Libro-1 psu, Notas de estudo de Matemática

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7 COORDINACIÓN DE CONTENIDOS Y EDICIÓN GENERAL

Nicolás Pinto P. Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas. Universidad de Chile.

Ariel Reyes F. Lic. en Ciencias Exactas. Universidad de Chile.

7 DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN

Nicole Castro B. Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e) Pontificia Universidad Católica de Chile.

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TOMO I NÚMEROS

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PREFACIO

Este libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun7 y Direc- tor del Preuniversitario Gauss.

En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la mo- tivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi forma- ción profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica y de compromiso social.

Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera que quieren, y cumplir sus sueños

Santiago, 2016

Mauricio Chiong

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TOMO I NÚMEROS

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• Prefacio ÍNDICE GENERAL
• Agradecimientos
• 1. Aritmética Básica
  • ¡Bienvenido a PreuGauss!
• 2. Conjuntos Numéricos
  • Conjuntos numéricos y su relación
  • Números Naturales y Enteros
  • Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
  • Números Racionales
  • Números Decimales
  • Aproximación de números racionales
  • Números Irracionales
  • Números Reales
  • Sucesiones (opcional)
  • Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
• 3. Productos Notables
  • Productos Notables
  • Factorización
  • Factorización de trinomios cuadráticos
  • Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
• 4. Potencias y Raíces
  • Potencias
  • Raíces
  • Orden
  • Racionalización
  • Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
• 5. Números Complejos
     • Potencias de la unidad imaginaria
     • Igualdad de números complejos
     • Conjugado y módulo de un número complejo
     • Notación
     • Plano complejo
     • Geometría en el plano complejo
     • Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
• A. Razones y Proporciones - Razones - Proporciones - Proporción Áurea - Ejercicios Propuestos
  • Ejercicios
• B. Porcentajes e Interés - Porcentajes - Operatoria con porcentajes - Interés - Ejercicios propuestos
  • Ejercicios
• C. Sumatorias - Definición - Propiedades de las sumatorias
  • Ejercicios
• Nomenclatura
• Hoja de Respuestas

ARITMÉTICA BÁSICA

CAPÍTULO 1

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- Problemas Cuando hablamos de un problema matemático no nos referimos a que te pidieron lavar la loza, perdiste el tiempo en Facebook, tu madre llegó y estás en problemas. No. Hablamos de una situación que podemos representar con lenguaje matemático, donde generalmente buscaremos descubrir los valores de una entidad desconocida. A esta la llamaremos la Incógnita o Variable , y el proceso para encontrarlo gene- ralmente tiene cuatro pasos:

3 Primer paso Leer cuidadosamente el enunciado.

3 Segundo paso Leer cuidadosamente el enunciado. Lo ponemos dos veces porque es así de importan- te, la mayor cantidad de errores durante la PSU ocurren por falta de atención al leer el enunciado, tómate tu tiempo para entender el ejercicio antes de contestarlo.

3 Tercer paso Determinar cuáles son las incógnitas del problema (por ejemplo: cantidades desco- nocidas, edades, etc). Una vez que las tengas completamente identificadas es reco- mendable hacer una lista, dibujo o esquema si el problema es más complejo. Estas incógnitas o variables deben ser identificadas asi que las identificamos con una le- tra, y para evitar confusiones es ideal que esta letra esté relacionada con lo que la incógnita representa. (por ejemplo: si las variables son las edades de Ana, Jorge y Pedro, entonces las variables que deberíamos usar son A, J y P ).

3 Cuarto paso Transcribir el problema del enunciado a un lenguaje matemático identificando las re- laciones entre tus bautizadas Variables, de tal forma que puedas resolver el ejercicio.

CAPÍTULO 1 / ARITMÉTICA BÁSICA

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CONJUNTOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 2

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TOMO I NÚMEROS

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}

}

}

de la forma a

b

donde a, b ∈ Z y b ≠ 0.

- Números Irracionales () Consiste en el conjunto de todos los números cuya expansión decimal es infinita no periódica - Números Reales () Consiste en el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales - Números complejos (C) Es el conjunto formado por todos los nú- meros que se pueden escribir como la suma entre un número real y el producto de un número real por la unidad imaginaria i

C={ a + bi: a,b ∈R,}

R=  ∪^ 

Símbolos matemáticos Durante tu estudio, te encontrarás a menudo con símbolos que relacionan conjuntos. Aprender a interpretarlos y dominar su uso es clave para tener éxito en la PSU. A continua- ción te presentamos algunos de ellos:

∈ : indica que el elemento pertenece al con-

junto. Ejemplo 2 ∈ se lee como “2 pertene-

ce a “ e indica que el número 2 pertenece al conjunto de los números racionales.

∪ : Unión de conjuntos. Cuando escribimos A ∪B nos referimos al conjunto que incluye tanto a los elementos de A como a los ele- mentos de B.

: Intersección de conjuntos. Cuando escribimos A ∪B nos referimos al conjunto que incluye a los elementos que pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B.

