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21.- Dinámica del sólido rígido.
§21.1. Movimiento de traslación del sólido rígido (620); §21.2. Momento angular del sólido rígido. Coeficientes de inercia (621); §21.3. Tensor de inercia (623); §21.4. Momentos angulares orbital e intrínseco (625); §21.5. Ejes principales de inercia (626); §21.6. Movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo (630); §21.7. Péndulo físico. Teorema de Huygens (632); §21.8. Conservación del momento angular (636); §21.9. Movimiento giroscópico. El trompo (640); §21.10. El giroscopio (643); §21.11. Aplicaciones del movimiento giroscópico (645); Problemas (648)
La dinámica del sólido rígido es un tema complicado y fascinante que posible- mente constituye la cima de la Mecánica Clásica y su parte más difícil. El objetivo principal de este capítulo es plantear las ecuaciones exactas, dentro de las limitaciones de este curso, del movimiento del sólido rígido, de modo que podamos ver cuales son los elementos que intervienen. Para la descripción del movimiento del sólido
Figura 21.
rígido vamos a utilizar dos referenciales ( Figura 21.1 ). Uno será un referencial fijo o referencial del laboratorio^1 , que designaremos por XYZ. El otro será un referencial móvil ligado al cuerpo, al que denominaremos referencial solidario y designare- mos por xyz.
El sólido rígido es un sistema con seis grados de libertad, esto es, necesitamos especificar seis cantidades para determinar la posición y orientación del sólido rígido con respecto a un referencial fijo. Esas seis cantidades pueden ser las tres coordenadas de un punto arbitrario del sólido (normalmente elegiremos el centro de masa), que será asimismo el origen del referencial ligado al cuerpo, y tres ángulos independientes (por ejemplo, los ángulos de Euler) que determinen la orientación del sólido respecto al referencial fijo.
(^1) Llamamos referencial fijo o del laboratorio al referencial en el que describimos el
movimiento del sólido rígido; i.e. , en el que se encuentra el observador. Este referencial podrá ser inercial o no inercial. En lo que sigue, a fin de evitarnos las complicaciones adicionales que se derivarían de la no-inercialidad del referencial del laboratorio, entenderemos que éste es inercial.
Manuel R. Ortega Girón 619
620 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
Cuando existen limitaciones al movimiento del sólido rígido, el número de grados de libertad del mismo se reduce. Así, si el sólido rígido solo puede moverse de modo que uno de sus puntos deba permanecer fijo en el referencial del laboratorio, el número de grados de libertad se reduce a tres; y si son dos los puntos del sólido que deben permanecer fijos en el referencial del laboratorio (entonces se mantiene fija en dicho referencial la recta o eje definida por esos dos puntos) el número de grados de libertad se reduce a uno. Ya sabemos que el movimiento general del sólido rígido puede ser considerado como la superposición de dos movimientos independientes: una traslación de algún punto arbitrario del sólido y una rotación del sólido alrededor de un eje que pasa por dicho punto (teorema de Chasles). Si el punto elegido es el centro de masa, entonces la separación del movimiento en dos partes nos permite aplicar los resultados obtenidos en las lecciones anteriores, ya que tanto el momento angular como la energía cinética pueden separarse en dos partes, relacionadas con el movimiento del centro de masa y con el movimiento del cuerpo respecto a su centro de masa. Puesto que un sólido rígido tiene, en general, seis grados de libertad, el sistema general de ecuaciones del movimiento deberá estar constituido por seis ecuaciones independientes. Tres de estas ecuaciones estarán relacionadas con los tres grados de libertad de traslación; las otras tres lo estarán con los tres grados de libertad de rotación. Estas seis ecuaciones nos las proporcionarán, naturalmente, los teoremas de la cantidad de movimiento y del momento angular, que ya establecimos en la Lec. 17 para los sistemas de partículas, de los que el sólido rígido es un caso particular.
