Gabriel Aparecido Rotta de Toledo
42
Álgebra Linear
Álgebra Linear
Deu trabalho
Listas de 1 à 4: Transformações Lineares
Transformações Lineares e Espaço L(U,V)
Núcleo de Transformações Lineares
Teorema do Núcleo e Imagem e Isomorfismos
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Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear: Transformações Lineares, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear
O documento é um compilado de quatro listas de exercícios da disciplina de Álgebra Linear totalizando-se 35 exercícios resolvidos. As listas compreendem os conteúdos de: i.) Transformações Lineares ii.) Transformações Lineares e Espaço L(U,V) iii.) Núcleo de Transformações Lineares iv.) Teorema do Núcleo e Imagem & Isomorfismos Os exercícios são compilados a partir das apostilas do professor Zani (bem famosa entre os cursos de álgebra linear) e o livro do professor Elon Lages Lima.
Tipologia: Exercícios
2017
1 / 39
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Gabriel Aparecido Rotta de Toledo
Álgebra LinearÁlgebra Linear
Deu trabalho
Listas de 1 à 4: Transformações Lineares
Transformações Lineares e Espaço L (U, V )
Núcleo de Transformações Lineares
Teorema do Núcleo e Imagem e Isomorfismos
LISTA I: Transformações Lineares
Questão 1: (ZANI - Ex. 8.71) Verifique se as transformações abaixo são lineares:
- T : R^3 → R, T{x, y, z} = x + 5 y − z, {x, y, z} ∈ R^3
Resolução:
i. T(u) + T(v) = T(u + v), com u = {a, b, c} e v = {d, e, f } T(u) + T(v) = (a + 5 b − c) + (d + 5 e − f ) = (a + d) + 5(b + e) − (c + f ) = T(u + v)
ii. T( λ u) = λ T(u), com u = {a, b, c} e λ ∈ R
T( λ u) = λ a + 5 × λ b − λ c = λ (a + 5 b − c) = λ T(u)
∴ T é uma transformação linear
- T : R^3 → R, T{x, y, z} = x + 5 y − z + 1 , {x, y, z} ∈ R^3
Resolução:
i. T(u) + T(v) = T(u + v), com u = {a, b, c} e v = {d, e, f } T(u) + T(v) = (a + 5 b − c + 1) + (d + 5 e − f + 1) = (a + d) + 5(b + e) − (c + f ) + 2 6 = T(u + v)
∴ T não é uma transformação linear
- T : R^3 → R, T{x, y, z} = x^2 + 5 y − z + 1 , {x, y, z} ∈ R^3
Resolução:
i. T(u) + T(v) = T(u + v), com u = {a, b, c} e v = {d, e, f } T(u) + T(v) = (a^2 + 5 b − c + 1) + (d^2 + 5 e − f + 1) = (a^2 + d^2 ) + 5(b + e) − (c + f ) + 2 6 = T(u + v)
∴ T não é uma transformação linear ■
- T : M 2 → M 2 , T(X ) = A X , X ∈ M 2 , onde A ∈ M 2 está fixada.
Resolução:
i. T(X ) + T(Y ) = T(X + Y ), com X , Y ∈ M 2
T(X ) + T(Y ) = A X + AY = A(X + Y ) = T(X + Y )
ii. T( λ X ) = λ T(X ) com X ∈ M 2 , λ ∈ R
T( λ X ) = A × λ X = λ (A X ) = λ T(X )
∴ T é uma transformação linear
7. P 2 (R) → P 2 (R), T(p) = p + q, p ∈ P 2 (R) e q(t) = t^2 + 1 , t ∈ R.
Resolução:
i. T(p) + T(r) = T(p + r), com p = a 1 x + a 0 e r = b 1 x + b 0 , p, r ∈ P 2 (R)
T(p) + T(r) = a 1 x + a 0 + t^2 + 1 + b 1 x + b 0 + t^2 + 1 = (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) + 2 t^2 + 2 6 = T(p + r)
∴ T não é uma transformação linear
Questão 2: (LIMA - Ex. 4.1) Prove que se A, B : E → F são transformações lineares e α ∈ R então A + B e α A, conforme definidas no texto, são transformações lineares.
