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INTEGRAL DEFINIDO
O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.
Vamos começar por determinar a área de uma figura delimitada por duas rectas verticais, o semi-eixo positivo dos XX e por uma dada função y = f ( x ).
Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [ a , b ]. Chama-se partição P desse intervalo a qualquer decomposição
de [ a , b ]em n subintervalos da forma xi tais que:
a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b.
Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [ a , b ]e P uma partição desse intervalo. Chama-se Soma de Riemann
de f em relação à partição P, a toda a expressão da forma:
=
∆
n
i
f wi x i 1
onde wi é um valor qualquer do intervalo xi.
Definição:
Seja f uma função, real de variável real, definida num intervalo [ (^) a , b ]e P uma partição desse intervalo. Chama-se integral definido de
f desde a até b e escreve-se
b
a
f ( x ) dx , ao limite tal que
=^ ∆
→ =
n
i P i i
b
a
f x dx f w x (^0 )
( ) lim ( ) ,
onde wi é um valor do intervalo ∆ xi.
NOTAS:
Se tal limite existe então dizemos que f é integrável no intervalo [ a , b ].
A a e a b chama-se limites de integração:
a →limite inferior do integral; b → limite superior do integral.
- Sempre que utilizamos um intervalo [ a , b ]supomos que a < b. Mas
a definição anterior pode ser estendida ao caso a > b :
a
b
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx.
Como consequência imediata temos o resultado seguinte: ( ) = 0
a
a
f x dx.
4. Se a < c < b e f é integrável nos intervalos [ a , c ] e [ c , b ] então a
função f é integrável em [ a , b ]e tem-se:
b
c
c
a
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
5. Se f é integrável num intervalo [ a , b ]e f ( x )≥ 0 , ∀ x ∈[ a , b ], então
(^ ) ≥^0
b
a
f x dx.
6. Se f e g são duas funções integráveis em [^ a , b ] e f ( x )≥ g ( x ),
∀ x ∈ [ a , b ], então (^) ≥
b
a
b
a
f ( x ) dx g ( x ) dx.
Nota:
As tabelas e as técnicas de integração utilizadas para o cálculo de integrais indefinidos são ainda válidas para o cálculo de integrais definidos.
Exemplo:
Calcule os seguintes integrais definidos:
a)
−
10
2 5 1
(^1) dx x
b)
ln 3
0
5 ex dx
Mudança de variável no cálculo do integral definido
Seja f uma função contínua no intervalo [ a , b ]. Pretende-se calcular
b
a
f ( x ) dx por mudança de variável. Seja t a nova variável tal que
t = g ( x ). Quando se faz a mudança de variável os limites de integração, por dizerem respeito à variável apresentada, deixam de ter significado, pelo que surge a necessidade de também se efectuar mudanças nos limites de integração. Para tal, basta calcular os valores correspondentes de a e b em função da nova variável: t 1 (^) = g ( a ) e
t (^) 2 = g ( b ). Utilizando estes valores torna-se então desnecessário voltar
à variável original x após a integração.
Exemplo: Calcule −
5
1
(^1) dx x
x (^).
- Cálculo da área de uma região plana limitada por duas curvas e por duas rectas verticais
Definição:
Se f e g são funções contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x )≥ g ( x )
∀ x ∈ [ a , b ], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas y = f ( x ), y = g ( x ) e pelas rectas verticais x = a e x = b , é dada por:
= [ − ]
b
a
A f ( x ) g ( x ) dx.
Nota:
Se falhar a condição f ( x )≥ g ( x ), = −
b
a
A f ( x ) g ( x ) dx.
- Cálculo da área de uma região plana limitada por duas curvas e por duas rectas horizontais
Definição:
Se f e g forem funções contínuas no intervalo [c,^ d] e se f ( y )≥ g ( y )
∀ y ∈ [c, d], então a área da região plana fechada, limitada pelas curvas
x = f ( y ), x = g ( y ) e pelas rectas horizontais y = c e y = d , é dada por
= [ − ]
d
c
A f ( y ) g ( y ) dy.
Nota:
Se falhar a condição f ( y )≥ g ( y ), = −
b
a
A f ( y ) g ( y ) dy.