Ejemplo: Si A es el conjunto formado por los números 1, 2 y 4, mientras que B es el conjun- to formado por los números 1, 2 y 3, entonces será A ∪B el conjunto que contiene a los números 1 y 2, mientras que A ∪B contendrá a los números y 1, 2, 3 y 4.

Un conjunto puede ser definido por extensión (indicando todos sus elementos) o por com- prensión (Indicando las propiedades que ca- racterizan a sus elementos). Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 5 puede ser definido por extensión como {1, 2, 3, 4}, mientras que se puede definir por comprensión mediante los símbolos

{x ∈ | x < 5} (este grupo de símbolos se

lee “el conjunto de todos los elementos x pertenecientes al conjunto  tales que x es menor que 5).

∪

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NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Profundizando en los conjuntos que acabamos de nombrar, partiremos con el conjunto de los Números Naturales. Intuitivamente, estos son los números que se usan en la vida diaria para contar cantidades concretas, y son los más simples que conocemos, pero el que sean simples no significa que no podamos encontrar estructuras interesantes en ellos, por ejemplo , Paridad y Primalidad.

- Paridad 3 Números pares: Son los números que se pueden escribir de la forma 2 n. Hay infinitos de ellos, y se escriben en la serie: 0, 2, 4, 6, ... , 2 n, ....

3 Números impares: Son los números que se pueden escribir de la forma 2 n + 1 Tambien hay infinitos de ellos, y se pueden escribir en la serie: 1, 3, 5, 7, ... , 2 n - 1, ....

- Primalidad 3 Números Primos: Son aquellos que tienen exactamente dos divisores distintos. Ellos son: 2, 3, 5, 7, ...

3 Números Compuestos: Son aquellos que son divisibles por algún número distinto a 1 y sí mismos, es decir, un número es compuesto si y sólo si no es primo (a excep- ción del 1). Ellos son 4, 6, 8, 9,...

Teorema #1 Descomposición Única El teorema fundamental de la aritmética, que con un nombre tan impresionante debe ser algo destacable, dice: “ Todo número natural compuesto mayor que 2, se puede escribir como un único producto de números primos”

Esto significa que los números primos vienen a ser nuestros “ladrillos”; son los blo- ques básicos con los que construimos todos los números que conocemos, y en con- secuencia, la matemática que usaremos, entonces este teorema es el que garantiza la existencia de los números como los conocemos. Podemos darnos cuenta también que ciertos números se pueden escribir usando potencias.

Por ejemplo 8 = 2 · 2 · 2 = 2^3. Estas potencias siguen siendo una descomposición única, no existe otra forma de escribir el número 8 usando sólo números primos, excepto por el orden. Esa única forma de escribir cada número compuesto como multiplicación de números primos se llama la Descomposición Prima del número.

I

Q

Z

N

Esquema gráfico de los conjuntos numéricos y su relación

N 0

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS

C

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- Mínimo Común Múltiplo (MCM) Tal como el nombre lo dice, el Mínimo común múltiplo (MCM) nos permite encontrar un número que cumple la propiedad de ser el menor múltiplo que tienen en común un conjunto de varios números naturales, esto es lo mismo que decir que el MCM es el menor número divisible por todos los números del conjunto.

¿Cómo lo encontramos? Usando la descomposición prima de todos los números del conjunto, el MCM es el número que contiene en su descomposición a todos los factores primos de todos los números del conjunto.

Ejemplo / Supongamos que queremos dividir 14 por 3, sabemos que 14 no es divisible por 3 ya que 1 + 4 = 5 el cual no es múltiplo de 3, por ello debemos usar el algoritmo de Euclides. Además sabemos que 4 · 3 = 12 y 4 · 4 = 16, por lo tanto tendremos que el cuociente será 3 y como 4 · 3 = 12 entonces el resto será 2, obteniendo así que 14 = 3 · 4 + 2

Ejemplo / Encontremos el MCD entre 6, 9 y 24 Escribimos los números en su descomposición prima: 6 = 2 · 3, 9 = 3^2 , 24 = 2^4 · 3

Ahora incluímos en la descomposición de nuestro posible MCM todos los factores primos (los repetidos en el mismo número cuentan, pero entre números distintos no) 3 · 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 144

Notamos que la mayor cantidad de veces que se repite el 2 es en 24, que contiene al factor 2^4 , mientras que la mayor cantidad de veces que aparece el 3 es en 9, que contiene al factor 3^2. Hay que incluir todos esos números. Por otro lado, como 6 se escribe 2 · 3, sus factores ya están contenidos en los otros, de modo que, no se necesita incluir ninguno como factor adicional. Ocurre lo mismo con el 3 perteneciente a la descomposición del 24.

Así,el mínimo común múltiplo buscado es 144.

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS

Observación El algoritmo de Euclides es necesario pues no todos los números natura- les se pueden dividir entre sí, ya que los resultados de estas divisiones no necesariamente son números natura- les. Esto provoca que la división en los naturales no sea Cerrada, es decir, que la operacion y sus resultados no están totalmente contenidos en el mismo conjunto, razón por la cual necesitamos más conjuntos numéricos.

