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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
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Goiânia - 2014
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exercicios eletromag, Exercícios de Eletromagnetismo
lista de exercicios sobre eletricidade e magnetismo
O que você vai aprender
- Qual é a força elétrica que atua sobre a carga Q3?
- Qual é a força elétrica que atua sobre a carga Q2?
- Qual é a direção e sentido da força elétrica resultante na carga Q1?
- Qual é o módulo da força elétrica que atua sobre a carga q1 agora?
Tipologia: Exercícios
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
EXERCÍCIOS
NOTA DE AULA I
Goiânia - 2014
E X E R C Í C I O S
- O esquema abaixo mostra três cargas puntiformes fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q 2 (b) Que atua na carga Q 3.
Q 1 =36C Q 2 = 16C Q 3 = 2C 2m 4 m horizontal
a) Inicialmente devemos repersentar as duas forças que atuam em 2.
Como as duas forças têm a mesma direção e sentidos contrários a força
resultante tem um valor que é dado pela diferença entre as duas
q
forças e o sentido no sentido de maior valor.
Todas as grandezas devem estar no S.I.
9 6 6 1 2 (^12 0 2 ) 12
q q F K N d
9 6 6 3 2 (^32 0 2 ) 32
q q F K N d
12 32
é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.
R
R
F F F N
F
b) A resolução é feia de maneira semelhante ao item (a).Como as duas forças têm a mesma direção e sentido,
a força resultante tem um valor que é dado pela soma entre as duas forças. Todas as grandezas devem estar no S.I.
9 6 6 1 3 13 0 2 2 13
q q F K N d
9 6 6 2 3 23 0 2 2 23
q q F K N d
13 23 0,018^ 0,018^ 0,
é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.
R
R
F F F N
F
- A figura abaixo mostra duas cargas, q 1 e q 2 , mantidas a uma distância fixa d uma da outra. (a) Qual é
o módulo da Força eletrostática que atua sobre q 1? Suponha q 1 = q 2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma terceira carga q 3 = 20,0 C é trazida e colocada na posição mostrada na Fig.01b. Qual é agora o módulo da força eletrostática que atua sobre q 1?
1 2
1 2 0 2 0 2
1 2
R
Q Q
a
F
F F
q Q q Q K K a a
q q
1 2
1 2 0 2 0 2
1 2
1 2
R
Q Q
Como as forças possuem sentidos opostos
as cargas também devem
po
b
F
F F
q Q q Q K K a a a
ssuir sinais opos s
q
to
q
q q
- Na figura abaixo, quais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante que
atua sobre a carga no vértice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10
- C e a = 5,0 cm?
2
7 7 1 4 9 1 0 2 2 2
7 3 4 9 (^3 0 )
2 2 diagonal do quadrado 7, 07
inicialmente devemos representar as três forças que atuam na carga considerada.
d a a d cm
q q F K N a
q q F K a
7
2 2
7 7 4 2 9 2 0 2 2 2
N
x
q q F K N d
Temos que decompor a força 2 em suas componentes x e y.
2 2 cos 45^ 0,036^ 0,707^ 0,025^2
o o F (^) x F N F (^) y F sen
Como temos agora quatro forças, somamos as forças nas mesmas direções e depois usamos o
teorema de Pitágoras para achar a resultante, com isso, temos
2 3
1 2
2 2 2 2
se quisermos encontrar o módulo da força resultante, temos:
h x
v y
R h v
R
F F F N
F F F N
F F F
F N
- Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e
colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da terceira carga.
3
A única maneira de todo o sistema ficar em equilíbrio, ou seja, cada uma das cargas estar sob ação
de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos é se uma carga negativa
for colocad
q
a entre as cargas q 1 (^) e q 2.
3
(^1 3 2 3 3 ) (^13 23 0 2 0 2 0 )
1
2 1 3 1 3 (^21 31 0 2 0 2 0 2 )
Usando a condição de equilíbrio na carga temos que:
usando a condição de equilíbrio na carga temos que:
q
q q q q (^) qq qq L F F K K K K x x (^) L x x L x
q
q q q q (^) qq q q F F K K K K L x L x
3 3
3 1 2 1
como a carga é negativa, temos 9
A carga deve ser colocada entre e , a uma distância de 3
q q
q q q
L
q q q q
- Uma carga Q é dividida em duas partes q e (Q – q) , que são, a seguir, afastadas por certa distância
entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q , de modo que a repulsão eletrostática entre as duas cargas seja máxima.