§21.1. Movimiento de traslación del sólido rígido.- El teorema de la cantidad de movimiento nos dice que el cambio de la cantidad movimiento del sólido rígido por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él. Esto es,
d p [21.1] d t
F
donde F representa la resultante de todas las fuerzas externas, y p es la cantidad de movimiento del sólido rígido, que puede expresarse como el producto de la masa ( m ) del sólido rígido por la velocidad ( v cm) de su centro de masa^2 ; i.e. ,
p m v cm [21.2]
De las dos expresiones anteriores se sigue inmediatamente
(^2) Puesto que cualquier partícula del sólido rígido (incluido el centro de masa del mismo) se
encuentra siempre en reposo en el referencial solidario al mismo ( i.e. , xyz ), la velocidad y la ace- leración de cualquier partícula del sólido serán siempre nulas en dicho referencial. En consecuencia, podemos permitirnos utilizar la notación v i y a i para designar la velocidad y la aceleración de la partícula i -ésima del sólido en el referencial fijo XYZ , ya que no hay posibilidad de confusión en el uso de las "minúsculas". Sin embargo, designaremos por R i y r i los vectores de posición de la partícula i -ésima en los referenciales XYZ y xyz , respectivamente, prestando atención al uso de "mayúsculas" y de "minúsculas" puesto que ahora sí que podría haber confusión.
622 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
producto de una propiedad del anillo relacionada con la distribución de su masa en torno al eje de rotación (su momento de inercia I ) por la velocidad angular del anillo en su rotación en torno a dicho eje. Obsérvese que, siendo el momento de inercia I un escalar esencialmente positivo, los vectores L y ω tienen la misma dirección y sentido, al menos en este caso sencillo.
Obtendremos ahora la relación existente entre el
Figura 21.
momento angular y la velocidad angular para el caso general de un cuerpo cuya geometría y distribución de masa sean arbitrarias. Tomaremos un referencial xyz ligado al cuerpo; este referencial no debe con- fundirse con el referencial fijo XYZ ( Figura 21.3 ). Sea ω la velocidad angular instantánea del cuerpo; la velocidad v i de la partícula i -ésima será
v (^) i v (^) o ω × r (^) i [21.9]
y, de acuerdo con la definición del momento angular de un sistema de partículas, dada por [17.34] , el momento angular del sólido rígido con respecto al punto o del mismo, que se encuentra en movimiento con una velocidad v o, será
[21.10]
L
i
m (^) i r (^) i × ( v (^) i v (^) o ) i
m (^) i r (^) i × (ω × r (^) i )
i
m (^) i [ r (^) i^2 ω (ω r (^) i ) r (^) i ]
Como la velocidad angular ω es característica del sólido en su conjunto, afecta del mismo modo a todas las partículas del mismo; en consecuencia, el resultado anterior se puede escribir en función de las componentes de ω. Cada una de las com- ponentes de ω aparecerá multiplicada por una cierta suma en la que intervienen las masas de las partículas y sus coordenadas de posición. Así, la componente x del momento angular será
L (^) x ω (^) x [21.11] i
m (^) i r (^) i^2 i
m (^) i (ω r (^) i ) x (^) i
y puesto que ω r (^) i ω (^) x x (^) i ω (^) y y (^) i ω (^) z z (^) i [21.12]
tenemos L^ x ω^ x [21.13] i
m (^) i ( r (^) i^2 x (^) i^2 ) ω (^) y i
m (^) i x (^) i y (^) i ω (^) z i
m (^) i x (^) i z (^) i
con expresiones análogas para las componentes L (^) y y L (^) z. Esto es, teniendo en cuenta
que r (^) i^2 x (^) i^2 y (^) i^2 z (^) i^2 , podemos escribir:
[21.14]
L (^) x ω (^) x i
m (^) i ( y (^) i^2 z (^) i^2 ) ω (^) y i
m (^) i x (^) i y (^) i ω (^) z i
m (^) i x (^) i z (^) i
L (^) y ω (^) x i
m (^) i y (^) i x (^) i ω (^) y i
m (^) i ( x (^) i^2 z (^) i^2 ) ω (^) z i
m (^) i y (^) i z (^) i
L (^) z ω (^) x i
m (^) i z (^) i x (^) i ω (^) y i
m (^) i z (^) i y (^) i ω (^) z i
m (^) i ( x (^) i^2 y (^) i^2 )
donde vemos que las componentes ω x , ω y , ω z aparecen multiplicadas por unos coefi- cientes que dependen de la distribución de la masa en el cuerpo y de la posición y
§21.2.- Momento angular del sólido rígido. Coeficientes de inercia. 623
