Kepler, Notas de estudo de Biologia Marinha

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As Leis de Kepler

Prof. Dr. Juscelino P. Silva

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica do Cear´a - CEFETCE

Unidade de Ensino de Juazeiro do Norte

22 de mar¸co de 2008

Sum´ario

Pref´acio

D

esde a antiguidade o homen indaga-se sobre os mist´erios do Universo e de como os planetas e o sistema se comportam em rela¸c˜ao uns aos outros. As Lei de Kepler ´e um marco na Gravita¸c˜ao descrevendo com a precis˜ao matem´atica o comportamento de tais objetos celestiais. Embora enunciadas por Kepler, o mesmo n˜ao consegui mostrar que tais Leis seriam verdadeiras. Tal feito foi alcan¸cado por Sir Isaac Newton, um dos maiores gˆenios de todos os tempos, com o aux´ılio de sua segunda Lei do Movimento e de sua outra Lei intitulada de Lei Universal da Gravita¸c˜ao. N˜ao se pode esquecer que as Leis de Kepler s˜ao amplamente fundamentadas nas observa¸c˜oes do astrˆonomo Dinamarquˆes Tycho Brahe, cujo mesmo era seguidor das teoria de Nicolau Cop´ernico. Tais Leis colocaram abaixo v´arios dogmas religiosas impostos pela igreja cat´olica, sendo que os feitores de tais proezas sofreram duras penas e incass´aveis persegui¸c˜oes da mesma igreja cat´olica.

Esta notas est˜ao divididas da forma seguinte: No cap´ıtulo 1 apresentamos um pouco da hist´oria de tais Leis e ainda das pessoas envolvidas em tal enlace gradioso. Por motivos did´aticos apresentamos primeiramente a demonstra¸c˜ao da Segunda Lei, uma vez que a mesma ´e, de certa forma, independente da outras duas e tal fato ´e apresentado no cap´ıtulo 2. No cap´ıtulo 3 apresentamos a f´ormula de Binet que com aux´ılio da Primeita Lei transforma a equa¸c˜ao do movimento em uma equa¸c˜ao do tipo oscilador harmˆonico simples. Falamos ainda um pouco sobre cˆonicas em coordenadas polares e demonstramos a Primeira Lei de Kepler. Por ´ultimo, no terceiro cap´ıtulo, com aux´ılio da duas outras Leis, demonstramos a bela e surpreemdente Terceira Lei de Kepler.

Para um bom entendimento de tais resultados, tentei ser o mais detalhista poss´ıvel e portanto um estudante de matem´atica, f´ısica ou engenharia ,que possua alguns poucos conhecimento do c´alculo diferencial de uma vari´avel, n˜ao ter´a dificuldades em ler e entender tais resultados e suas interpreta¸c˜oes.

Uma excelente referˆencia para tais resultados e muito outros ainda interessantes est´a na primeira referˆencia destas notas e trata-se do livro da Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, inti- tulado Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas dos professores Djairo Guedes de Figueiredo e Alo´ısio Freiria Neves [1].

Os motivos que me fizeram escrever tais notas foram apenas o interesse de entender e admirar a forma como a Matem´atica e a F´ısica conseguem expressar e elucidar fatos long´ıcuos `a nossas m˜aos e olhos, mas pr´oximos da abstra¸c˜ao e da genialidade da mente de tais homens. Espero que aqueles que, por ventura, vierem a ler tais notas consigam admirar, como eu, um dos mais belos resultados encontrados pelo homen.

Prof. Dr. Juscelino P. Silva Juazeiro do Norte - Ce 22 de mar¸co de 2008

iii

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Conte´udo

1.1 Kepler, Cop´ernico e as Leis da Gravita¸c˜ao........................ 1 1.1.1 As Leis de Kepler................................ 1