Exemplos:
a) Calcule a medida da área da região fechada limitada pela função y = sen ( x ) e pelo eixo das abcissas quando x ∈[ 0 , 2 π].
b) Calcule a medida da área da região limitada pelas rectas y = 2 x + 1 ,
3 2
y = x + e x = 0.
c) Calcule a medida da área de um círculo de raio 3.
d) Calcule a área da região fechada limitada pelas funções y = − x + 1 ,
y = 0 e x = 0.
e) Calcule a medida da área da região fechada compreendida entre os
gráficos das funções y = x^3 e x = y^2.
Definição:
Seja f : x → y = f ( x ) uma função real de variável real contínua em
[ c , d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em
torno do eixo dos YY, da região limitada pelos gráficos de x = f ( y ),
y=c , y=d e pelo eixo dos YY é dado por:
= [ ]
d
c
V π f ( y )^2 dy.
Definição:
Sejam f : x → y = f ( x ) e g : x → y = g ( x ) funções, reais de variável
real, contínuas em [ a , b ], com f ( x )≥ g ( x )≥ 0. O volume V do sólido
de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos XX, da região limitada pelos gráficos de y = f ( x ), y = g ( x ), x=a e x=b é dado por:
= ( [ ] −[ ] )
b
a
V π f ( x )^2 g ( x )^2 dx.
Definição:
Sejam f : y → x = f ( y ) e g : y → x = g ( y ) funções, reais de variável
real, contínuas em [ c , d ], com f ( y )≥ g ( y )≥ 0. O volume V do sólido
de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo dos YY, da região limitada pelos gráficos de x = f ( y ), x = g ( y ), y=c , de y=d é dado por:
= ( [ ] −[ ] )
d
c
V π f ( y )^2 g ( y )^2 dy.
Exemplos:
a) Calcule a medida do volume do sólido gerado pela rotação da
região do plano limitada pelos gráficos das funções y = x^2 + 1 , y = 0 , x =− 1 e x = 1 , em torno do eixo dos xx.
b) A região do plano limitada pelos gráficos das funções y = x ,
y = 2 x e y = x^2 roda em torno do eixo dos xx. Determine a medida do volume do sólido gerado.
c) Utilizando integrais definidos, prove que o volume de uma esfera
de raio r é dado por 3 3
V = 4 π r.
d) Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da
região limitada pelos gráficos de y = x^2 e y = 2 , em torno do eixo dos yy.
e) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em
torno do eixo dos yy , da região limitada por y = x , y = 2 e x = 0.
f) Utilizando integrais definidos, prove que o volume de um cilindro
circular recto de altura h e raio r é dado por V= π r^2 h.
Definição:
Seja f uma função contínua no intervalo [ a ,+∞[. Se existir
f x dx L
X
x (^) a
→ +∞
lim ( ) então dizemos que a área da figura limitada pelo
gráfico de f , pela recta x = a , pelo eixo dos XX e tal que x > a ,existe e é igual a L.
Nota:
No caso do limite não existir ou ser infinito diz-se que o integral impróprio é divergente ou que a medida da área não existe.
No caso do integral impróprio (^) −∞
b
f ( x ) dx mantém-se tudo o que
foi dito desde que se considere o limite:
→+∞ −
b
x (^) Y
lim f ( x ) dx.
Definição:
Seja f uma função integrável em qualquer intervalo fechado. Seja a
um número real qualquer. Se existirem f x dx A
X
x (^) a
→ +∞
lim ( ) e
f x dx B
a
y (^) y
→+∞ (^) −
lim ( ) então dizemos que o integral impróprio
− ∞
f ( x ) dx é convergente e que
− ∞
f ( x ) dx = A + B.
Exemplo: Calcule
− ∞ +^
dx 1 x^2
Definição:
Seja f uma função contínua e positiva num intervalo [ a , b ], excepto
num ponto c , com c ∈ [ a , b ]. Tem-se que:
b
c
c
a
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ,
com
→ −
y
y c a
c
a
f ( x ) dx lim f ( x ) dx e
→ +
b
z c z
b
c
f ( x ) dx lim f ( x ) dx.
Quando tais limites existem, diz-se que o integral
b
a
f ( x ) dx
converge. Caso contrário diverge.
Exemplo: Calcule
3
0 3
dx x
Exemplos:
Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios:
a)
1
e x^ dx b)
− ∞ +^
dx 1 x^2
c)
− ∞ +^
dx x
x (^21)
d)
1
0
ln( x ) dx e)
−
0
1
dx x
f)
−
1
1
2
dx x
g) ( )
2
2
1 ln(^ )^1 /^5
dx x x
h)
2
0
tan( )
π
x dx i)
( )
1
0
sen ln( ) dx x
x