orientación del mismo respecto a los ejes xyz. Estos coeficientes reciben el nombre de coeficientes de inercia y coinciden con las definiciones que hemos dado en las Lec. 16 para los momentos de inercia y productos de inercia con respecto a los ejes y planos coordenados, respectivamente. Entonces, utilizando la misma notación ya establecida en la Lec. 16, tenemos
[21.15]
I (^) xx i
m (^) i ( y (^) i^2 z (^) i^2 ) I (^) xy i
m (^) i x (^) i y (^) i I (^) xz i
m (^) i x (^) i z (^) i
I (^) yx i
m (^) i y (^) i x (^) i I yy (^) im^ i ( x^
2 i z^
2 i )^ I^ yz (^) im^ i y^ i z^ i
I (^) zx i
m (^) i z (^) i x (^) i I zy (^) im^ i z^ i y^ i I^ zz (^) im^ i ( x^
2 i y^
2 i )
Con esta notación, reescribiremos las ecuaciones [21.14] en una forma más compacta:
[21.16]
L (^) x I (^) xx ω (^) x I (^) xy ω (^) y I (^) xz ω (^) z
L (^) y I (^) yx ω (^) x I (^) yy ω (^) y I (^) yz ω (^) z
L (^) z I (^) zx ω (^) x I (^) zy ω (^) y I (^) zz ω (^) z
Las ecuaciones [21.14] ó [21.16] ponen de manifiesto que para un cuerpo de forma arbitraria el momento angular L no viene expresado simplemente por el producto de un escalar por el vector velocidad angular, como era el caso en el ejemplo del anillo que nos sirvió de introducción a este artículo. Es decir,
en general los vectores momento angular L y velocidad angular ω no tendrán la misma dirección.
Esta circunstancia es el origen del movimiento complejo que presentan los cuerpos en rotación.
§21.3. Tensor de inercia.- Las ecuaciones [21.16] , que relacionan las componentes del momento angular con las componentes de la velocidad angular a través de los coeficientes de inercia, pueden escribirse en una forma más conveniente utilizando la notación matricial. Así, podemos escribir
[21.17]
L (^) x
L (^) y L (^) z
I (^) xx I (^) xy I (^) xz
I (^) yx I (^) yy I (^) yz I (^) zx I (^) zy I (^) zz
ω (^) x
ω (^) y ω (^) z
definiendo con los nueve coeficientes de inercia una matriz de tres filas y tres columnas, que representamos por II y que llamaremos matriz de inercia ; esto es
II [21.18]
I (^) xx I (^) xy I (^) xz I (^) yx I (^) yy I (^) yz I (^) zx I (^) zy I (^) zz
§21.3.- Tensor de inercia. 625
L [21.22]
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L (^) x L (^) y L (^) z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ I (^) xx 0 0 0 I (^) yy 0 0 0 I (^) zz
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 ω (^) z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 I (^) zz ω (^) z
I (^) zz ω
y, en estas condiciones, resulta que el momento angular es paralelo a la velocidad angular. Esta situación ya se nos presentó en el ejemplo del anillo que giraba alrededor de su eje de simetría de revolución.
El caso de una esfera en rotación alrededor de uno cualquiera de sus diámetros es particular-
Figura 21.4 Figura 21.
mente interesante y sencillo (Figura 21.5). En efecto, al ser nulos todos los productos de inercia res- pecto a tres ejes ortogonales que pasan por el centro de la esfera, la matriz de inercia adopta la forma
II [21.23]
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ I 0 0 0 I 0 0 0 I
o sea (^) L [21.24]
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ L (^) x L (^) y L (^) z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ I 0 0 0 I 0 0 0 I
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ω (^) x ω (^) y ω (^) z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ I ω (^) x I ω (^) y I ω (^) z
I
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ω (^) x ω (^) y ω (^) z
I ω
de modo que, en este caso, siempre será el momento angular paralelo a la velocidad angular.
§21.4. Momentos angulares orbital e intrínseco.- Puesto que el sólido rígido es un caso particular de los sistemas de partículas, resulta obvio que su momento angular en un punto arbitrario del espacio puede descomponerse en dos términos ( vide §17.7): un momento angular orbital o externo asociado con el movimiento del centro de masa del sólido rígido (traslación) y un momento angular intrínseco o interno que representa el momento angular del sólido rígido en su movimiento con respecto a su centro de masa (rotación). Así, consideremos un sólido rígido dotado de un movimiento general (roto- traslatorio) caracterizado por una velocidad de traslación v cm ( i.e. , la velocidad de su
626 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
centro de masa) y una velocidad angular
Figura 21.
