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Engenharia Civil
Funções vetoriais – Uma análise de sua aplicação na engenharia com
foco na teoria da elasticidade
Vector functions - An analysis of its application in engineering with a
focus on elasticity theory
Caio Vinicius Teixeira de Souza (caiosouza.0946@aluno.unisociesc.com.br, UNISOCIESC, Paraná, Brasil) Jaqueline Borcate (jaquelineborcate.1824@aluno.unisociesc.com.br, UNISOCIESC, Paraná, Brasil) Paulo Cezar Ribeiro (pauloribeiro.0944@aluno.unisociesc.com.br, UNISOCIESC, Paraná, Brasil) Resumo : O presente artigo apresenta o estudo do conceito das funções vetoriais, bem como uma breve abordagem da teoria da elasticidade e sua aplicação, voltada principalmente para a engenharia civil no dimensionamento de estruturas e escavações subterrâneas. Nosso maior objetivo é se aprofundar em uma aplicação prática do conhecimento que adquirimos nas aulas teóricas, afim de relacionar e compreender mais claramente, todo o conteúdo que nos foi passado. Palavras-chave: Funções vetoriais; Teoria da elasticidade; Engenharia civil. 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever entre quantidades variáveis na qual desempenham papel fundamental no cálculo e suas aplicações. O estudo de funções e valores vetoriais, no qual os valores são vetores e que são úteis para descrever superfícies e curvas espaciais, ou locomoção de objetos no espaço. (Stewart, 2007). Uma das aplicações de derivadas de funções vetoriais, na área da construção civil, é nos projetos das estruturas que utilizam as equações da Teoria da Elasticidade para dimensionar a estrutura. O trabalho irá abordar esta teoria mais profundamente, afim de entendermos melhor sua aplicabilidade. Portanto, um dos principais objetivos é analisar em quais parâmetros a teoria
Engenharia Civil da elasticidade começa a ser desenvolvida e aplicada na construção civil, bem como analisar o processo de cálculos para a melhor desenvolvimento do mesmo. 2 Definição de funções vetorias As funções são usadas para descrever relações entre quantidades variáveis, e assim, desempenham um papel central no cálculo e nas aplicações (Anton, 2000). Fazendo uma linha do tempo em cálculo, iniciamos com funções reais de variável real e em seguida trabalhamos com funções de várias variáveis. Seu estudo se justifica pois elas representam diversos problemas matemáticos reais de nosso cotidiano. Denomina-se função vetorial, uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. A distância entre os pontos inicial e final de um vetor v é chamada de comprimento, norma ou magnitude e é denotada por ||v||. Para propósitos de cálculo da norma, podemos supor que o vetor seja posicionado com seu ponto inicial da origem. Portanto, para calcularmos a
norma de um vetor utilizamos: || v ||=√ v 1
2
- v 2². Um vetor de comprimento 1 é denominado vetor unitário. Em um sistema de coordenadas x e y, são denotadas por i e j , respectivamente e em um sistema de coordenadas x, y e z, os vetores unitários ao longo dos eixos são denotados por i , j e k , respectivamente. Todo vetor no espaço (bidimensional ou tridimensional), pode ser expresso de maneira única em termos de i , j e k. Produto Escalar é a multiplicação de dois vetores, onde seu resultado é um número real, sem definição ou trações vetoriais. Calculamos o produto escalar de dois vetores pela fórmula: u ∗ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 … Derivadas e a teoria da elasticidade aplicadas na engenharia Existem inúmeras possibilidades de aplicação pratica das derivadas de funções na engenharia, isso se deve ao fato delas se ajustarem em qualquer taxa de variação, possibilitando seu uso para calcular as mais diversas situações, como: volume, área, cargas. Uma das suas principais utilizações está na engenharia civil, para o dimensionamento de colunas, vigas e lajes. Utilizando-se do principio da
Engenharia Civil Quando a força aplicada sobre a mola é positiva dizemos que ela está sendo tracionada, já quando a força é negativa, passa a ser chamada de compressão. Em relação entre tensão com a deformação específica e módulo de elasticidade, quando aplicada a força sobre uma mola, a mesma sofre deformação, produzindo uma força contrária, a qual é chamada de força elástica. A constante elástica indica a rigidez da mola, em outras palavras a força necessária para fazer com que a mola sofra deformação. Segundo a figura a seguir, pode-se obter a seguinte conclusão: Quanto maior a força atribuída, maior será a sua deformação. A constante elástica indica a rigidez da mola, em outras palavras a força necessária para fazer com que a mola sofra deformação. Fonte: Helerbrock (2020) O módulo de elasticidade de um material, tal como o aço, define-se como o valor resultante entre a tensão e a deformação. Exemplo: O módulo de elasticidade do aço comum, usado nos perfis estruturais é de 21000 kgf/mm2 e o limite de escoamento é de cerca de 21 kgf/mm2. Um fio de aço de 2 milímetros de diâmetro e 1 metro de comprimento, com uma pessoa pendurada a ele pesando 60 kg, fica aproximadamente 1 milímetro maior devido a esse peso, e não se rompe. Volta a ficar com 1m após ser liberado da carga.
Engenharia Civil 3 Considerações Finais Considerando todos os aspectos expostos neste artigo, conclui-se que o estudo das funções vetoriais tem um papel importante nas mais diversas áreas, não apenas na matemática, como se subentende, mas também em aplicações práticas, como na construção civil, onde existem diversas variáveis que dependem desse estudo para evitar desastres no dimensionamento de estruturas e suas cargas, evitando qualquer tipo de perda material ou humana. Com isso, fica claro o papel das funções vetoriais em situações complexas, onde se torna essencial atingir o máximo de previsibilidade e precisão. Referências ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. 6ª. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. JÚNIOR, A. S. G.; URIBE, E. B. O. Um estudo sobre funções vetoriais. Mato Grosso do Sul: UFMS, Colloquium Exactarum, vol. 8, 2016. HELERBROCK, R. Lei de Hooke. Aluno Online. Disponível em: https://alunosonline.uol.com.br/fisica/lei-hooke.html. Acesso em 20 de maio de 2020. SILVA, L. E. P.; SILVA, L. G. A. Aplicação da derivada na engenharia civil – teoria da elasticidade. Curitiba: EVINCI, 2015. STEWART, J. Cálculo, volume 2. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
