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Tipologia: Exercícios
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Centro Universitário Augusto Motta
Curso de Engenharia Civil
Prof. Marcos Martins
marcos.dmartins@souunisuam.com.br
Conteúdo:
Tensão Normal e Cisalhamento Direto.
Referências:
Timoshenko, S. P. e Gere, J. E.
Mecânica dos Sólidos , vol. 1 e 2
Livros Técnicos e Científicos
Rio de Janeiro, 1983
Hibbeler, R. C.
Resistência dos Materiais, 7ª edição
Pearson Prentice Hall
São Paulo, 2010
Exercício 1. 1 : A barra de aço A-36 mostrada na figura ao lado
é composta por dois segmentos, AB e BD , com áreas de seção
transversal AAB = 800 mm
2 e ABD = 1. 400 mm
2 ,
respectivamente. Determine os deslocamentos verticais
absolutos dos pontos A , B e C , e os deslocamentos do ponto A
relativo ao ponto B e do ponto B relativo ao ponto C. O
módulo de elasticidade longitudinal do aço A-36 é 210 GPa.
Considere a expressão para o cálculo do deslocamento axial
em uma barra dada por E A
solicitante, L é o comprimento da barra, E é o módulo de
elasticidade longitudinal e A é a área da seção transversal.
Figura 1. 1 : Barra de aço submetida a esforço axial.
Solução :
A tabela a seguir apresenta os valores calculados. A linha “Carga” corresponde ao valor de
esforço axial, P , a que cada faixa é submetida. As linhas “Comprimento”, “Módulo de Young” e
“Área da seção” apresentam o comprimento, L , o módulo de elasticidade, E , e a área da seção
transversal, A , de cada faixa, respectivamente. A linha “Desloc. Relativo” apresenta a variação
de comprimento de cada faixa, , de acordo com a expressão =( P. L ) ( E. A ). A linha “Desloc.
Absoluto” calcula os deslocamentos em cada ponto A , B e C de acordo com as expressões:
A = AB + BC + CD , B = BC + CD e C = CD.
Carga: PAB 75000 N PBC 35000 N PCD - 45000 N
Comprimento: LAB 1000 mm LBC 750 mm LCD 500 mm
Mód. Young: EAB 210000 MPa EBC 210000 MPa ECD 210000 MPa
Área da seção: AAB 800 mm^2 ABC 1400 mm^2 ACD 1400 mm^2
Desloc. Relativo: AB 4,46×10-^1 mm BC 8,93×10-^2 mm CD - 7,65×10-^2 mm
Desloc. Absoluto: A 4,5 9 ×10-^1 mm
B 1,28×10-^2 mm
C - 7,65×10-^2 mm
(b) A tabela a seguir apresenta a solução por faixa e, em seguida, os deslocamentos totais. Os
valores do módulo de elasticidade e seção transversal dos trechos a e b são indicados por Ea , Eb ,
Aa e Ab , respectivamente. Os deslocamentos relativos correspondem aos alongamentos de cada
faixa, enquanto os deslocamentos absolutos correspondem aos deslocamentos pontuais.
Carga: PAB P 1 PBC P 1 + P 2
Comprimento: LAB a LBC b
Mód. Young: EAB Ea EBC Eb
Área da seção: AAB Aa ABC Ab
Desloc. Relativo: AB - ( P 1. a )/( Ea.Aa ) BC - [( P 1 + P 2 ). b ]/( Eb.Ab )
Desloc. Absoluto:^ A =^ AB +^ BC =^ - ( P 1. a )/( Ea.Aa )^ -^ [( P 1 +^ P 2 ). b ]/( Eb.Ab )
B = BC = - [( P 1 + P 2 ). b ]/( Eb.Ab )
C = 0
(c) O alongamento produzido por cada trecho infinitesimal dx é calculado por:
x
x
EA
Pdx
onde Px é a carga atuante no elemento infinitesimal e Ax a sua área da seção transversal. Assim,
o cálculo da função deslocamento da barra é dado por:
x
x
x x
Pdx d 0 0
onde x é um ponto qualquer em que se queira calcular o deslocamento total devido à carga
distribuída.
Exercício 1. 3 : [Hibbeler, pág. 23] A barra mostrada na Figura 1. 3 tem área de seção transversal
quadrada com 40 mm de profundidade e largura. Se uma força axial de 800 N for aplicada ao
logo do eixo que passa pelo centróide da área da seção transversal da barra, determine a tensão
normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do plano a - a e
do plano b - b.
Figura 1. 3 : Estado de tensão inclinado.
Solução:
Exercício 1. 4 : [Hibbeler, pág. 24] A escora de madeira mostrada na Figura 1. 4 está suspensa
por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro que está presa na parede. Considerando que a
escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcule a tensão de cisalhamento média na haste e ao
longo dos dois planos sombreados da escora, um dos quais é indicado como abcd.
Figura 1. 4 : Ação de escora de madeira sobre haste de aço.
Solução:
Exercício 1. 6 : [Hibbeler, pág. 35] Os dois elementos estão interligados por pinos em B
conforme apresenta a Figura 1. 6 , que também apresenta vistas em detalhe dos apoios em A e B.
menor diâmetro dos pinos A e B e o diâmetro da haste CB necessários para suportar a carga.
Figura 1. 6 : Estrutura isostática triarticulada.
Solução:
Exercício 1. 8 : [Hibbeler, pág. 37] A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um
disco circular fixo acoplado como mostra a Figura 1. 8. Se a haste passar por um orifício de
40 mm de diâmetro, determine o diâmetro mínimo exigido para a haste e a espessura mínima do
disco necessária para suportar a carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é
Figura 1. 8 : Disco submetido a cisalhamento.
Solução:
Exercício 1. 10 : [Hibbeler, pág. 38] A barra rígida mostrada na Figura 1. 10 é sustentada por uma
haste de aço AC de 20 mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de
1.800 mm
2
. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento simples.
determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique um fator de segurança FS = 2.
Figura 1. 10 : Estrutura isostática em aço e alumínio.
Solução:
