. El piloto de
Prob. 4.
un avión de caza que va a operar cerca del emplazamiento de un cañón antiaéreo debe conocer la sombrilla de cobertura del cañón, esto es, la envolvente de todas las posibles trayectorias de las proyectiles disparados por el cañón, en el supuesto de que éste pueda cubrir todos los ángulos de disparo, desde el disparo horizontal al vertical ( vide figura). Si consideramos emplazado el cañón en el origen de un sistema coordenado, como se indica en la figura, ¿cuál es la ecuación de la sombrilla de cobertura del cañón? (Se supone que el cañón dispara un tipo único de proyectiles). 4.16.- Un esquiador se desliza por una pista de
106 Lec. 4.- Cinemática de la partícula.
pendiente constante que forma un ángulo θ
Prob. 4.
con la horizontal. Tras haber partido del reposo, recorre una distancia s sobre la pista antes de encontrarse con el borde de un escar- pado vertical de altura H , como se indica en la figura. Al pie de la escarpadura la pista conti- núa con la misma pendiente. Determinar la posición del punto donde cae el esquiador.
4.17.- Una partícula se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas y su velocidad viene dada por v = 8 t^3 i + t^2 j. a) Determinar su trayectoria. b) Obtener las componentes tan- gencial y normal de su aceleración.
4.18.- ¿Cuál debe ser la elevación de disparo de una pieza de artillería para que en el punto más alto de la trayectoria del proyectil se pueda trazar una circunferencia tangente (circunferencia osculatriz) cuyo centro se encuentre situado en la misma horizontal que la pieza?
4.19.- Demostrar las fórmulas de Frenet- Serret : a) d e t/d s = κ e n; b) d e b/d s = - τ e n; c) d e n/d s = -κ e t+τ e b; siendo s la longitud de arco sobre una curva C medida desde un punto fijo de la curva, y κ y τ la curvatura y torsión, respectivamente, de la curva.
4.20.- Demostrar que para una curva plana es τ=0.
4.21.- Demostrar que el vector de aceleración de una partícula que se mueve sobre una curva cualquiera del espacio está siempre contenido en el plano osculador de la trayectoria.
4.22.- Una partícula se mueve describiendo la parábola x^2 = 2 py , donde p es una constante, de modo que la proyección de su velocidad sobre la tangente a la parábola en el vértice de ésta permanece constante e igual a k. a) Deter- minar la velocidad y la aceleración de la partícula. b) Evaluar las componentes intrínse- cas de la aceleración. c) Encontrar las expre- siones da la curvatura y del radio de curvatura
en los puntos de la trayectoria. 4.23.- Las ecuaciones paramétricas del movi- miento de una partícula son: x = R cosω t , y = R senω t , z = bt , donde R , ω y b son cons- tantes. a) Hacer un esquema de la trayectoria. b) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula. c) Determinar las componentes intrínsecas (tangencial y normal) de la acele- ración. d) Calcular el radio de curvatura. 4.24.- En la curva definida en el Problema 4.23, poner R = 3, ω = 1 y b = 4. Determinar: a) el versor tangente; b) el versor normal principal, la curvatura y el radio de la curva- tura; c) el versor binormal, la torsión y el radio de torsión. 4.25.- Dadas las ecuaciones paramétricas (tem- porales) del movimiento de una partícula: x = 2 t , y = t^2 , z = t^3 /3, determinar: a) Las componentes intrínsecas de su aceleración en el instante t =1; b) el radio de curvatura de la trayectoria en dicho instante. 4.26.- Dada la curva del espacio x = t , y = t^2 , z = (2/3) t^3 , determinar: a) su curvatura; b) su torsión; c) las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal en el punto correspondiente a t = 1; d) las ecuaciones de las planos osculador, normal y rectificador en el mismo punto. 4.27.- Una partícula describe una trayectoria elíptica de ecuaciones: x = A cos θ, y = B sen θ, existiendo la relación θ - sen θ = kt , siendo la excentricidad de la elipse, k una constante y t el tiempo. a) Determinar la velocidad de la partícula. b) Encontrar la hodógrafa del movimiento. 4.28.- El movimiento de dos partículas queda definido, respectivamente, por r 1 = 3 t^2 i + 5 t j + t^3 k y r 2 = t i + 4 t^2 j. Determinar la velocidad y aceleración de la segunda partícula respecto a la primera en el instante t = 2 s. 4.29.- La velocidad de un avión con respecto al aire es de 600 km/h. Si sopla un viento procedente del Oeste, con una velocidad de 100 km/h, determinar el rumbo que debe poner el piloto del avión para dirigirse hacia el Norte y calcular cuál será entonces la velocidad del avión con respecto a tierra. 4.30.- Puente aéreo. Un avión emplea 1 h y 15 min para desplazarse entre dos poblaciones separadas por una distancia de 660 km. En el viaje de vuelta emplea sólo 55 min. Suponien- do que tanto en el viaje de ida como en el de vuelta ha soplado un viento constante en una dirección que forma un ángulo de 30° con la