de rotación ω. Elegiremos el referencial solidario con origen en el centro de masa del sólido, como se muestra en la Figu- ra 21.. El momento angular orbital o externo del sólido con respecto al punto O, que tomaremos como origen de un referencial fijo XYZ , será
R (^) cm × m v (^) cm R (^) cm × p (^) O [21.25]
que es el momento angular de una partí- cula que tuviera la masa total del sólido, estuviese en el centro de masa del mismo y se moviese con la velocidad de éste. El momento angular intrínseco o interno del sólido rígido lo obtendremos a partir de la definición [21.20] ; esto es,
L (^) cm [21.26] i
m (^) i r (^) i × ( v (^) i v (^) cm ) i
m (^) i r (^) i × (ω × r (^) i ) ... II (^) cm ω
donde el subíndice (^) cm aplicado a la matriz de inercia indica que ésta debe evaluarse en el centro de masa del sólido.
Así, en definitiva, el momento angular del sólido en un punto O arbitrario del espacio ( i.e. , "no perteneciente" al sólido), será
L (^) O R (^) cm × m v (^) cm L (^) cm [21.27]
que representa la formulación del T EOREMA DE KŒNIGS para el momento angular del sólido rígido:
El momento angular de un sólido rígido con respecto a un punto O del espacio puede expresarse como la suma (vectorial) del momento angular de su cantidad de movimiento m v cm, localizada en su centro de masa, respecto del punto O, y de su momento angular respecto a su centro de masa, en una rotación ω alrededor de un eje que pasa por el mismo.
§21.5. Ejes principales de inercia.- Es obvio que obtendremos una mayor simplicidad en las expresiones [21.16] ó [21.20] , que relacionan las componentes del momento angular con las componentes de la velocidad angular, si en la matriz de inercia son nulos todos los elementos no diagonales o productos de inercia; esto es, si la matriz de inercia es de la forma
II [21.28]
I 1 0 0
0 I 2 0
0 0 I 3
pues entonces será
628 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
[21.33]
I (^) xx I^ I^ xy I^ xz I (^) yx I (^) yy I I (^) yz I (^) zx I (^) zy I (^) zz I
El desarrollo de este determinante conduce a la ecuación secular o polinomio ca- racterístico para I , que es un polinomio de tercer grado. Cada una de las tres raíces del polinomio característico corresponde a un momento de inercia respecto a un eje principal. Estos valores I 1 , I 2 e I 3 son los momentos principales de inercia.
Si el cuerpo gira en torno al eje correspondiente al momento principal de inercia I 1 , entonces la ecuación [21.29] se transforma en L = I 1 ω 1 , y tanto la velocidad angular como el momento angular están dirigidos a lo largo de dicho eje. Esto es, la orientación de ω respecto a los ejes xyz ligados al cuerpo será la misma que la del eje principal correspondiente. Por lo tanto, podemos determinar la dirección de este eje principal sustituyendo I 1 en el sistema de ecs^. [21.32] y determinando la relación ω x : ω y : ω z en que se encuentran las componentes de la velocidad angular. De esta forma determinaremos los cosenos directores del eje principal al que corresponde el momento principal I 1. Las direcciones de los ejes principales correspondientes a los momentos principales I 2 e I 3 se determinarán de un modo análogo. Se puede demostrar que las tres direcciones así encontradas son ortogonales. Aunque el proceso de diagonalización de la matriz de inercia nos conduce solamente al conocimiento de la proporcionalidad ω x : ω y : ω z entre las componentes de ω, esto no es un inconveniente, ya que esta proporcionalidad determina completamente la dirección de cada eje principal; es solamente la dirección de dichos ejes lo que nos interesa. Por supuesto que no podemos determinar los valores de ω x , ω y y ω z , puesto que dichos valores no dependen tan sólo de la forma geométrica del cuerpo, sino del valor de la velocidad angular que le proporcionemos. Naturalmente, somos libres para suministrar al cuerpo cualquier velocidad angular que deseemos. En la mayor parte de los problemas que encontraremos en la dinámica del sólido rígido el cuerpo presentará un aspecto regular, de modo que los ejes principales de inercia pueden ser determinados examinando la simetría del cuerpo. Por ejemplo, será muy frecuente que encontremos sólidos que presentan simetría de revolución con respecto a un cierto eje (caso de un cilindro o de un cono de revolución) estando situado sobre dicho eje el origen del referencial ligado al cuerpo. Dicho eje será precisamente uno de los ejes principales de inercia; todas las direcciones perpendicu- lares al eje de simetría de revolución son equivalentes, lo que es característico de una raíz doble de la ecuación secular [21.33]. Por tanto, los ejes principales serán el de simetría y dos cualesquiera perpendiculares entre sí y al eje de simetría.