1.1 Kepler, Cop´ernico e as Leis da Gravita¸c˜ao

A

o publicar, em 1543, seu famoso trabalho De Revolutionibus Orbium Coelestium lan¸cando a teoria heliocˆentrica, Cop´ernico∗^ iniciava uma nova fase na Hist´oria da Ciˆencia. E´ dif´ıcil, hoje, fazer-se uma id´eia do que significou naquela ´epoca desafiar a teoria milenar de Ptolomeu, entrando em conflito frontal com a teologia crist˜a e com arraigados princ´ıpios de ordem, est´etica e simplicidade matem´atica do Universo. As id´eias lan¸cadas por Cop´ernico germinaram e encontraram em Galileu†^ e Kepler‡^ os seus grandes seguidores. Os trabalhos de Galileu s˜ao o in´ıcio da Mecˆanica, que nas m˜aos de Newton recebeu a admir´avel formaliza¸c˜ao que conhecemos. Kepler foi assistente de Tycho Brahe§^ no observat´orio de Praga, e quando este faleceu, aquele assumiu sua posi¸c˜ao. Kepler ficou de posse de longas tabelas contendo observa¸c˜oes astronˆomicas sobre a ´orbita de Marte. Em 1609, ele publicou sua Astronomia Nova, no qual estarreceu a todos defendendo a teoria de as ´orbitas dos planetas em torno do sol n˜ao s˜ao c´ırculos. E al´em disso, sua segunda lei implica que a velocidade dos planetas n˜ao ´e constante. Novamente, a id´eia de um universo harmonioso e est´etico no conceito grego foi desafiada. E isso desagradou a muitos. Em 1619, quando Kepler publicou seu segundo trabalho sobre a teoria planet´aria, ele o denominou Harmonia do Universo e procurou mostrar em sua teoria a perfei¸c˜ao da obra de Deus. Em seu livro em Principia Mathematica, de 1687, Sir Isaac Newton¶ mostrou que as trˆes leis de Kepler podem ser obtidas como consequˆencia de outras duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento e a Lei Universal da Gravita¸c˜ao.

1.1.1 As Leis de Kepler

As trˆes leis que Kepler enunciou em seus trabalhos s˜ao:

∗Nicolau Cop´ernico. (∗1473 Polˆonia †1543 Pr´ussia.) †Galileu Galilei. (∗1564 It´alia †1642 It´alia.) ‡Johannes Kepler. (∗1571 Alemanha †1630 Alemanha.) §Tycho Brahe. (∗1546 Dinamarca †1601 Dinamarca.) ¶Sir Isaac Newton. (∗1643 Inglaterra †1727 Inglaterra.)

Cap´ıtulo 2

A Segunda Lei de Kepler

Conte´udo

2.1 No¸c˜oes Preliminares................................... 3 2.2 Momento angular..................................... 4 2.3 A Orbita em Coordenadas Polares´............................ 5

Por uma quest˜ao de conveniˆencia, que `a posteriore ficar´a clara, provaremos primeiramente a Segunda Lei de Kepler.

2.1 No¸c˜oes Preliminares

C

onsideremos um planeta P de massa m deslocando-se em sua ´orbita ao redor do sol. Representaremos por X(t) = (x(t), y(t), z(t)) a ´orbita (trajet´oria) de P, isto ´e, para cada instante t, X(t) ´e um vetor de R^3 , cujo mesmo doravante ser´a chamado de raio vetor, que determina as coordenadas cartesianas de P. Assumiremos que a ´orbita de P ´e suficientemente suave ao ponto de podermos calcular as derivadas primeira e segunda de X. A origem do nosso sistema tridimensional ser´a o Sol, como mostra a figura (2.1). Seja F a for¸ca que rege o

Figura 2.1: Orbita do planeta´

movimento de P, ent˜ao pela Segunda Lei de Newton, temos

F = m X¨, (2.1)

Cap´ıtulo 2. A Segunda Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva

onde X˙ = dX/dt representa a derivada com respeito a t (tempo) e m ´e a massa de P. Entretanto tal for¸ca ´e oriunda do campo gravitacional gerado pela presen¸ca do sol e portanto tal for¸ca ´e dada pela Lei Universal da Gravita¸c˜ao, que afirma que a mesma deve ser diretamente proporcional ao produto das massas do planeta e do sol e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre os mesmos, possuindo ainda a dire¸c˜ao do raio vetor que os une, o que matematicamente ´e expresso por

F = − mMG r^2

X

r

onde r = ‖X‖ e M ´e a massa do sol e G ´e a constante de proporcionalidade que ´e conhecida com constante universal da gravita¸c˜ao∗. O sinal negativo ´e devido a for¸ca gravitacional ser de atra¸c˜ao, portanto contr´aria a orienta¸c˜ao do raio vetor X. Usando as equa¸c˜oes (2.1) e (2.2) tem-se

X¨ = − MG r^3

X. (2.3)

2.2 Momento Angular

A defini¸c˜ao a seguir ser´a de grande valia.

Defini¸c˜ao 1. O momento angular Y, associado ao planeta P ´e dado pela curva

Y def = X × X˙. (2.4)

Note que o momento angular ´e, em cada t, ortogonal ao raio vetor (vetor posi¸c˜ao) e ao vetor velocidade de P dado por X˙. Em virtude da equa¸c˜ao (2.3) temos que

Lema 1. A ´orbita do planeta P ´e uma curva plana.