Resolução:
Considerando u, v ∈ E temos:
i.
α A(u) + α A(v) = α [A(u) + A(v)] ↓ Como A é linear, podemos agrupar
= α A(u + v) ii.
α A( λ u) = α [ λ A(u)] ↓ Por A ser linear
= λα A(u)
Por i. e ii. α A é uma transformação linear
iii.
A(u + v) + B(u + v) = A(u) + A(v) + B(u) + B(v) ↓ Pois A e B são lineares
= A(u) + B(u) + A(v) + B(v) = (A + B)(u) + (A + B)(v) = (A + B)(u + v) iv.
(A + B)( λ u) = A( λ u) + B( λ u) ↓ Pois A e B são lineares
= λ A(u) + λ B(u) = λ [A(u) + B(u)] = λ (A + B)(u)
Por iii. e iv. A + B é uma transformação linear
Assim sendo, α A e A + B são transformações lineares
Questão 4: (LIMA - Ex. 4.6) A expressão geral de um operador linear A : R^2 → R^2 é A(x, y) = (ax + b y, cx + d y) Determine as constantes a, b, c e d de modo que A transforme os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) nos vetores A(u) = (1, 1) e A(v) = (2, 2).
Resolução:
a + 2 b = 1 3 a + 4 b = 2
Do sistema temos que a = 0 e b = 12. Do mesmo modo, c e d podem ser encontrados no sistema semelhante:
{ c + 2 d = 1 3 c + 4 d = 2
Assim a = c = 0 e b = d = 12. Teste:
A(1, 2) = (0 × 1 +
× 2 , 0 × 1 +
× 2)
A(3, 4) = (0 × 3 +
× 4 , 0 × 3 +
× 4)
S = [0 , 12 , 0 , 12 ]
LISTA II: Transformações Lineares e Espaço L (U, V )
Questão 1: (LIMA - Ex. 4.5) Dados os vetores u 1 = (2, −1), u 2 = (1, 1), u 3 = (− 1 , −4), v 1 = (1, 3), v 2 = (2, 3), v 3 = (− 5 , −6), decida se existe ou não um operador linear A : R^2 → R^2 tal que A(u 1 ) = v 1 , A(u 2 ) = v 2 , A(u 3 ) = v 3. Mesma pergunta com v 3 = (5, −6) e com v 3 = (5, 6).
Resolução:
A partir dos dados conseguimos elaborar os sistemas:
A
2 a − b = 1 a + b = 2 a − 4 b = − 5
B
2 c − d = 3 c + d = 3 c − 4 d = − 6
Dos quais obtemos a = 1 , b = 1 , c = 2 , d = 1, e podemos definir um operador linear A(x, y) = (x + y, 2 x + y) tal que:
A(2, −1) = (2 − 1 , 2 · 2 − 1) = (1, 3)
A(1, 1) = (1 + 1 , 2 · 1 + 1) = (2, 3)
A(− 1 , −4) = (− 1 − 4 , 2 · − 1 − 4) = (− 5 , −6)
Para v 3 = (5, −6), temos os sistemas:
A
2 a − b = 1 a + b = 2 a − 4 b = 5
B
2 c − d = 3 c + d = 3 c − 4 d = − 6
Os sistemas B e B são idênticos, porém o sistema A não possui solução, logo não há operador linear possível. Da mesma forma para v 3 = (5, 6), que produz o mesmo sistema impossível A, con- cluímos que também não há operador linear possível.
A
x = x 1 + x 2 + x 3 y = x 1 − x 2 + x 3 z = x 1 + x 2 − x 3
Cuja solução S : {x 1 , x 2 , x 3 } é { y+ 2 z, x− 2 y, x− 2 z}. Portanto:
T 11 = x 1 v 1 =
y + z 2
y + z 2 T 21 = x 2 v 1 =
x − y 2
x − y 2 T 31 = x 3 v 1 =
x − z 2
x − z 2
Assim sendo, a base dual em (R^3 )∗^ da base (u, v, w) ⊂ R^3 é { y+ 2 z, x− 2 y, x− 2 z}.
■
Questão 4: (LIMA - Ex. 4.19) Dados os espaços vetorias E, F prove que L (E, F) é um subespaço vetorial de F (E, F).
Resolução:
Tomemos T, S ∈ L (E, F), ∈ R com T, S transformações lineares. Então vamos mos- trar que:
i. T + S ∈ L (E, F) Considerando u, v ∈ E e λ ∈ R
(T + S)(u + λ v) = T(u + λ v) + S(u + λ v) = T(u) + λ T(v) + S(u) + λ S(v) = T(u) + S(u) + λ [T(v) + S(v)] = (T + S)(u) + λ (T + S)(v)
∴ T + S ∈ L (E, F)
ii. λ T ∈ L (E, F) Considerando u, v ∈ E e λ , δ ∈ R
( δ T)(u + λ v) = δ T(u + λ v) = δ [T(u) + λ T(v)] = δ T(u) + δ · λ T(v) = ( δ T)(u) + λ ( δ T)(v)
∴ δ T ∈ L (E, F)
Questão 5: (LIMA - Ex. 4.20) Seja V = {v 1 , ..., vn} uma base do espaço vetorial E. Para cada i = 1 , 2 , ..., n, seja f 1 : E → R o funcional linear determinado (conforme Teorema 4. em LIMA) pelas condições fi(vi) = 1 , fi(v (^) j) = 0 se j 6 = i. Prove que { f 1 , ..., fn} é uma base de E∗^ = L (E, R) (chamada de base dual da base V ). Mostre que se tem fi(v) = xi para todo v = x 1 v 1 + ... + xnvn ∈ E.
Resolução:
Temos que V = {v 1 , ..., vn} é uma base para o espaço E, e, por ser um funcional linear, que leva na reta, temos que B = { 1 } é uma base de R. Assim, temos que:
{ fi(vi) = 1 fi(v (^) j) = 0
, j 6 = i
Se v ∈ E, temos:
v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + ...xnvn f 1 (v) = x 1 f 1 (v 1 ) + x 2 f 1 (v 2 ) + ...xn f 1 (vn) f 1 (v) = x 1
Do mesmo modo podemos mostrar que f 2 (v) = x 2 , f 3 (v) = x 3 , ..., fn(v) = xn.
Considere f ∈ L (E, R) e v ∈ E. Vamos mostrar que F é uma combinação linear das fi da forma:
f (v) =
∑^ n
i= 1
α i fi(v)
Temos:
f (v) = f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ... + xnvn) = x 1 f (v 1 ) ↓ ∈ V
x 2 f (v 2 ) ↓ ∈ V
... + xn f (vn) ↓ ∈ V = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ... + xn α n = f 1 α 1 + f 2 α 2 + ... + fn α n
Ou seja:
f (v) =
∑^ n
i= 1
α i fi(v)
LISTA III: Núcleo de Transformações Lineares
Observação: Vamos utilizar a notação internacional para núcleo de T; Ker(T).
Questão 1: (ZANI - Ex. 8.72) Determinar o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
- T : R^2 → R, T(x, y) = y + 2 x, (x, y) ∈ R^2 Resolução: Precisamos encontrar todos os pontos {(x, y) ∈ R^2 | y + 2 x = 0 }, com isso é simples deduzir que:
y + 2 x = 0 y = − 2 x
Assim, K er(T) = {(x, − 2 x), x ∈ R} Geometricamente entendemos que na transformação T, todos os pontos da reta y = − 2 x são levados ao ponto (0, 0)
- T : R^3 → R, T(x, y, z) = z − 2 x, (x, y, z) ∈ R^3 Resolução: Precisamos encontrar todos os pontos {(x, y, z) ∈ R^3 | z − 2 x = 0 }, com isso é simples deduzir que:
i. y = 0 ii.