Si los tres momentos principales de inercia de un sólido rígido son iguales, esto es si I 1 = I 2 = I 3 , al sólido se le denomina peonza esférica ; si es I 1 ≠ I 2 = I 3 , lo denominamos peonza simétrica ; y si los momentos principales de inercia son distintos lo denominaremos peonza asimétrica. Denominaremos rotor a un sólido rígido para el que es I 1 = I 2 e I 3 = 0, como por ejemplo, dos partículas unidas por una barra ligera o una molécula diatómica.
§21.5.- Ejes principales de inercia. 629
Ejemplo I.- Diagonalización de la matriz de inercia.- Determinar los ejes principales de inercia en uno de los vértices de una lámina cuadrada y homogénea. Sea a la longitud del lado de la lámina. Los momentos de inercia Ixx e I (^) yy se determinan a partir de los resultados del Ejemplo X de la Lec. 16, sin más que aplicar el teorema de Steiner:
Figura 21.
I (^) xx I (^) yy^1 12
ma^2 m ⎛⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
a 2
(^2 ) 3
ma^2
y, aplicando el teorema de los ejes perpendiculares , se sigue
I (^) zz I (^) xx I (^) yy^2 3
ma^2
En cuanto a los productos de inercia, son
I (^) xz I (^) zx 0 I (^) yz I (^) zy 0
por estar contenida la lámina en el plano z =0. Obtenemos el producto de inercia I (^) xy aplicando el teorema de Steiner al resultado del Ejemplo X de la Lec. 16:
I (^) xy I (^) yx 0 mx cm y cm m a 2
a 2
1 4
ma^2
Así pues, el tensor o matriz de inercia en el vértice de la lámina es
II
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 3 ma^
2 1 4 ma^
(^2 ) 1 4 ma^
2 1 3 ma^
(^2 )
0 0 23 ma^2
1 12
ma^2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4 3 0 3 4 0 0 0 8
1 12
ma^2 JJ
El polinomio característico de la matriz JJ es
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 4 J 3 0 3 4 J 0 0 0 8 J
(4 J ) 2 (8 J ) 9 (8 J ) 0
cuyas raíces son J 1 1 J 2 7 J 3 8
de modo que los momentos principales de inercia valen
I 1 1 12
ma^2 I 2 7 12
ma^2 I 3 8 12
ma^2
Determinamos las direcciones de los tres ejes principales de inercia sustituyendo los valores de los momentos principales de inercia respectivos en el sistema de ecuaciones [21.32].
Para el eje 1: ( J 1)
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
3 ω x 3 ω y 0 3 ω x 3 ω y 0 7 ω z 0
o sea
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
ω x λ 1 ω y λ 1 ω z 0
ω 1 λ 1
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 1 0
dirección que corresponde a la diagonal de la lámina.
§21.6.- Movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo. 631
tomaremos un punto cualquiera de dicho eje como origen de momentos (centro de reducción). En primer lugar, aplicaremos la ec. [21.34] al caso en el que el eje de rotación fijo
Figura 21.
sea un eje principal de inercia ( Figura 21.9 ). Cuando el sólido gira alrededor de un eje principal, y sólo en ese caso, el momento angular L es paralelo al eje y, por lo tanto, al vector velocidad angular ω; en estas condiciones podemos escribir
L I ω [21.35]
donde I es el momento de inercia con respecto al citado eje principal. El momento externo vendrá dado por
M d L [21.36] d t
d d t
( I ω )
expresión que corresponde al teorema del momento angular para el caso de que la rotación tenga lugar en torno a un eje principal. Obsérvese que, por ser L un vector de dirección constante (en la dirección del eje), el momento M también está dirigido a lo largo del eje.