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TOMO I NÚMEROS

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Ejemplo / El MCD entre 6, 12 y 30 Escribimos los números en su descomposición prima: 6 = 2 · 3, 12 = 2^2 · 3, 30 = 2 · 3 · 5

Luego tomamos todos los factores que se encuentran en todas las descomposiciones, en este caso el 2 y el 3 luego MCD entre 6, 12 y 30 es 2 · 3 = 6.

(+) + (−) = (+) Si (+) > (−) (+) + (−) = (−) Si (+) < (−)

Adición Multiplicación

- Máximo Común Divisor (MCD) Es mucho más sencillo encontrar el máximo común divisor, pues simplemente se busca el número que divida a todos los números del conjunto, para ello se busca aquel que su descomposición prima contenga sólo a los factores que todos los nú- meros del conjunto tengan en común.

TIPS para abreviar, el MCM entre a y b se escribe como MCM( a,b), y se utiliza la misma notación para el MCD.

- Números enteros.

Habrás notado que en lo que va del capítulo hemos hablado casi únicamente de los números naturales. Estos no son los únicos que existen, puesto que de la misma for- ma que la división falla en los naturales, la resta también. En los números naturales no podemos encontrar la respuesta de la operación 2 - 6 = ?. Por lo tanto definimos los Números Negativos , los cuales contienen a los inversos aditivos de los nú- meros naturales, es decir, todos los números que anulan (llevan al 0) a algún natural cuando son sumados.

Estos se forman incluyendo una copia de los números naturales en la recta nu- mérica, pero al otro lado del cero, y por lo tanto su magnitud crece en la dirección opuesta a la de los naturales.

Naturalmente, como una copia de los naturales, estos funcionan con las mismas operaciones que los números naturales, con una pequeña distinción: El signo (Pue- de ser positivo, negativo o neutro)

El signo nos indica a qué lado del cero nos encontramos, y hacia qué lado aumenta la magnitud de los números, el cual funciona como se ve en la siguiente tabla.

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TOMO I NÚMEROS

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. Si la suma de  números pares consecutivos es , enton - ces el número del medio es

Solución. Observemos que la primera parte del enunciado es “Si la suma de 3 números pares consecutivos”, por lo tanto como vimos, siempre un número par puede ser escrito de la forma 2 n. Bien, ahora como sabemos que si un número par es 2 n entonces el siguiente número par será 2 n + 2 y el siguiente a ese 2 n + 4. Luego tendremos que la segunda parte del enunciado nos dice que dichos números suman 42, por lo tanto tendremos que

2 n + 2 n + 2 + 2 n + 4 = 42 ⇔ 6 n + 6 = 42 ⇔ 6 n = 36

por lo tanto podemos concluir que n = 6.

Un error clásico en este tipo de problemas es olvidarse del problema y pensar que n = 6 es el primero de los números pares y en dicho caso uno diría que los números son 6, 8 y 10, concluyendo que el número central es 8.

Por ello es súper importante que uno tenga muy claro cual es el problema y que es lo que esta buscando, para nues- tro caso teníamos que los números pares consecutivos son 2 n, 2 n + 2 y 2 n + 4, y además obtuvimos que n = 6, por lo tanto es fácil entonces concluir que los números buscados son 12, 14 y 16. Como buscamos el número medio, la res- puesta es 14

Si la suma de 3 números impares consecutivos es 45, entonces el número del medio es

Si la suma de 3 números consecutivos es 45, enton- ces el número mayor es

Si la suma de 4 números pares consecutivos es 28, entonces la suma de los medios es

4. ¿Qué número debe colocarse en  para que el número

63.84.756 sea divisible por 9?

Solución. Este es un problema bastante sencillo siempre y cuando uno tenga en mente las reglas de división que vimos en una de las tablas del capítulo anterior.

Refrescando la memoria, tenemos que un número es di- visible por 9 si y sólo si la suma de sus cifras resulta un número divisible por 9, y para nuestro caso tendremos que

la suma de las cifras es 6 + 3 + 8 + 4 +  + 7 + 5 + 6 = 39 + ,

por lo tanto es sencillo notar que el único número que hace

que 39 +  sea divisible por 9 es 6.

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el

número 23.32 sea divisible por 2?

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el

número 43.52 sea divisible por 3?

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el

número 123.56.789 sea divisible por 9?

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Solución. Recordemos que para obtener tanto el MCD como MCM, debemos simplemente escribir cada uno de los números en su descomposición como producto de números pri- mos, esto es,

36 = 6^2 = 2^2 · 3^2 , 66 = 6 · 11 = 2 · 3 · 11 y 102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Luego nuestro método nos dice que debemos tomar to- dos los factores que tengan en común, con el menor ex- ponente y debemos multiplicarlos, es decir, para este caso tendremos que los factores comunes son 2 y 3 con el expo- nente 1, por lo que el MCD en este caso será simplemente 2 · 3 = 6.

. Encuentre el máximo común divisor entre los números ,  y .

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números 36, 66 y 102.

Encuentre el máximo común divisor entre los números 12, 48 y 69.

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números 12, 15 y 23.

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS

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