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EFB105 – N
2016 – 1º Semestre – Cálculo Diferencial e Integral I
Disc.: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Curso
:
Engenharia Série: 1
a.
Aluno:
Curso Série Período RG:
São Caetano do Sul, 11 de Abril de 2016. RA:
Assinatura: Nota:
GABARITO – P1 – 2016 – NOTURNO
Q1. O gráfico a seguir representa a função y f ( x ).
a) (0,25) A função f x é par, ímpar ou não possui paridade? Justifique sua resposta.
Solução: A função f x é uma função par, pois o gráfico que representa esta função é simétrico em
relação ao eixo (^) Oy.
Outra justificativa possível: pelo gráfico fornecido podemos perceber que x 3 , 3 , tem-se
f x f x. Portanto, f x é uma função par.
b) (0,25) A função f x é injetora? Explique.
Solução: Não, pelo teste da reta horizontal podemos perceber, por exemplo, que
1 1 , mas f 1 f 1.
c) (0,5) Determine o domínio e a imagem de f x.
Solução: Dom f 3 , 3 e Im f 0 , 3 .
d) (1,5) Esboce o gráfico de 1
x gx f no sistema de eixos fornecido.
Sugestão: Aplique as transformações adequadas ao gráfico da função f x e esboce os gráficos
intermediários.
Solução: Vide sequência de curvas construídas no sistema de curvas fornecido.
Q2. As afirmações a seguir empregam uma função h ( x ) arbitrária. Julgue-as como verdadeiras (V)
ou falsas (F). Justifique todas as suas respostas.
a) (0,5) Se h ( x )é bijetora e x 2 Dom h , então (( 2 )) 2
1
h h.
Solução: A afirmação é verdadeira. Sabe-se que a função h x é bijetora, logo é inversível. Além
disso, h hx x
(( ))
1 , x Dom h. Portanto, ( ( 2 )) 2
1
h h.
b) (0,5) Se h ( x )é uma função ímpar, então
2 h 1 (^) ( x )[ h ( x )] é uma função par.
Solução: A afirmação é verdadeira. Se h ( x ) é uma função ímpar, então h ( x ) h ( x ). Daí:
h x h x h x h x h 1 x
2 2 2
1 ^.
Logo, h x 1
é par.
Q3. (2,0) No sistema de eixos fornecido, esboce a representação gráfica de uma função f x que
satisfaça todos os requisitos a seguir:
f x é definida em todos os números reais, exceto em x 1 ;
f x é contínua em todo o seu domínio, exceto em x 3 ;
f x não é diferenciável em x 5 ;
o gráfico de f x possui uma única assíntota vertical em x 1 ;
o gráfico de f x possui uma assíntota horizontal em y 0 , para ;
f x é crescente em (, 1 );
f x é decrescente em ( 5 ,).
c) (0,5) Solução:
5
4
1
2 3 2 3
2 3 2 3
lim 1
lim 1
lim 1
lim 1
2 5
2
e
x x x x x x x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
^
Q6. (1,5) Seja
3 ,se 1
,se 1
2
2
x x
a x x f x.
Determine o valor de a para que f ( x )seja contínua em x 1. Justifique sua resposta.
Solução: Para que a função f ( x )seja contínua em x 1 , é preciso que lim 1
1
f x f x
No entanto, para encontrar olim 1
1
f x f x
é preciso calcular os limites laterais. Assim:
lim 1 1
2
1
a x a f x
e lim 3 3
2
1
x
x
. Para o f x
x 1
lim
existir, tem-se que a 1 3 a 4.
Logo, f ( x )é contínua em x 1 para a 4.