Si la distribución de masa del cuerpo permanece constante con respecto al eje de rotación, de modo que el momento de inercia I permanece constante, entonces, de [21.36] , se sigue
M I dω [21.37] d t
I α
siendo α la aceleración angular del cuerpo, que tiene también la dirección del eje fijo. La comparación de las ecuaciones [21.36] y [21.37] con las F = d( m v )/d t y F = m a , correspon- diente a la dinámica de la partícula, nos sugiere la existencia de una gran analogía formal entre la rotación del sólido rígido en torno a un eje principal y el movimiento de la partícula. En esta analogía, la masa m de la partícula es reemplazada por el momento de inercia I del sólido, la velocidad v por la velocidad angular ω, la aceleración a por la aceleración angular α y la fuerza F por el momento M. Las ecuaciones [21.36] y [21.37] bien pudieran considerarse como la expresión de la segunda ley de Newton de la rotación del sólido rígido en torno a un eje principal fijo. Si el cuerpo gira alrededor de un eje fijo que no es principal (Figura 21.10 ), entonces la relación entre el momento y la velocidad angular se establece a través de la matriz de inercia
L II ω [21.38]
y si es e el versor en la dirección del eje, de modo que ω = ω e , la proyección del momento angular sobre dicho eje ( i.e. , el momento angular con respecto al eje) es
L (^) e e L ( e II e ) ω I ω [21.39]
632 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
siendo I el momento de inercia del cuerpo con respecto
Figura 21.
al eje de rotación. Entonces, proyectando ambos miembros de [21.34] sobre el eje de rotación
M (^) e^ d L^ e [21.40] d t
d d t
( I ω )
expresión que corresponde al teorema del momento angular cuando la rotación del cuerpo tiene lugar alrededor de un eje fijo cualquiera. Si la distribución de masa del cuerpo permanece constante con respecto al eje de rotación, de modo que el momento de inercia I permanece constante, entonces
M (^) e I dω [21.41] d t Estos resultados difieren de los obtenidos para la rotación en torno a un eje principal en que M (^) e = e M se refiere a la componente del momento externo sobre el eje de rotación, o sea al momento de las fuerzas exteriores con respecto al eje de rotación y no al momento de las fuerzas con respecto al punto O de dicho eje. En adición a la componente Me del momento, dirigida a lo largo del eje de rotación, el momento externo total debe tener una componente normal al eje, requerida para que el cuerpo mantenga una posición fija con respecto al eje de rotación o para que el eje mantenga una orientación fija en el espacio. Más adelante, trataremos con más profundidad este interesante problema.
§21.7. Péndulo físico. Teorema de Huygens.- Como ejemplo de lo anteriormente expuesto, resolveremos un problema interesante: el péndulo físico.
Un péndulo físico o compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa, en el campo gravitatorio. El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ ′ ( Figura 21.11). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación ( ZZ ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo θ, actúan sobre él dos fuerzas ( m g y N ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ ′, en el sentido negativo del mismo; i.e. ,
M (^) e mgh sen θ [21.42]
Si es I O el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ ′ y llamamos θ ¨ a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos
634 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
Es conveniente sustituir en la expresión [21.47] el valor del momento de inercia I O del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ ′ por el momento de inercia I G del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad del péndulo. Así, sirviéndonos del teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo respecto a este último eje, podemos escribir
I O I G mh^2 mK^2 mh^2 m ( h^2 K^2 ) [21.50]
de modo que la expresión [21.47] se transforma en
Figura 21.
[21.51] T 2 π h^
2 K 2
gh En la Figura 21.12 hemos representado gráficamente la función T ( h ). Obtenemos una curva con dos ramas, que correspon- den a colocar el eje de suspensión a un lado u otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramas son simétri- cas respecto al eje vertical, en la práctica bastará con hacer observaciones a un sólo lado del c.d.g.. Como queda bien manifiesto en la representación gráfica de la función T ( h ) dada por [21.51] , el periodo de las oscilaciones presenta un valor mínimo para un cierto valor de la distancia h existente entre el centro de gravedad y el eje de suspensión. A partir de la expresión [21.51] es fácil demostrar que el valor mínimo del periodo se presenta cuando h = K , esto es, cuando la distancia entre el c.d.g. y el eje de suspensión coincide con el radio de giro respecto a un eje que pasa por el c.d.g..
La gráfica de la Figura 21.12 también pone de manifiesto que para un valor del periodo T > T mín existen cuatro puntos (O,O′,Q,Q′) tales que al hacer pasar por ellos el eje de suspensión (en direcciones paralelas entre sí) las oscilaciones del péndulo físico tendrán el mismo periodo. De la simetría de la gráfica de la Figura 21.12 se dedu- ce que los puntos O y Q, son equidistantes del centro de gravedad del cuerpo, y que lo mismo ocurre para los puntos O′ y Q′. Además, dado que la distancia que separa los puntos O y O′, esto es, OO′ = λ, es la misma que separa los puntos Q y Q′ (QQ′ = λ), decimos que los puntos O y O′ son conjugados entre sí; y lo mismo decimos de los puntos Q y Q′. Veamos a que obedece tal denominación.
Cuando el péndulo oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O, dicho punto recibe el nombre de centro de suspensión , y el punto O′, que se encuentra a una distancia λ del punto O, recibe el nombre de centro de oscilación^4.
(^4) El centro de oscilación recibe también el nombre de centro de percusión porque cuando se
aplica a él una percusión (impulso producido por una fuerza de corta duración) su conjugado, esto es, el centro de suspensión, no acusa percusión alguna. El cuerpo tiende a girar alrededor del centro (continúa...)
§21.7.- Péndulo físico. Teorema de Huygens. 635
Si ahora hacemos pasar el eje de suspensión por el punto O′, de modo que sea paralelo al anterior eje de suspensión, el punto O′ pasa a ser el punto de suspensión, en tanto que el punto O pasa a ser el centro de oscilación. Ambos puntos han permutado entre sí sus papeles; por eso se dice que son conjugados. Lo mismo podemos decir para los puntos Q y Q′. Los resultados anteriores constituyen el llamado T EOREMA DE HUYGENS (1629-1695), que podemos enunciar en la forma siguiente:
La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilación O′ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El periodo del péndulo será el mismo en ambos casos. Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible de K ATER, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran precisión^5. Hemos demostrado el teorema de Huygens a partir de unas consideraciones semicualitativas acerca de la simetría de las dos ramas de la curva que representa a la función T ( h ). Veamos ahora una demostración analítica más rigurosa. Consideremos que el eje de suspensión del péndulo pase por el punto O, situado a una distancia h del c.d.g. del cuerpo. Combinando las expresiones [21.49] y [21.50], la longitud reducida del péndulo, respecto a ese eje de suspensión, puede expresarse en la forma
λ I O [21.52] mh
I G mh^2 mh
mK^2 mh^2 mh
h^2 K^2 h
h K^
2 h
Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto, situado sobre la recta OG y que se encuentre a una distancia h ′ del c.d.g., de modo que el periodo de las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale a decir que la longitud reducida del péndulo, respecto a este nuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente (λ=λ′). Podemos escribir^6
λ h^^2 K^^2 [21.53] h
h ′^2 K^2 h ′
h^2 h ′^2 h h ′
( h h ′)( h h ′) ( h h ′)
y, por lo tanto, (^) λ ( h h ′) ( h h ′) ( h h ′) [21.54]
ecuación que tiene dos soluciones:
a) Puede ser h = h ′; i.e. , se trata del punto Q, situado al otro lado del c.d.g. y a la misma distancia de éste que el punto O.
(^4) (...continuación) de suspensión aun cuando no pase por él ningún eje fijo. Analizaremos con más detalle esta cuestión en una lección posterior.
(^5) Prácticas de Laboratorio de Física General , del mismo autor. Práctica nº 10.- Péndulo de Kater.
(^6) Hacemos uso de la siguiente propiedad de las proporciones a b
c d
a ± c b ±d
§21.8.- Conservación del momento angular. 637
inercia aumenta, la velocidad angular debe disminuir y viceversa, de modo que el producto I ω permanezca constante. Los acróbatas (Figura 21.13), clavidistas (Figura 21.14), bailarines de ballet, patinadores sobre hielo... utilizan frecuentemente este principio. Como el momento de inercia depende del cuadrado de la distancia de las partes del cuerpo al eje de rotación, encogiendo o extendiendo los miembros es posible conseguir grandes variaciones en el momento de inercia, de modo que se pueda variar considerablemente la velocidad angular en los giros y volteretas. Un gato logra caer sobre sus patas utilizando el mismo principio, sirviéndose de la cola como apéndice útil. Si el sólido gira alrededor de un eje fijo no principal, entonces de [21.40] con M (^) e = 0, se sigue
L (^) e I ω cte [21.57]
La diferencia entre los resultados expresados por [21.56] y [21.57] radica en que en el primer caso debe ser nulo el momento resultante de todas las fuerzas exteriores que obran sobre el cuerpo, en tanto que en el segundo caso sólo exigimos que sea nula la componente de dicho momento a lo largo del eje de rotación ( i.e. , el mo- mento con respecto al eje); pero, incluso si la rotación es uniforme, existirá (como ya hemos indicado anteriormente) una componente del momento normal al eje de rotación. Esta componente tiende a modificar la orientación del cuerpo con respecto al eje y de hecho lo conseguirá si el sistema no presenta suficiente rigidez. Analizaremos esta situación con un ejemplo sencillo. Consideremos una varilla ligera, con masas idénticas en cada uno de sus extre-
Figura 21.
mos, que forma un ángulo φ con un eje fijo de rotación (apoyado en unos cojinetes, por ejemplo) que pasa por el centro de la varilla. Supongamos que la varilla gira con una velocidad constante ω en torno a dicho eje, como se muestra en la Figura 21.. La experiencia demuestra que este sistema está desequilibrado en el sentido de que, si no tuviera suficiente rigidez, la varilla se colocaría perpendi- cularmente al eje, o bien el eje abandonaría sus apoyos.
En esta situación, puesto que ω = cte (en módulo y en dirección), estaríamos tentados a decir que no se requiere ningún momento externo para mantener el sistema en rotación uniforme en torno al eje fijo, pero de hecho no es así. Para comprobarlo calcularemos el momento angular del sistema con respecto al punto O: i.e. ,
L m r 1 × v 1 m r 2 × v 2 [21.58]
que es, obviamente, un vector perpendicular a la varilla y contenido en el plano determinado por ésta y el eje de rotación (plano sombreado en la Figura 21.15 ). Obsérvese que aunque el módulo del momento angular es constante
L 2 mrv 2 mr^2 ω sen φ [21.59]
638 Lec. 21.- Dinámica del sólido rígido.
su dirección no permanece constante en el trans-
Figura 21.
curso del tiempo, ya que el vector L acompaña a la varilla en su movimiento, de modo que gira (o mejor diremos que precesa ) con una velocidad angular ω en torno al eje de rotación generando una superficie cónica de revolución en torno a dicho eje ( Figura 21.16 ). Al no ser constante el mo- mento angular (por no serlo su dirección), será
M d L [21.60] d t
de modo que se necesita un momento para mante- ner el sistema en rotación uniforme. Esta situa- ción es análoga a la que encontrábamos al estu- diar el movimiento circular uniforme de una partícula: aunque la cantidad de movimiento de la partícula permanece constante en módulo se necesita el concurso de una fuerza (centrípeta) para cambiar su dirección.
Investigaremos ahora cuál deberá ser la dirección del vector M requerido para mantener nuestro sistema en rotación con velocidad angular constante. Observemos que la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación
L (^) e L sen φ (2 mr^2 sen 2 φ) ω [21.61]
es constante, de modo que, de acuerdo con [21.40]
M (^) e^ d L^ e [21.62] d t
o sea que la componente del momento sobre el eje de rotación debe ser nula. Esto equivale a decir que el vector M debe ser perpendicular al eje de rotación, como ya habíamos indicado anteriormente. La ec. [21.34] , d L = M d t , nos indica que la variación d L del momento angular durante un intervalo de tiempo infinitesimal d t es un vector en la dirección del momento M aplicado al cuerpo. Como el vector L tiene módulo constante, será d L ⊥ L (ya que, de L^2 = L L = cte, se sigue 2 L d L = 0). Puesto que el vector L mantiene un ángulo constante π/2 - φ con el eje de rotación, su extremo describe una circunfe- rencia de radio L sen(π/2-φ) = L cosφ y d L es tangente a dicha circunferencia. Para determinar el módulo de M , observemos que
d L ( L cos φ) dθ ( L cos φ) ω d t [21.63]
ya que ω = dθ/d t. Igualando la expresión anterior a M d t , e introduciendo el valor de L dado por [21.59] , nos queda
M ( L cos φ) ω (2 mr^2 sen φ cos φ) ω^2 ( mr^2 sen 2φ)ω^2 [21.64] Podemos llegar al mismo resultado, de una forma más inmediata, si tenemos en cuenta que al ser L un vector de módulo constante que gira (precesa) con una velocidad angular ω, su derivada temporal ( i.e. , el momento) se puede calcular directamente a partir de la expr. [5.50]; i.e. ,