Demonstra¸c˜ao: Para provarmos tal resultado ´e suficiente provarmos que que o momento angular de P ´e constante, pois assim sendo a ´orbita estar´a no plano de R^2 contendo a origem, que ´e ortogonal a Y, veja figura (2.2). Com efeito, calculando a derivada o momento angular Y,

Figura 2.2: Momento angular constante

temos

Y˙ = X˙ × X˙ + X × X¨ =

MG

r^3

· X˙ × X˙ = 0, (2.5)

onde usamos a equa¸c˜ao (2.3) e o que X˙ × X˙ = 0. Da´ı segue que Y(t) = cte (constante). Assumiremos que tal constante ´e n˜ao nula, uma vez que, caso Y = ~0, teremos

d dt

X

r

r X˙ − r˙X r^2

(X · X) X˙ − (X · X˙)X

r^3

(X × X˙) × X

r^3

Y × X

r^3

∗Note que r = ‖X‖ ´e a distˆancia entre o sol e o planeta P.

Cap´ıtulo 2. A Segunda Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva

Figura 2.4: Area entre os raios vetores.´

Demonstra¸c˜ao: Com base em (2.7) temos que

x˙ = ˙r cos θ − r θ˙sen θ, y˙ = r˙ sen θ + r θ˙cos θ (2.9)

e portanto x y˙ − yx˙ = r^2 θ˙ = κ. (2.10)

Aplicando o Teorema Fundamental do C´alculo a (2.8)

A˙(t) = 1 2

r^2 (θ(t)) θ˙ =

κ. (2.11)

Em virtude de (2.11) temos

Lei 1 (Segunda Lei de Kepler). O raio vetor ligando o sol a um dado planeta varre ´area iguais em tempos iguais.

Demonstra¸c˜ao: Usando (2.11) temos que

A(t) =

κ · t + A( 0 ). (2.12)

Considere dois intervalos de tempo iguais, digamos (t 1 , t 2 ) e (t 3 , t 4 ), onde t 2 − t 1 = t 4 − t 3. Assim a ´area percorrida no intervalo de tempo (t 1 , t 2 ) ´e A(t 2 ) − A(t 1 ) e ainda

A(t 2 ) − A(t 1 ) =

κ · (t 2 − t 1 ) =

κ · (t 4 − t 3 ) = A(t 4 ) − A(t 3 ), (2.13)

onde A(t 4 ) − A(t 3 ) ´e a ´area percorrida pelo raio vetor no intervalo de tempo (t 3 , t 4 ). Desta forma fica provada a Segunda Lei de Kepler. •

Ap´os provarmos a Primeira Lei de Kepler apresentaremos uma vis˜ao geom´etrica da Segunda Lei.

Cap´ıtulo 3

A Primeira Lei de Kepler

Conte´udo

3.1 A F´ormula de Binet................................... 7 3.2 Cˆonicas em Coordenadas Polares............................. 8 3.3 Interpreta¸c˜ao da Segunda Lei de Kepler......................... 10

Provaremos neste cap´ıtulo a Primeira Lei de Kepler com o aux´ılio da f´ormula de Binet∗.

3.1 A F´ormula de Binet

Com base nas express˜oes (2.9) temos

¨x = ¨rcos θ − 2˙r θ˙sen θ − r θ˙^2 cos θ − rθ¨sen θ (3.1) y¨ = ¨rsen θ + 2˙r θ˙cos θ − r θ˙^2 sen θ + r¨θcos θ. (3.2)

Usando a equa¸c˜ao (2.3), obtemos

¨rcos θ − 2˙r θ˙sen θ − r θ˙^2 cos θ − rθ¨sen θ = −

MG

r^2

cos θ (3.3)

¨rsen θ + 2˙r θ˙cos θ − r θ˙^2 sen θ + r¨θcos θ = −

MG

r^2 sen θ, (3.4)

da´ı fazendo cos θ · (3.3) + sen θ · (3.4) temos

¨r − r θ˙^2 = −

MG

r^2

e usando que r^2 θ˙ = κ obtemos

− ¨r θκ^ ˙ +^

r

MG

κ^2

Fazendo ainda −sen θ · (3.3) + cos θ · (3.4), temos

2˙r θ˙ + rθ¨ = 0 (3.7)

que ´e equivalente a equa¸c˜ao r^2 θ˙ = κ, uma vez que

d dθ

r^2 θ˙

= 2˙r θ˙ + rθ¨.

Devido a tal fato tal equa¸c˜ao n˜ao ser´a levada em considera¸c˜ao daqui em diante.

∗Albert Binet. (∗1857 Fran¸ca †1911 Fran¸ca)

Cap´ıtulo 3. A Primeira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva

onde ˙r 0 = r˙( 0 ). Fazendo mais uma simplifica¸c˜ao na equa¸c˜ao (3.15) temos

1 r

= λ · cos (θ − ω) +

MG

κ^2

onde λ^2 = ( 1 /r 0 )^2 + (r˙ 0 /κ)^2 e ω = tg −^1

−r 0 ˙r 0 κ−^1

e portanto tal equa¸c˜ao assume a forma

r =

κ^2 MG 1 + λκ 2 MG ·^ cos^ (θ^ −^ ω)^

Representando e = λκ

2 MG e^ d^ =^ λ − (^1) , afirmamos que a equa¸c˜ao

r = d · e 1 + e · cos (θ − ω)

´e uma elipse com excentricidade e e centro no ponto

e^2 d/( 1 − e^2 ), 0

Observa¸c˜ao 3. N˜ao h´a mundan¸ca nenhuma, em termos geom´etricos, tomarmos coodenadas polares na forma x = r · cos (θ − ω) e y = r · sen (θ − ω), (3.19)

uma vez que a ´unica mudan¸ca ´e que agora estamos considerando o ˆangulo que o raio vetor faz com a reta θ = ω e antes consider´avamos o ˆangulo entre o raio vetor e a reta θ = 0.

Observa¸c˜ao 4. E natural assumirmos que´ e < 1 uma vez que r 0 , M e G devem ser n´umeros consideravelmente grandes e κ n˜ao deve ser uma constante muito grande por representar uma velocidade (areolar) de um planeta.

Vejamos ent˜ao que a equa¸c˜ao (3.18) ´e uma elipse. Temos que

r + e · r cos (θ − ω) = d · e,

elevando ambos os lados ao quadrado e usando (3.19), segue que

x^2 + y^2 = e^2 (d^2 − 2 dx + x^2 )

e ainda ( 1 − e^2 )x^2 + 2 de^2 x + y^2 = e^2 d^2 ,

completando o quadrado

( x + e^2 d 1 − e^2

y^2 1 − e^2

e^2 d^2 ( 1 − e^2 )^2

que ´e uma equa¸c˜ao da elipse (x + c)^2 a^2

y^2 b^2

onde

c = e^2 d 1 − e^2 , a^2 = e^2 d^2 ( 1 − e^2 )^2 e b^2 = e^2 d^2 1 − e^2

Note que estamos assumindo que e < 1 e portanto c > 0 e ainda 0 < ( 1 − e^2 )^2 < 1 − e^2 < 1, implicando com a > b. Logo tal elipse possui seu eixo maior sobre o eixo dos x. (veja a figura (3.2)). Com isso, acabamos de provar o seguinte resultado

Lei 2 (Primeira Lei de Kepler). Cada planeta se move em ´orbita el´ıptica, tendo o sol um dos focos.

Cap´ıtulo 3. A Primeira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva

Figura 3.1: Orbita el´´ ıptica

Figura 3.2: Interpreta¸c˜ao da Segunda Lei

3.3 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica da Segunda Lei de Kepler

Agora que sabemos como ´e a forma geom´etrica da ´orbita do planeta P vejamos na figura (3.3) uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para a Segunda Lei de Kepler.

Na figura acima os intervalos de tempo s˜ao iguais, isto ´e, t 2 − t 1 = t 4 − t 3 e portanto pela Segunda Lei afirma que as ´areas hachuradas acima s˜ao iguais.

Observa¸c˜ao 5. Este resultado ´e impressionante!. Na antiguidade, al´em de os povos acharem que as ´orbitas eram circulares, achava-se ainda que a velocidade em que os planetas se deslocavam sobre suas ´orbitas era constante. Mas a Segunda Lei mostra que tal velocidade n˜ao ´e contantes mas sim a velocidade da ´area varrida pelo raio vetor, em particular quando o planeta encontra-se mais perto do sol sua velocidade ´e maior de quando o mesmo est´a distante do sol.

Cap´ıtulo 4. A Terceira Lei de Kepler Prof. Dr. Juscelino P. Silva

Figura 4.1: Corda focal.

seguindo que T 2 a^3

4 π^2 b^2 aκ^2

b^2 a

4 π κ^2

= ` ·

4 π κ^2

κ^2 MG

4 π κ^2

4 π MG

Conclu´ındo a demonstra¸c˜ao deste resultado surpreendente. •

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] Figueiredo, D. G. de, Neves, A. F., Equa¸c˜oes Diferenciais Aplicadas, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria 1997.

[2] Stewart, J., C´alculo, vol. II, Quinta Edi¸c˜ao, Editora Thomson 2006.