z − 2 x = 0 z = 2 x
Assim, K er(T) = {(x, 0 , 2 x), x ∈ R} Geometricamente entendemos que na transformação T, todos os pontos do plano z = 2 x são levados ao ponto (0, 0 , 0)
- T : R^2 → R^2 , T(x, y) = (2x + 2 y, x + y), (x, y) ∈ R^2
Resolução: Precisamos encontrar todos os pontos {(x, y) ∈ R^2 | 2 x + 2 y = 0 e x + y = 0 }, com isso é simples deduzir que:
i. Precisamos elaborar um sistema linear.
ii.
2 x + 2 y = 0 x + y = 0 Como resultado temos y = −x.
Assim, K er(T) = {(x, −x), x ∈ R} Geometricamente entendemos que na transformação T, todos os pontos da reta y = −x são levados ao ponto (0, 0)
- T : R^2 → R^2 , T(x, y) = (x + y, x − y), (x, y) ∈ R^2
Resolução: Precisamos encontrar todos os pontos {(x, y) ∈ R^2 | x + y = 0 e x − y = 0 }, com isso é simples deduzir que:
i. Precisamos elaborar um sistema linear.
ii.
x + y = 0 x − y = 0 Porém este é um sistema impossível. Sendo assim, K er(T) = [(0, 0)].
- T : R^3 → R^3 , T(x, y, z) = (z − x, z − 2 x, z − 3 x), (x, y, z) ∈ R^3
Resolução: Precisamos encontrar todos os pontos {(x, y, z) ∈ R^3 | z− x = 0 , z− 2 x = 0 e z− 3 x = 0 }, com isso é simples deduzir que:
i. Precisamos elaborar um sistema linear.
ii.
−x + z = 0 − 2 x + z = 0 − 3 x + z = 0 Que não possui solução não trivial. Assim sendo, K er(T) = {(0, y, 0), y ∈ R}.
Geometricamente entendemos que na transformação T, todos os pontos da reta r = (0, 0 , 0) + λ (0, 1 , 0) são levados ao ponto (0, 0 , 0).
- T : R^2 → R, T(x, y) = y + 2 x, (x, y) ∈ R^2.
Resolução: Precisamos encontrar o núcleo que são todos os pontos {(x, y) ∈ R^2 | y + 2 x = 0 }, com isso é simples deduzir que:
y + 2 x = 0 y = − 2 x
Assim, K er(T) = {(x, − 2 x), x ∈ R} Com isso podemos considerar uma base para o núcleo como sendo B = [(1, −2)] I mg(T) = R e uma base seria C = [1].
- T : M 2 → M 2 , T(X ) = A X , X ∈ M 2 , onde A =
2 4
Resolução: Precisamos encontrar o núcleo que são as matrizes
A X =
2 4
×
( (^) a b c d
( (^) a+ 2 c b+ 2 d 2 a+ 4 c 2 b+ 4 d
0 0
Que gera os sistemas:
A:
{ (^) a + 2 c = 0 2 a + 4 c = 0
B:
{ (^) b + 2 d = 0 2 b + 4 d = 0
Cuja solução é: a = − 2 c, b = − 2 d, então o núcleo são as matrizes: ( − 2 c − 2 d c d
c, d ∈ R
Assim a base do núcleo é B = [
1 0
0 1
].
