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Baixe Equações Diferenciais, 3- edição - BRONSON, Richar; COSTA, Gabriel e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
3º edição RICHARD BRONSON GABRIEL COSTA e Mais de 500 problemas resolvidos «E = Um capítulo novo sobre modelagem de sistemas E mm Inclui métodos numéricos atualizados, transformadas de Laplace e métodos matriciais E Pode ser usado como livro-texto ou como referência complementar V Blog “0 Ciências Exatas Ebooks completos para download em formato PDF Bookman EQUAÇÕES DIFERENCIAIS RICHARD BRONSON, Ph.D. Professor de Matemática e Ciência da Computação Universidade Fairleigh Dickinson GABRIEL B. COSTA, Ph.D. Professor Associado de Matemática, Academia Militar dos Estados Unidos Professor Associado de Matemática e Ciência da Computação Universidade Seton Hall EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3º Edição Tradução: Fernando Henrique Silveira Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição: Antonio Pertence Júnior Professor titular de Matemática da Faculdade de Sabará/MG Membro efetivo da SBM Versão impressa desta obra: 2008 Na Bookmar”, 2008 Obra originalmente publicada sob o título Schaum's Outline: Differential Eguations, 3rd Edition ISBN 0-07-145687-2 Copyright O 2006, The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Portuguese-language translation copyright O 2008, Bookman Companhia Editora Ltda., a division of Artmed Editora S.A. All rights reserved. Capa: Rogério Grilho Leitura final: Verônica de Abreu Amaral Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica: Techhooks Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED? EDITORA S. A. (BOOKMAN” COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED” EDITORA S.A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av, Angélica, 1091 - Higienópolis 01227-100 São Paulo SP Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Prefácio As equações diferenciais constituem um dos intrumentos-chave da matemática moderna que, juntamente com as matrizes, são essenciais para análise e solução de problemas complexos de engenharia, ciências naturais, economia e, até mesmo, negócios. O surgimento de computadores de baixo custo e com alta velocidade tem impulsionado o desenvolvimento de novas técnicas para a solução de equações diferenciais, permitindo modelar e resolver proble- mas complexos baseados em sistemas de equações diferenciais. Tal como nas duas edições anteriores, este livro descreve não apenas a teoria clássica das equações diferen- ciais, como também várias técnicas de solução, incluindo matrizes, métodos de série, transformadas de Laplace e diversos métodos numéricos. Adicionamos um capítulo sobre modelagem e apresentamos alguns métodos qualita- tivos que podem ser aplicados quando soluções analíticas forem de difícil obtenção. Um capítulo sobre equações diferenciais clássicas (como as equações de Hermite, Legendre, etc.) foi adicionado para expor ao leitor esta rica e histórica área da matemática. Esta edição também contempla um capítulo sobre equações de diferença, traçando um paralelo destas com as equações diferenciais. Além disso, apresentamos ao leitor uma introdução às equações diferenciais parciais e às técnicas de solução para integração e separação de variáveis. Finalmente, incluímos um apêndice tratando de tecnologias, como a calculadora portátil TI-89 e o software MATHEMATICA. Alguns tópicos, como as equações integrais de convolução, os números de Fibonacci, as funções harmônicas, a equação do calor e a equação de onda, foram apresentados nos problemas resolvidos e suplementares. Fizemos alusão, também, à ortogonalidade e às funções de peso para equações diferenciais clássicas e suas soluções polino- miais. Mantivemos a ênfase nos problemas de valor inicial e nas equações diferenciais sem condições auxiliares. É nosso objetivo apresentar de fato todos os tipos de problema que o estudante pode encontrar em um curso de equações diferenciais com duração de um semestre. Cada capítulo deste livro é dividido em três partes. A primeira parte destaca aspectos relevantes da teoria e resume os procedimentos de resolução, chamando a atenção para dificuldades e sutilezas potenciais que facilmente poderiam passar despercebidas. A segunda parte consiste em problemas resolvidos destinados a esclarecer e, even- tualmente, aumentar o conteúdo apresentado na primeira parte. Finalmente, existe uma seção de problemas com respostas, que permite ao leitor testar sua compreensão dos conceitos apresentados. Os autores gostariam de agradecer as seguintes pessoas pelo apoio e pelo auxílio inestimável com respeito à realização deste livro. Não poderíamos tê-lo feito tão rapidamente sem o apoio e encorajamento dessas pessoas. Somos particularmente agradecidos ao Reitor John Snyder e ao Dr. Alfredo Tan da Universidade Fairleigh Dickin- son. O apoio contínuo do Reverendo John J. Myers, J.C.D., D.D., Arcebispo de Newark, N.J., é também reconheci- do. Da Universidade Seton Hall, somos agradecidos ao Reverendo Monsenhor James M. Cafone e aos membros da Comunidade de Sacerdotes; ao Dr. Fredrick Travis, Dr. James Van Oosting, Dr. Molly Smith e Dr. Bert Wachsmuth e aos membros do departamento de Matemática e Ciência da Computação. Agradecemos também ao Coronel Gary W. Krahn da Academia Militar dos Estados Unidos. viii PrEFÁciIO Agradecemos a Barbara Gilson e Adrinda Kelly da McGraw-Hill que sempre estiveram prontas a nos conceder qualquer auxílio, e a Dra. Carol Cooper, nosso contato no Reino Unido, que foi igualmente útil. Obrigado a todos vocês. 10 Sumário CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 11 CAPÍTULO 12 CAPÍTULO 13 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Lineares Método de solução Redução da equação de Bernoulli Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira Ordem Problemas de crescimento e decaimento Problemas de temperatura Problemas de queda dos corpos Problemas de diluição Circuitos elétricos Trajetórias ortogonais Equações Diferenciais Lineares: Teoria das Soluções Equações diferenciais lineares Soluções linearmente independentes O Wronskiano Equações não-homogêneas Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes Observação introdutória A equação característica A solução geral Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes A equação característica A solução geral O Método dos Coeficientes Indeterminados Forma simples do método Generalizações Modificações Limitações do método Variação dos Parâmetros O método Objetivo do método Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Lineares 56 56 65 66 66 67 87 87 88 88 89 97 97 97 98 103 103 104 108 108 109 109 109 117 117 118 124 Sumário 11 CAPÍTULO 14 Aplicações das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 128 Problemas de mola 128 Problemas de circuitos elétricos 129 Problemas de flutuação 130 Classificação de soluções 131 CAPÍTULO 15 Matrizes 145 Matrizes e vetores 145 Adição de matrizes 146 Multiplicação por escalar e multiplicação matricial 146 Potências de uma matriz quadrada 146 Diferenciação e integração de matrizes 146 A equação característica 147 CAPÍTULO 16 e! 154 Definição 154 Cálculo de e“ 154 CAPÍTULO 17 Redução de Equações Diferenciais Lineares para um Sistema de Equações de Primeira Ordem 162 Um exemplo 162 Redução de uma equação de ordem n 163 Redução de um sistema 164 CAPÍTULO 18 Métodos Gráficos e Numéricos para Solução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 171 Métodos qualitativos 17 Campos de direção 171 Método de Euler 172 Estabilidade 172 CAPÍTULO 19 Métodos Numéricos para Solução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 190 Observações gerais 190 Método de Euler modificado 191 Método Runge-Kutta 191 Método de Adams-Bashforth-Moulton 191 Método de Milne 191 Valores de partida 192 Ordem de um método numérico 192 SUMÁRIO 13 CAPÍTULO 28 CAPÍTULO 29 CAPÍTULO 30 CAPÍTULO 31 CAPÍTULO 32 CAPÍTULO 33 CAPÍTULO 34 Soluções de equações homogêncas na vizinhança da origem Soluções de equações não-homogêneas na vizinhança da origem Problemas de valor inicial Soluções na vizinhança de outros pontos Soluções em Séries na Vizinhança de um Ponto Singular Regular Pontos singulares regulares Método de Frobenius Solução geral Algumas Equações Diferenciais Clássicas Equações diferenciais clássicas Soluções polinomiais e conceitos associados Função Gama e Funções de Bessel Função gama Funções de Bessel Operações algébricas com séries infinitas Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais Conceitos introdutórios Soluções e técnicas de solução Problemas de Valores de Contorno de Segunda Ordem Forma padrão Soluções Problemas de autovalores Problemas de Sturm-Liouville Propriedades dos problemas de Sturm-Liouville Expansões em Autofunções Funções parcialmente suaves Séries de senos de Fourier Séries de co-senos de Fourier Uma Introdução às Equações de Diferença Introdução Classificações Soluções 2117 278 278 278 289 289 289 290 304 304 304 309 309 310 310 318 318 319 323 323 324 324 324 324 332 332 333 333 339 339 339 340 14 Sumário APÊNDICE A Transformadas de Laplace APÊNDICE B Alguns Comentários sobre Tecnologia Observações introdutórias TI-89 Mathematica Respostas dos Problemas Complementares Índice 344 350 350 351 351 353 397 16 Equações DIFERENCIAIS Exemplo 1.3 A equação (1.1) é uma equação diferencial de primeira ordem; as equações (1.2), (1.4) e (1.5) são equa- ções diferenciais de segunda ordem. [Note que a derivada de maior ordem da equação (1.4) é dois.] A equação (1.3) é uma equação diferencial de terceira ordem. NOTAÇÃO As expressões y', y”, y”, E GAR vid geralmente são utilizadas para representar as derivadas primeira, segunda, ter- ceira, quarta,..., enésima de y em relação à variável independente considerada. Assim, y” representa EPyldo sea va- riável independente for x, mas representa d'y/dp” se a variável independente for p. Observe o uso dos parênteses em y” para distingui-la da enésima potência, y”. Se a variável independente for o tempo, usualmente denotada por (, as linhas são, em geral, substituídas por pontos. Assim, y, y e y representam dy/dt, d'y/df e d'yidr, respectivamente. SOLUÇÕES Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x no intervalo ) é uma função y(x) que satisfaz a equação diferencial identicamente para todo x em 4. Exemplo 1.4 yx)=csen2x+c,cos 2x, com constantes arbitrárias c, e c,, é solução de y” + 4y = 0 Diferenciando y, temos y=2ecos2x-2c,sen2x e y!=-desendx-de;cos 2x Logo, x +4y =(= 4e;sen 2x — de; cos 2x) + 4cjsen 2x + c; cos 2x) =(-4c)+4c,) sen 2x + (— dc, + 405) cos 2x =0 Assim, y(x) = c sen 2x + c, cos 2x satisfaz a equação diferencial para todos os valores de x e é, consegiientemente, uma solução no intervalo (-s2, co). Exemplo 1.5 Determinese y = X-1€ solução de (y')' +y/=-. Note que o membro esquerdo da equação diferencial dever ser não-negativo para toda função real y(x) e todo x, pois é a soma de duas potências pares, enquanto o membro direito da equação é negativo. Como não há função y(x) que satisfaça esta equação, a equação diferencial dada não possui solução. Observamos que algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções (Exemplo 1.4), enquanto outras não apresentam solução (Exemplo 1.5). Também é possível que uma equação diferencial possua exatamente uma solução. Consideremos (9) +y" = 0, que por motivos idênticos aos apresentados no Exemplo 1.5, admite apenas uma solução y = 0. Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução. Uma solução geral de uma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções. Exemplo 1.6 Pode-se mostrar que a solução geral da equação diferencial do Exemplo 1.4 é y(x) = c,sen 2x + c; cos 2x (ver Capítulos 8 e 9). Isto é, toda solução particular da equação diferencial possui essa forma geral. Algumas soluções particulares são: (a) y = 5 sen 2x — 3 cos 2x (adotando e, = 5 e c, = 3), (b) y = sen 2x (adotando c = le c,=0)e(c)y=0 (adotando e, =c,=0). Nem sempre se pode expressar a solução geral de uma equação diferencial por meio de uma fórmula única. Como exemplo, considere a equação diferencial y' + y” = O que possui duas soluções particulares y = l/xe y =0. PROBLEMAS DE VALORES INICIAIS E DE VALORES DE CONTORNO Uma equação diferencial juntamente com condições auxiliares sobre a função incógnita e suas derivadas (to- das especificadas para o mesmo valor da variável independente), constituem um problema de valores iniciais. As condições auxiliares são condições iniciais. Se as condições auxiliares são especificadas para mais de um CarítuLo 1 * ConcEITOS BÁSICOS 17 valor da variável independente, temos um problema de valores de contorno e as condições são condições de coniomo. Exemplo 1.7 Oproblemay” +2y = e, y(7x)= 1, y'(7) = 2 é um problema de valores iniciais porque as duas condições auxiliares são especificadas para x = 7. O problema y” + 2y' = « y(0) = 1, y(1) = 1 é um problema de valores de contorno, pois ambas as condições auxiliares são especificadas para valores distintos x =0 e x=1. Uma solução de um problema de valores iniciais ou de valores de contorno é uma função y(x) que, simultanea- mente, resolve a equação diferencial e satisfaz todas as condições auxiliares especificadas. Problemas Resolvidos 1.1 Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das seguintes equações diferenciais: (a) 3 -Say=e+] d) d+r"y-(sen)yy="=1+] tod Di cido | aos us O s— +st—=s d) 5— |+]— | +b —-b'= (c) ds” ds (d) [5 ] (6) K (a) (b) (c) (d) Terceira ondem, porque a derivada de maior ordem é a terceira. A função incógnita é y; a variável independente é ag ordem, porque a derivada de maior ordem é a segunda. A função incógnita é y; a variável independente a ordem, porque a derivada de maior ordem é a segunda. A função incógnita é t; a variável independente uu ordem, porque a derivada de maior ordem é a quarta. A elevação de derivadas à potências arbitrárias não modifica o número de derivadas envolvidas. A função incógnita é b; a variável independente é p. 1.2 Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente para cada uma das equações diferenciais seguintes. ds dy, (a) vai (b) (5) =x +1 dy” dy (c) 2% +3x-5x=0 (O) 17-42 =3 cost (a) (b) (c) (d) Segunda ordem. A função incógnita é x; a variável independente é y. Primeira ordem, porque a derivada de maior ordem é a primeira, embora esteja elevada à segunda potência. A função incógnita é x; a variável independente é y. Terceira ordem. A função incógnita é x; a variável independente é t. Quarta ordem. A função incógnita é y; a variável independente é t. Note a diferença de notação entre a derivada de ordem quatro y”, com parênteses, e a quinta potência y”, sem parênteses. 13 Determine se y(x) = 2º” + xe” é uma solução de y" + 2y' +y=0. Diferenciando y(x), temos VM) =-1" + gets" xe x x Vig) =e"- et pxet=xe Substituindo esses valores na equação diferencial, obtemos + ye + ME! ve) + + xe) =0 Assim, y(x) é uma solução. CarítuLo 1 * Concerros Básicos 19 ou c, =. Substituindo estes valores de e, e c, em y(x), obtemos v(x) = ;sen2x como solução do problema de valor inicial. 1.10 Determine uma solução para o problema de valores de contorno y” + 4y = 0; y(7/8) = 0, y(x/6) = 1, consi- derando a solução geral da equação diferencial como sendo y(x) = c, sen 2x +c, cos 2x. (eg fo(eopofgo) Para satisfazer a condição y(r/8) = 0, é necessário que Observe que o(a fralav2 po (D amam Aros oofeyo(so<() Para satisfazer a segunda condição, y(x/6) = 1, é necessário que À a pla! 2 3 + 20 = (2) Solucionando (1) e (2) simultaneamente, obtemos 2 3-1 G=-€= Substituindo esses valores em y(x), obtemos 2 J3-1 como solução do problema de valores de contorno. vtx)= (sen2x - cos2x) 1.11 Especifique uma solução para o problema de valores de contorno y” + 4y = 0; y(0) = 1, y(77/2) = 2 conside- rando a solução geral da equação diferencial como sendo y(x) = c, sen 2x + c, cos 2x. Como y(0) = c, sen O + c, cos O = c,, devemos escolher c, = 1 para satisfazer a condição y(0) = 1. Como y(x/2) =c;senx+c,cosmx=-c, devemos escolher c, = —-2 para satisfazer a segunda condição y(7/2) = 2. Assim, para que ambas as condições de contorno sejam simultaneamente satisfeitas, é necessário que c, seja igual a 1 e -2,0 que é impossível. Sendo assim, este problema não admite solução. 1.12 Determine c, e c, de modo que y(x) = c, sen 2x +c, cos 2x + 1 satisfaça as condições y(7x/8) = 0, vim 18)= 2. Observe que dE Jrose( )rescos[a | | (22 [2 Para satisfazer a condição y(r/8) = 0, é necessário que (in?) + eliN2) +1=0,ou, de forma equivalente, rc =="2 (1) 20 Equações DIFERENCIAIS Como y'(x) = 2c, cos 2x — 2c, sen 2x, y' E =2e, cos E — Ze sen sá 8 4 = a =20[2NB )-26(2VZ Je Vão vã, Fa Para satisfazer a condição y'(x /8)= “2, é necessário que vZe, Es De, = J2 ou, de forma equivalente, ci-o=1 (2) Resolvendo (1) e (2) simultaneamente, obtemos c, =— (V2 — Dec, =- (2 + 1), 1.13 Determine c, e c, de modo que y(x) = c,e” + c,é” + 2 sen x satisfaça as condições y(0) = 0 e y'(0) = 1. Como sen 0=0, w(0)=c, +c,. Para satisfazer a condição y(0) = 0, é necessário que atc=0 (1) De v(W=Ice+ce'+2cosx temos y(0) = 2c, + c, + 2. Para satisfazer a condição y'(0) = 1, exige-se que 2c, + c;+2=1,ou Ze +c=-1 (2) Resolvendo (1) e (2) simultaneamente, obtemos c =-lec,=1. Problemas Complementares Nos Problemas 1.14 a 1.23, determine (a) a ordem, (b) a função incógnita e (c) a variável independente para cada uma das equações diferenciais dadas. 114 0)-3y' +xy=0 115 +” =e 1.16 vs-is=-sent 1,17 9 ray” + ay” — xy +seny=0 dx 3 dr RE 1.18 ar =y +41 1.19 o | ne dy “ue ” d'b 1.20 FR ie 121 a =3p db) 1.22 (5) =3p 1.23 pt) + 2yº%yt3) TE Sy? = e dp 1.24 Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y = 5y = 0? (a) 3=5, (b) y=5x, (0) y=*, (d) y=e*, (e) y=2, 8) y=5* 1.25 Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y' - 3y = 6? (a) y=-2, Cb) y=0, (0) y=e"-2, (d) y=e*-3, (e) y=4"-2 
