onde ( ,d 1 d 2 ...d (^) t ) é a mantissa, 0 ≤ dj ≤ β − 1, j = 1 , 2 ,...,t ; e é o expoente, e ∈ [ e (^) 1 ,e (^) 2 ], e 1 ≤ 0 e e (^) 2 ≥ 1 sendo números inteiros. Se d (^) 1 ≠0, diz-se que o número está normalizado. Escreva os seguintes números decimais em ponto flutuante na forma normalizada:

a) − 279 , 15 d) 10 , 093

b) 1 , 35 e)

c) 0 , 024712 f) 2019

(^) Um sistema de ponto flutuante pode ser expresso pela função

F = F ( b,t,e (^) min,e (^) max ).

Por exemplo, dado o sistema F (10 , 3 , − 4 , 4), o número x = − 279 , 15 é representado como x = − 0 , 279 × 10 3. Dados os sistemas de aritmética de ponto flutuante a seguir, represente os números (utilize truncamento), indicando possíveis casos de underflow e overflow.

a. F (10 , 3 , − 4 , 4)

i) 1 , 35 ii)0 , 024712 iii) − 10 , 093

iv. π

v. − 0 , 0000007 vi) 102983 , 65

b. F (2 , 4 , − 2 , 2)

i. (10 , 01) 2 ii)(0 , 0100) (^2) iii)−(11 ,

(^2)

iv. (1111 , 01) (^2)

v. (^) −(0 , 001) 2 vi) (1 , 0001) 2

Seja o sistema de ponto flutuante F (β ,t,e 1 ,e 2 ).

a. Qual o menor número, em módulo, diferente de zero que pode ser representado nesse sistema? b. E o maior?

Determine (em valores absolutos) o maior e o menor número representado pelos seguintes sistemas e a quantidade total de números representáveis:

a. F (10 , 3 , − 4 , 4) b. F (10 , 4 , − 4 , 5) c. F (2 , 4 , − 2 , 2)

É possível existir um sistema de ponto flutuante com com 37 elementos? Justifique? Em caso afirmativo, qual a base desse sistema?
O sistema de ponto flutuante F (2 , 10 , − 15 , 15) pode ser representado em um computador da seguinte forma, ocupando ao todo 16 bits:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Onde

Posição 1: sinal da mantissa (0 = + ou 1 = −)
Posições 2 até 11: mantissa (10 dígitos)
Posição 12: sinal do expoente (0 = + ou 1 = −)
Posição 13 até 16: representação do expoente

Por exemplo, os números (23) 10 = (0 , 1011100000) 2 ×2 5 (lembrete: (5) 10 = (101) 2 ) e (− 7 , 125) 10 = − (0 , 1110010000) 2 × 2^3 (lembrete: (3) 10 = (11) 2 ) possuem, respectivamente, a seguinte representação:

E

c. Se a = 42450 e b = 3, qual o resultado de a + b se for usado o arredondamento? E se for usado o truncamento? Justifique o resultado.

Seja o polinômio P ( x ) = 2 , 3 x^3 − 0 , 6 x^2 + 1 , 8 x − 2 , 2. Deseja-se obter o valor de P ( x ) para x = 1 , 61.

a. Calcule P (1 , 61) com todos os algarismos da sua calculadora, sem efetuar arredondamento. b. Calcule P (1 , 61) considerando o sistema F (10 , 3 , − 4 , 3), utilizando arredondamento a cada operação efetuada.

Considere x = 0 , 5289, y = 0 , 8012 e z = 0 , 6024 e operações em ponto flutuante numa mantissa com 4 dígitos (os números são sempre arredondados e normalizados após cada operação). Mostre que:

a. x × ( y + z ) = x × y + x × z b. ( x + y ) + z = x + ( y + z )

Seja o número x = (0 , 3) 10

a. Escreva sua representação binária. b. Escreva sua representação em ponto flutuante normalizado segundo o sistema F (2 , 5 , − 7 , 7), utilizando truncamento. c. Transforme a representação truncada da letra b) em decimal = (?) 10.

d. Calcule o erro absoluto EA (^) x = x − e o erro relativo ER (^) x = EA (^) x/.

(Opcional) mostre que:

a. EA (^) x + y = EA x + EA (^) y

b. EA (^) x − y = EA (^) x − EA y

c. EA (^) xy ≈ x ¯EA y + ¯ y EA x

d. EA

(Opcional) Mostre que: a. ER

b. ER

c. ER xy ≈ ER (^) x + ER (^) y

d. ER x/y ≈ ER (^) x − ER (^) y