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Resolu¸c˜ao de exerc´ıcios Matem´atica Discreta - 1 o^ Trabalho
1: Considere P = {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } com
- A 1 = { 1 , 3 , 5 }
- A 2 = { 2 , 4 }
- A 3 = { 1 }
- A 4 = { 3 , 5 }
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
(a) Exibe uma função de escolha que seja bijetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 3
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 1 } → 1
- A 4 = { 3 , 5 } → 5
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } → 4
(b) Exibe uma função de escolha que não seja bijetora. Observe se esta função é injetora ou sobrejetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 1
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 1 } → 1
- A 4 = { 3 , 5 } → 5
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } → 4
Essa função de escolha não é sobrejetora, dado que a Im 6 = B, como também não é injetora, uma vez A 1 e A 3 possuem a mesma imagem.
2: Considere P = {A 1 , A 2 , A 3 } com
- A 1 = { 1 , 3 , 5 }
- A 2 = { 2 , 4 }
- A 3 = { 2 , 3 }
(a) Exibe uma função de escolha que seja injetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 1
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 2 , 3 } → 3
(b) Exibe uma função de escolha que não seja injetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 1
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 2 , 3 } → 2
3: Considere P = {A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 } com
- A 1 = { 1 , 3 , 5 }
- A 2 = { 2 , 4 }
- A 3 = { 1 }
- A 4 = { 3 , 5 }
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
- A 6 = { 1 , 2 , 4 }
(a) Exibe uma função de escolha que seja sobrejetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 1
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 1 } → 1
- A 4 = { 3 , 5 } → 3
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } → 5
- A 6 = { 1 , 2 , 4 } → 4
(b) Exibe uma função de escolha que não seja sobrejetora.
Resposta:
- A 1 = { 1 , 3 , 5 } → 1
- A 2 = { 2 , 4 } → 2
- A 3 = { 1 } → 1
- A 4 = { 3 , 5 } → 3
- A 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } → 4
- A 6 = { 1 , 2 , 4 } → 4
(c) Explique porque, neste caso, não existe função de escolha injetora.
Resposta:
Para uma função ser injetora, no mínimo devemos ter uma quantidade de elementos no contradomínio (conjunto B) igual a quantidade de elementos no domínio, uma vez que a premissa para uma função ser injetora é a de que elementos distintos do domínio devem ter imagens distintas. Nesse caso em específico, temos 6 elementos no domínio e apenas 5 no contradomínio, se tornando impossível existir uma função de escolha injetora.
