Função de varias variáveis - calculo, Exercícios de Cálculo

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• Cálculo

Programa

1. Introdução à funções de várias variáveis (FVV).
2. Limites e derivadas de FVV.
3. Regra da cadeia e derivada direcional.
4. Integração dupla.
5. Aplicações de integração dupla.
6. Integração tripla.
7. Aplicações de integração tripla.
8. Mudança de variáveis.
9. Apliacações de mudança de mudança de variáveis.

Funções de duas Variáveis

Seja D um subconjunto (região) do espaço R 2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y)  D , um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R 2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). Exemplos de valores de função de 2 variáveis: Ex 1 : se f(x, y) = x 2

• 2y, então f(2, 3) = 2 2
• 2.3 = 10 Ex 2 : f(x, y) = (3x + y 3 ) 1/ , então f(1, 2) = (3.1 + 2 3 ) 1/ = 3,

EXEMPLOS

V =  r

2

h

F = m.a

V

nRT

P 

Volume de um cilindro Força para movimentar uma massa m Pressão de um gás

Função Composta

Mais de uma Variável 2 2

f ( k )  senk e h(x,y)  2 x  3 y

2 2

f ( h ( x , y ))  sen 2 x  3 y

Função de duas Variáveis

Z = f(x, y)

f x1,y x^1 2,y 2 x3,y 3 xi,yi xn,yn z 1 z 2 z 3 zi zn Domínio Imagem

Identificar Domínio e Imagem das

Funções

Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x 2 / (2x – y), Ex.3 - Ache o domínio da função x y x f x y   3 ( , ) 2 A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y)  R 2 / 3x - y > 0}. A função é finita quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D  (x, y) é o conjunto de pontos, tais que, D = {(x, y)  R 2 / y ≠ 2x }.

Domínios: Funções Reais de Variável Vetorial Função Domínio R^2 R 2

• {(0, 0)}  x 2  y 2  1 x 2  y 2  10 x  5 y  25  x 2  y 2  ( x , y ) R / y 2 x  2    ( , ) / 25  2 2 2 x y  R x  y 

Identificar Domínio e Imagem das

Funções

Função Conj. Domínio Conj. Imagem y > x 2 [0, ) Plano xy [-1, 1] Plano xy [0, ) 2 2 2 sen(. ) . 1 z x y z x y x y z z y x       x.y (^)  0 (-, 0) U (0, )

Função de Três ou mais

Variáveis

1. Regra ou lei matemática que associa três ou mais variáveis independentes a uma variável dependente.
2. Uma função de três ou mais variáveis não pode ser representada geometricamente.
3. x, y, z : variáveis e saída, w variável de chegada.
4. Superfícies de nível f(x, y, z) = constante

Exemplos

1. Domínio da função xy xy x y senxy f x y 3 27 5 ( , ) 2 2     
2. Imagem da função 2 3 h ( x , y , z )  2 yx z  3 yz  ( , ) / 3 27 0  2 Dm  x y   xy  xy  ) ( 2 , 1 , 1 ) 2. 1. 2. 1 3. 1. 1 5 2 3 a h    3 2 2 2 6 2 2 6 b ) h ( x , y , z ) 2. y. x. z  3. y. z

Representação Geométrica de uma f(x,y) x y z (x,y) z = f(x,y) Uma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço

Exemplos de funções de 2

variáveis

Ex 1 : A função é z = f(x, y) = 5 A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5. Ex 2 : A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer : a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3

Exemplos de funções de 2

variáveis

Ex 3 : A função é z = f(x, y) = x 2

y 2 Ex 4 : A função é z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2