Baixe MAtematica 3- conteudo sobre conjuntos,dominio,limites e continuidade e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE ÓSCAR RIBAS
CURSO: Engenharia Electromecânica
Professor: Domingos Gonçalves Paulo
Unidade Curricular: Análise Matemática III
1.6 Derivada Direcional.
Definição1.6:
Seja 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e seja 𝒖 = 𝒖
𝟏
𝟐
𝒋 um vector unitário. A derivada direccional
de 𝑓 em 𝑃(𝑥, 𝑦) em direcção de 𝑢, denota-se por 𝐷
𝑢
𝑓(𝑥, 𝑦) e define-se por:
𝑢
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
𝑠→ 0
1
2
As primeiras derivadas parciais de 𝑓 são casos especiais da derivada direccional,
concretamente se 𝑢 = 𝑖, então 𝑢
1
2
= 0 e o limite da Definição1.6 se
reduz a
𝑖
= lim
𝑠→ 0
1
E se 𝑢 = 𝑗, então 𝑢
1
2
= 1 e
𝑗
= lim
𝑠→ 0
2
Se 𝒂 é qualquer vector com a mesma direção que 𝒖, também se afirmará que
𝑢
𝑓(𝑥, 𝑦) é a derivada direccional de 𝑓 na direcção 𝒂.
Teorema 1.6:
Se 𝑓 é uma função diferenciável de duas variáveis e 𝒖 = 𝒖
𝟏
𝟐
𝒋 é um vector
unitário, então
𝑢
𝑥
1
𝑦
2
Exemplo1:
Seja 𝑓
3
2
a) Calcular a derivada direccional de 𝑓 no ponto 𝑃(− 1 , 2 ) na direcção do
vector 𝒂 = 𝟒𝒊 − 𝟑𝒋.
b) Explicar o significado da alínea a) supondo que 𝑓
é a temperatura em
Solução:
a) R:
Se deseja calcular 𝐷
𝑢
para o vector unitário 𝒖 na direcção de 𝒂
1
‖𝒂‖
1
5
4
5
3
5
Como 𝑓
𝑥
2
2
𝑦
3
Do Teorema 1.6 deduz-se que
𝑢
2
2
3
Definição1.6. 2 (Derivada Direcional em termos do Gradiente):
𝑢
Então, para obter a derivada direcional de 𝑓 na direcção do vector unitário 𝒖, se
toma o produto escalar do gradiente de 𝑓 com 𝒖.
O símbolo ∇ é um operador diferencial vectorial e define-se:
Exemplo2:
Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
a) Encontrar o gradiente de 𝑓 no ponto 𝑃( 1 , 2 ).
b) Use o referido gradiente para calcular a derivada direcional 𝑓 no ponto
𝑃( 1 , 2 ) e a direcção de 𝑃( 1 , 2 ) 𝑎 𝑄( 2 , 5 ).
Solução:
a) R: Segue Definição1.6.1:
Portanto no ponto 𝑃( 1 , 2 )
b) R: Se tomamos 𝒂 = 𝑃𝑄,
então
O vector unitário da direcção 𝑃𝑄
é
Aplicando a Definição1.6. 2
𝑫
𝒖
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∇𝑓( 1 , 2 ). 𝒖
= (− 6 𝒊 − 4 𝒋)
1
√
10
(𝒊 + 3 𝒋)
=
1
√ 10
( − 6 − 12
) = −
18
√ 10
≈ − 5. 7.
Teorema 1.6.1:
Seja 𝑓 uma função de duas variáveis que é diferenciável no ponto 𝑃
i) O valor máximo de 𝑫
𝒖
𝑓
( 𝑥, 𝑦
) em 𝑃
é
ii) A taxa de crescimento máxima de 𝑓
( 𝑥, 𝑦
) em 𝑃
se alcança na
direcção de ∇𝑓
Corolario1.6:
Seja 𝑓 uma função de duas variáveis que é diferenciável no ponto 𝑃
i) O valor mínimo de 𝑫
𝒖
𝑓
( 𝑥, 𝑦
) em 𝑃
é −
ii) A taxa de crescimento mínimo de 𝑓
( 𝑥, 𝑦
) em 𝑃
se alcança na
direcção de −∇𝑓
Exemplo3:
Seja 𝑓
2
− 4 𝑥𝑦. Encontrar a direcção em que 𝑓(𝑥, 𝑦) aumenta mais
rapidamente no ponto 𝑃
e também encontrar a taxa máxima de crescimento
em 𝑃.
Solução:
No Exemplo 2 consideramos a função 𝑓 e encontramos que
então pelo Teorema 1.6.1 𝑓(𝑥, 𝑦) cresce mais rapidamente em 𝑃( 1 , 2 ) na
direcção do vector − 6 𝒊 − 4 𝒋. A taxa máxima de crescimento é:
EXERCICIOS DE APLICAÇÃO
- Encontre o gradiente de 𝑓 no ponto indicado.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √
2
2
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7 𝑦 − 5 𝑥, 𝑃( 2 , 6 )
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧
3
2
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦
2
𝑧
- Calcule a derivada direcional de 𝑓 no ponto 𝑃 na direcção indicada.
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
2
√
𝟐
𝟐
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √
𝜋
4
c) 𝑓
d) 𝑓
2
2