A imagem de T é dada por:
A X =
2 4
×
( (^) a b c d
( (^) a+ 2 c b+ 2 d 2 a+ 4 c 2 b+ 4 d
Assim a base da imagem é dada por:
C =
( (^) a+ 2 c b+ 2 d 2 a+ 4 c 2 b+ 4 d
= a ·
2 0
- b ·
4 0
- c ·
0 2
- d ·
0 4
, a, b, c, d ∈ R Eliminamos as matrizes múltiplas e temos: C = [ ( (^) 1 0 2 0
) , ( (^) 0 1 0 2
) ]
4. T : P 2 {R} → P 2 {R}, T(p) = p′, p ∈ P 2 {R}.
Resolução:
Precisamos encontrar o núcleo que são todos os polinômios {p ∈ P 2 {R} | p′^ = 0 }, com
isso é evidente que:
i. Os polinômios tal que p′^ = 0 são os polinômios constantes. Então K er(T) =
P 0 {R}, e uma base é B = [1].
ii. A imagem são os p′, assim, se p = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 → p′^ = a 1 + 2 a 2 x e uma base é C = [1, 2 t].
5. T : P 2 {R} → P 2 {R}, T(p) = p′^ + p′′, p ∈ P 2 {R}.
Resolução:
Precisamos encontrar o núcleo que são todos os polinômios {p ∈ P 2 {R} | p′^ + p′′^ = 0 },
com isso temos que:
i. Se p = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 , então: { p′^ = a 1 + 2 a 2 x p′′^ = 2 a 2 Portanto,
p′^ + p′′^ = 0 a 1 + 2 a 2 x + 2 a 2 = 0 (a 1 + 2 a 2 ) + 2 a 2 x = 0 { a 1 + 2 a 2 = 0 2 a 2 = 0
→ a 2 = a 1 = 0
K er(T) = a 0 = P 0 {R} e uma base é B = [1]
ii. A imagem são os p′^ + p′′, assim, se p = a 0 +a 1 x+a 2 x^2 → p′^ + p′′^ = a 1 +a 2 (2x+2) e uma base é C = [1, 2 + 2 t].
Questão 3: (ZANI - Ex. 8.77) Determinar um operador linear em R^4 cujo núcleo é gerado pelos vetores (1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0). Resolução: Precisamos determinar uma T tal que a base do núcleo seja B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0)]. Como B ⊂ R^4 , vamos aproveitar estes dois vetores e supor outros dois, mais simples pos- síveis, para formarmos uma base para o R^4. Assim, podemos supor B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , 0)] uma base de R^4. Deste modo:
(x, y, z, w) = a(1, 1 , 0 , 0) + b(0, 0 , 1 , 0) + c(1, 0 , 0 , 0) + d(0, 1 , 0 , 0) = (a + c, a + d, b, c) (1)
O que dá o sistema:
x = a + c y = a + d z = b w = c Cuja solução é S = {x − w, z, w, y − x + w} que substituiremos na equação (1). (x, y, z, w) = (x − w)(1, 1 , 0 , 0) + z(0, 0 , 1 , 0) + w(1, 0 , 0 , 0) + (y − x + w)(0, 1 , 0 , 0) ↓ Vamos aplicar uma transformação T
T[(x, y, z, w)] = (x − w)T[(1, 1 , 0 , 0)] + zT[(0, 0 , 1 , 0)] + wT[(1, 0 , 0 , 0)] + (y − x + w)T[(0, 1 , 0 , 0)] ↓ Usamos o fato de T[(1, 1 , 0 , 0)] = T[(0, 0 , 1 , 0)] = (0, 0 , 0 , 0)
T[(x, y, z, w)] = wT[(1, 0 , 0 , 0)] + (y − x + w)T[(0, 1 , 0 , 0)]
Como são infinitas as possibilidades de operadores lineares que obedecem ao requisito proposto pelo exercício, podemos supor os res para T[(1, 0 , 0 , 0)] e T[(0, 1 , 0 , 0)]. Então se: T[(1, 0 , 0 , 0)] = (1, 0 , 0 , 0) e T[(0, 1 , 0 , 0)] = (0, 1 , 0 , 0), temos:
T[(x, y, z, w)] = wT[(1, 0 , 0 , 0)] + (y − x)T[(0, 1 , 0 , 0)] T[(x, y, z, w)] = w(1, 0 , 0 , 0) + (y − x + w)(0, 1 , 0 , 0) T[(x, y, z, w)] = (w, y − x + w, 0 , 0)
Agora vamos verificar se o núcleo da transformação T : R^4 → R^4 , T(x, y, z, w) = (w, y − x + w, 0 , 0) é gerado pela base B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0), (0, 1 , 0 , 0)]. O núcleo de T são os pontos {(x, y, z, w) ∈ R^4 |w = 0 , y − x + w = 0 }. É evidente que w = 0 → y = x, logo K er(T) = [(x, x, z, 0)], que podemos decompor para encontrar a base:
(x, x, z, 0) = (x, x, 0 , 0) + (0, 0 , z, 0) = x(1, 1 , 0 , 0) + z(0, 0 , 1 , 0)
Portanto a base do núcleo de T(x, y, z, w) = (w, y−x+w, 0 , 0) é B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0)], que bate com a base dada pelo problema.
