Integral indefinidaa, Resumos de Matemática

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Benedita Jacob Mayanja

Introdução ao estudo de integrais indefinidas

(Licenciatura em Ensino de Matemática)

Universidade Rovuma

Lichinga 2023

Benedita Jacob Mayanja

Introdução ao estudo de integrais indefinidas

Trabalho da cadeira de Calculo Integral a ser entregue e apresentado no Departamento de Ciências Naturais, Tecnologia e Engenharia para fins avaliativos, leccionado por:

MSc. Valente Farahane

Universidade Rovuma

Lichinga

2023

1. Introdução

O presente trabalho de natureza científica da cadeira de Calculo integral que tem como tema introdução ao estudo de integrais indefinidas, nesse trabalho vamos abordar aspectos mais importantes e casos específicos quando se trata de integrais indefinidas, trazendo varias proposições com suas devidas demonstrações, juntamente com certas propriedades que são aplicadas quando se trata acerca de integrais indefinidas, acompanhado por uma série de exemplos bem detalhados mostrando cada aspecto fundamental.

1.2. Objectivos: 1.2.1. Objectivo Geral  Conhecer a integral indefinida 1.2.2. Objectivo Especifico  Introduzir a integral indefinida;  Demonstrar as integrais indefinidas;  Calcular as integrais indefinidas. 1.3. Metodologias

Para realização deste trabalho usou-se a consulta Bibliográfica e internet.

2. Primitiva e Integral Indefinido Definição

Uma função 𝐹(𝑥) é chamada uma primitiva da função (𝑥) em um intervalo 𝐼 (ou simplesmente uma primitiva de 𝑓(𝑥)). se. para todo 𝑥 𝐼 temos 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥). Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de urna função 𝑓(𝑥) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo 𝐼.

Em outras vertentes podemos diz-se que a função 𝐹 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 sobre o segmento se em todo o ponto deste segmento se tiver a igualdade 𝐹 𝑥 𝑓

Exemplos :

𝐹 𝑥 é uma função primitiva 𝑓 𝑥 𝑥 , pois

𝐹 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥

(ii) as funções 𝑥 𝑥 𝑥 também são primitivas da função

𝑓 𝑥 𝑥 Pois 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥

(iii) A função 𝑓 𝑥 𝑥 onde c é uma constante, é primitiva da função 𝑓 𝑥

𝑥

(iv) A função 𝑓 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 em qualquer intervalo que

não contem a origem, pois para todo 𝑥 temos 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥

 Proposição 1

Proposição Seja 𝐹 𝑥 urna primitiva da função 𝑓 𝑥. Então, se é urna constante qualquer, a função 𝑥 𝐹 𝑥 também é primitiva 𝑓 𝑥

Prova:

Como 𝐹 𝑥 primitiva 𝑓 𝑥 , ternos que 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 Assim:

3. Integral indefinido

Definição

Seja F(x) uma primitiva da função 𝑓 𝑥 Chamamos a expressão F(x)+c de integral indefinida da função f e denotamos por,

𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥

onde c é uma constante real.

De acordo com esta notação o símbolo é chamado sinal de integração, 𝑓 𝑥 Junção integrando e 𝑓 𝑥 𝑥 integrando, O processo que permite achar a integral indefinida dc urna função é chamado integração. O símbolo 𝑥 que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Da definição da integral indefinida, decorre que:

Da definição da integral indefinida, decorre que:

∫ 𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥

𝑓 𝑥 𝑥 representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrado).

A figura mostra uma família de primitivas da função integrando 𝑓 𝑥 𝑥. Observamos que o valor da constante, para figura apresentada assumiu os valores

3.1. Propriedades da integral indefinida  Proposição 1.

A integral de uma função 𝑓 𝑥 multiplicada pela constante é igual a constante k multiplicada pela integral da função 𝑓 𝑥.

∫ 𝑓 𝑥 𝑥 ∫ 𝑓 𝑥 𝑥

Prova:

Seja 𝐹 𝑥 uma primitiva de 𝑓 𝑥 Então, 𝑓 𝑥 é uma primitiva de 𝑓 𝑥 , pois ( 𝑓 𝑥 ) 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 , dessa forma, temos:

∫ 𝑓 𝑥 𝐹 𝑥 𝐹 𝑥

𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥

 Proposição 2.

A integral da soma ou da diferença de funções é obtida pela soma ou diferença da integral de cada função.

∫ 𝑓 𝑥 𝑥 ∫ 𝑓 𝑥 𝑥 ∫ 𝑥 𝑥

Prova:

Sejam 𝐹 𝑥 e 𝑥 funções primitivas de 𝑓 𝑥 e 𝑥 , respectivamente. Então, 𝐹 𝑥 𝑥 é uma primitiva da função 𝐹 𝑥 𝑥 pois 𝐹 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥.

Portanto,

∫ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑥

𝐹 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥 𝑥

∫ 𝑓 𝑥 𝑥 ∫ 𝑥 𝑥

4. Conclusão

Chegado a este ponto concluímos que Uma função 𝐹(𝑥) é chamada uma primitiva da função (𝑥) em um intervalo 𝐼 (ou simplesmente uma primitiva de 𝑓(𝑥)). se. para todo x I, temos 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥). Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de urna função 𝑓(𝑥) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo 𝐼.Se 𝑓 𝑥 é uma primitiva de 𝑓 𝑥 , a expressão 𝑓 𝑥 é chamada integral indefinida da função 𝑓 𝑥 e é denotada por 𝑓 𝑥 𝑥 𝐹 𝑥.