^ ^
2
(^0 2 )
(^0 )
Quando a força for máxima a sua derivada em relação a carga será nula.
Como a derivada segunda da força em relação à carga é negativa, podemos
afirmar
q Q q^ qQ^ q F K K r r
q
dF Q^ q Q K Q q q dq r
q
^
que a força será máxima quando dividirmos a carga total ao meio.
- Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q , estão suspensas por fios não
condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha tão pequeno que tan possa ser substituída por sen com erro desprezível. (a) Mostre que, para o equilíbrio,
, 2
1 / 3
0
2
mg
qL x
15
9
1 2 (^0 2 ) 15
9 19 2
2 15
q e
e
r m
e e q q F K r
F F N
- Qual deve ser a distância entre dois prótons pra que o módulo da força eletrostática atuando sobre
qualquer um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton = 1,67 x 10-27 kg.
27
9 19 2 1 2 26 0 2 26
F P mg
q q K r r
r m r cm
- Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 50 cm, tem
módulo igual a 2,0 N/C?
2 0 2
2 2 2
9 0
11
o
q
r cm
E N C
q q E K r r
Er q K
q C
- O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do
campo elétrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 10
8 N/C, na direção horizontal e sentido para a direita. a) No ponto A. b) No ponto B.
Q 1 = 64. 10
- 6 C A Q 2 = 64. 10 - 6 C B
2 cm 2 cm 4 cm horizontal
6 6 1 2 9 (^1 2 0 2 2 2 ) 2 2 1 2
T
T
q q a E E E K r r
E N C
^
6 6 1 2 9 (^1 2 1 2 0 2 2 2 ) 2 2 1 2
8
4,5 10 / , na direção horizontal e sentido para a direita
T T
T
q q b E E E E E E K r r
E N C
^
- Duas cargas puntiformes de módulos Q 1 = 2,0 x 10 - C e Q 2 = 8,5 x 10 - C estão separadas por uma distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde está a outra? (b) Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas?
7 1 8 2
7 1 1 9 3 (^1 2 0 2 ) 2
8 2 2 9 3 (^2 2 0 2 ) 2
1 1 2 2 1 2
3 8 3
o
o
q C
q C
r cm
a
q q E K N C r r
q q E K N C r r
b
F E q E q F F
F N
14. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo 2,0 10
- C ) são mantidas a uma distância de 15
cm uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia distância entre as cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que atuaria sobre um elétron colocado nesse ponto?
7 1 7 2
q C
q C
r cm
1 2 (^1 2 0 2 ) 1 2
7 7 9 2 2 2 2
3
T
T
T
a
q q E E E K r r
E
E N
na direção da carga ne a iva
C
g t
^
1 2 (^1 2 1 2 0 2 20 2 ) 1 2
0 0 2 2
B B
B
q q (^) q q b E E E E E E K K r r (^) d d
K q K q E d d
para a direita
^
^ ^ ^
^ ^ ^
c) 0 2
C
K q E d
, para a esquerda.
- Duas cargas q 1 = 2,1x - C e q 2 = -4 q 1 estão fixas a uma distância de 50 cm uma da outra. Determine, ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero.
Para que o campo elétrico resultante seja nulo, os campos gerados pelas duas cargas devem ter mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto o ponto deve estar fora do segmento que une as cargas e mais próximo da carga de menor módulo ( q 1 ).
1 2 8 8 0 1 0 2 2 2 2 2 1 2
E E
K q K q
d d x (^) x
x m
O campo elétrico resultante será nulo num ponto fora do segmento que une as cargas a uma distância de 0,5 m de q 1 e a 1,0 m de q 2.
- Na figura abaixo, qual o campo elétrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q 1 =
+5q, q 2 = +5q, q 3 = +3q e q 4 = -12q,
Inicialmente devemos representar no ponto P os campos gerados para cada uma das quatro cargas. Em seguida determinamos o valor de cada campo neste ponto.
0 (^1 2 )
0 (^3 )
0 0 (^4 2 )
K q E E d
K q E d
K q K q E d d
Os campos gerados pelas cargas q 1 e q 2 têm a mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto se anulam. O mesmo acontece com os campos gerados por q 3 e q 4 , portanto o campo resultante no ponto P é nulo.
- Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura abaixo. Adote
6 a 6,00 10 m
Por simetria vemos que as contribuições das duas cargas q 1 = q 2 = +e se cancelam, então calculamos
apenas a contribuição de q 3 = +2e. A magnitude do campo elétrico é:
2 2 2 0 0 0
1 2 1 2 1 4 | | (^4 4) ( / 2) 4
T
e e e E r a a
Este campo aponta em 45°, em relação ao eixo x.
- Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da figura abaixo,
sabendo que q 1 =+1,0 10
-
C, q 2 =-2,0 10
-
C, q 3 =+2,0 10
-
C e q 4 = -1,0 10
- C e a = 5,0 cm.
0 0 2 2
0 3 (^2 2 )
/2 / 0 3 0 3 (^0 2 2 2 02 )
cos cos
y
y
L L
y
K dq K dx R dE dE r r r
K R dE dx
x R
K R
dE dx K R dx
x R x R
Para resolver a integral vamos usar substituição trigonométrica. Fazendo:
3 (^2 2 )
I dx
x R
e
2 2 2
x R tg temos:
2 2 2
3 3 2 3 (^2 2 2 2 2 2 2 2 )
2 2
2 3 2 3 2 2 (^2 )
2 1 (^2 2 2 )
sec sec 1 sec
1 sec 1 sec 1 1 cos sec sec sec
R d d d I R R R tg R R tg R tg
d d d I d R R R R
sen x I R R x R
Portanto,
/
0 (^0 1 ) (^2 2 2 2 2 )
0
L
y y
x^ K^ L E K R E
R x R R L R
Temos que: 0
0
L q K
Finalmente podemos escrever:
1 (^2 2 ) 0
y
q E
R L R
.
Lembrando que Eyé a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra. O campo
resultante é:
1 (^2 2 ) 0
y
q E E
R L R
- Uma barra fina não condutora, de comprimento L , tem uma carga q uniformemente distribuída ao
longo de seu comprimento. Mostre que o campo elétrico no ponto P , sobre o eixo da barra, a uma
distância a de sua extremidade é dado por: E = q / [4 oa(L+a)]
0 0 2 2
0 2 2 0 0 0
L L
K dq K dx dE x a x a
K
E dx K x a dx x a
Calculando a integral:u x a du dx
2 2 1 1
0
L
I x a dx u du u x a
(^)
(^1 0 0 ) 0 0
L K K K L E K x a L a a a L a
^ (^)
Temos que: 0
0
K
L q e
Portanto:
(^40)
q E
a L a
- Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio R. Uma carga +Q está
uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre que o campo elétrico no centro do círculo, gerado pelo semicírculo que se encontra à esquerda do eixo y , é dado por: E = Ko Q/π R
2
. (observe que a carga de cada semicírculo é +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda barra circular no centro do círculo.
a) Se pensarmos no semicírculo dividido ao meio, pela simetria, percebemos que as componentes verticais do campo elétrico, gerado por cada metade do semicírculo, se anulam e as componentes horizontais se somam. Vamos determinar a componente horizontal do campo gerado pela metade de cima do semicírculo.
0 0 2 2
0 0 2
x
x
K dq K ds dE dEsen sen sen R R
s R ds Rd
K Rd K sen d dE sen R R
/
(^0 ) 0
/ (^0 2 )
Analogamente:
cos
y y
y y
Q
E dE dE sen K sen d r
Q Q
E K E K
r r
0 2
usando a simetria do problema vemos facilmente que as componentes horizontais cancelam-se
enquanto que as verticais reforçam-se. Assim sendo, o módulo do compo total é simplesmente:
2 com o y
K Q
E E
r
vetor correspondente apontando para baixo.
26. Na experiência de Millikan, uma gota de raio 1,64 10
- m e densidade de 0,851 g/cm 3 fica suspensa
na câmara inferior quando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a 1,92 10
5 N/C e aponta verticalmente para baixo. Determine a carga da gota em termos de e.
Para a gota estar em equilíbrio é necessário que a força gravitacional esteja contrabalançada
pela força eletrostática associada ao campo elétrico, ou seja, é preciso ter ,
onde é a massa da go
mg qE
m
ta, é a carga sobre a gora e é a magnitude do compo elétrico
no qual a gota está imersa.
q E
A massa da gota é dada por , com isso temos: 3
m V r
3 3 6
5
19
19
19
3 4 4 1, 64^10 851 9,
e, portanto,
5 ou seja, 5 1, 6 10
r g mg r g q E E E
q C
q n n q e e