Questão 4: (ZANI - Ex. 8.78) Determinar um operador linear em R^4 cujo núcleo e a imagem sejam gerados pelos vetores (1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0). Resolução:
Podemos proceder da mesma forma que no exercício 8.77.
Precisamos determinar uma T tal que a base do núcleo e imagem seja B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0)]. Como B ⊂ R^4 , vamos aproveitar estes dois vetores e supor outros dois, mais simples pos- síveis, para formarmos uma base para o R^4.
Observação: Como B será, também, base para a imagem, as coordenadas destes novos vetores precisam ser parecidas com as da base B, isto é, se temos o vetor (1, 1 , 0 , 0) e (0, 0 , 1 , 0), podemos supor os vetores (1, 0 , 0 , 0) e (0, 0 , 1 , 1). Isso é importante para impedir que as coordenadas definidas pelos vetores da base não sejam zeradas.
Assim, podemos supor a base B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 1)] uma base de R^4. Deste modo:
(x, y, z, w) = a(1, 1 , 0 , 0) + b(0, 0 , 1 , 0) + c(1, 0 , 0 , 0) + d(0, 0 , 1 , 1) = (a + c, a, b + d, d) (1)
O que dá o sistema:
x = a + c y = a z = b + d w = d Cuja solução é S = {y, z − w, x − y, w} que substituiremos na equação (1).
(x, y, z, w) = y(1, 1 , 0 , 0) + (z − w)(0, 0 , 1 , 0) + (x − y)(1, 0 , 0 , 0) + w(0, 0 , 1 , 1) ↓ Vamos aplicar uma transformação T
T[(x, y, z, w)] = yT[(1, 1 , 0 , 0)] + (z − w)T[(0, 0 , 1 , 0)] + (x − y)(1, 0 , 0 , 0) + w(0, 0 , 1 , 1) ↓ Usamos o fato de T[(1, 1 , 0 , 0)] = T[(0, 0 , 1 , 0)] = (0, 0 , 0 , 0)
T[(x, y, z, w)] = (x − y)T[(1, 0 , 0 , 0)] + wT[(0, 0 , 1 , 1)]
Como são infinitas as possibilidades de operadores lineares que obedecem ao requisito proposto pelo exercício, podemos supor que os valores para T[(1, 0 , 0 , 0)] e T[(0, 1 , 0 , 0)] são os vetores da base. Então: T[(1, 0 , 0 , 0)] = (1, 1 , 0 , 0) e T[(0, 0 , 1 , 1)] = (0, 0 , 1 , 0), temos:
T[(x, y, z, w)] = (x − y)T[(1, 0 , 0 , 0)] + wT[(0, 0 , 1 , 1)] T[(x, y, z, w)] = (x − y)(1, 1 , 0 , 0) + w(0, 0 , 1 , 0) T[(x, y, z, w)] = (x − y, x − y, w, 0)
Agora vamos verificar se o núcleo da transformação T : R^4 → R^4 , T(x, y, z, w) = (x − y, x − y, w, 0) é gerado pela base B = [(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 1)].