EDO EMBASAMIENTO nueva visión, Notas de estudo de Matemática

Baixe EDO EMBASAMIENTO nueva visión e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Elizabeth García David Reich

Ecuaciones

diferenciales

U n a n u e v a v i s i ó n

CD interactivo en esta edición

Ecuaciones diferenciales

Una nueva visión

Ecuaciones diferenciales

Una nueva visión

Ana Elizabeth García Hernández

David Reich

PRIMERA EDICIÓN

MÉXICO, 2015

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Profesor visitante

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx Ilustraciones: Carlos Enrique León Chávez Fotografías: © Thinkstockphoto

Revisión Técnica: Ma. Isabel Flores Reyes Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco

César Román Martínez García Instituto Politécnico Nacional-ESCOM

Ecuaciones Diferenciales. Una nueva visión Derechos reservados: © 2015, Ana Elizabeth García Hernández y David Reich © 2015, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Azcapotzalco, México D. F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43

ISBN
FCPPL: ----

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presenta obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México Printed in Mexico

1SJNFSB
FEJDJØO
FCPPL: 2015

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

“Cuando hay preparación, la solución de problemas puede convertirse en un ejercicio y hasta placentero.” Anónimo

S

in duda alguna, las ecuaciones diferenciales son de gran utilidad en muchas áreas de las matemáticas, las ciencias, la economía y la ingeniería, entre muchas áreas más, lo que significa, en otras palabras, que existen numerosos fenómenos y situaciones de la vida diaria que, a pesar de ser diferentes entre sí en su evolución a lo largo del tiempo, al momento de analizarse comparten, desde el punto de vis- ta técnico, una característica común, y es que todos pueden modelarse mediante una importante herramienta matemática: las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las leyes que determinan la economía, el movimiento de un péndulo, el estudio de poblaciones, el análisis de la producción, entre otros fenómenos cotidianos. El principal propósito de este texto es ofrecer una visión de la enseñanza de las matemáticas por competencias, proceso donde el alumno desarrolle las com- petencias específicas, competencias genéricas y las destrezas de pensamiento que todo estudiante de ingeniería y ciencias debe perfeccionar para su desarrollo aca- démico y profesional. Además, se busca que los estudiantes aprendan a distinguir tres etapas para la solución de problemas en matemáticas:

1. La formulación matemática del problema. 2. La resolución del problema matemático. 3. La interpretación de los resultados obtenidos.

Todo el texto es totalmente flexible; entre sus principales ventajas destaca el hecho de que el alumno o el profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la in- formación contenida, y ni uno ni otro se ven forzados a estudiar los contenidos ca- pítulo por capítulo; es decir, es posible ajustarlo a las propias necesidades de cada lector. Los problemas resueltos, que se incluyen a lo largo de todos los capítulos, ofre- cen al alumno la posibilidad de entender, paso a paso, la solución a dichos pro- blemas, lo que le proporciona las herramientas necesarias para resolver, él mismo, los problemas para resolver que se encuentran al final de cada capítulo, los cuales

Presentación

vii

Contenido

Agradecimientos ..................................................................................................................................................... v

Introducción a las

ecuaciones diferenciales

Competencias específicas a desarrollar Identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial que describa algún fenómeno o proceso dinámico. Interpretar las soluciones que se obtienen de la solución de una ecuación diferencial ordinaria.

¿Qué sabes? ¿Qué es una ecuación diferencial? ¿Por qué son útiles las ecuaciones diferenciales? ¿Cuántos tipos de ecuaciones diferenciales conoces? ¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales en economía? ¿Por qué son importantes las ecuaciones diferenciales en la arqueología contemporánea? ¿Cómo aplicas las ecuaciones diferenciales en ingeniería?

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 5

Sabemos que g  9.8 m/s^2 es una constante, pero la velocidad es una función del tiempo. En esta ecuación se deriva la velocidad y la posición con respecto al tiempo, por tanto es una ecuación diferencial. Entonces, ¿qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de la variable dependiente y de la variable independiente. Asimismo, es una igualdad que contiene una o más derivadas que pueden ser de primer o segundo orden, para la mayoría de los fenómenos físicos.

Entonces, g^ =

dv dt

es una ecuación diferencial; la velo-

cidad depende del tiempo. Por tanto, la solución es v(t), don- de v es la variable dependiente y t la variable independiente. Considerando las condiciones iniciales: v (t  0)  v 0 y t 0  0

− g = ⇒ =− ⇒ (^) ∫ =− (^) ∫ ⇒ ( )= − dv dt

dv gdt dv g dt v t v gt v

v t 0 0 0

4 000 2 000 (^00 5 10 15 20 25 )

x[m]

4 000 2 000 (^00 5 10 15 20 25 )

v[m/s]

4 000 2 000 (^00 5 10 15 20 25 )

a[m/s

2 ]

t(s) Figura 1.2 Desplazamiento, velocidad y aceleración.

Al generalizar, podemos decir que una ecuación diferencial es de la siguiente forma:

( )

( )

dy dt

y f t y

d y dt

y f t y y

d y dt

y f t y y y

n n

n n

2 2

En estos casos, y es la variable dependiente y t la variable independiente.

Toma nota La variable dependiente o función es la que varía de acuerdo con la variación de la va- riable independiente. Por ejemplo, en la ecuación diferencial d x dt

dx dt 3 5 x 0

2 2 +^ +^ =^ , la variable dependiente es x y la variable in- dependiente es t.

6 ECUACIONES DIFERENCIALES

Si regresamos al ejemplo del cuerpo en caída libre, entonces, al resolver la ecuación de movimiento, encontramos la velocidad con respecto al tiempo; es decir, cómo varía la ve- locidad con el tiempo. Esto es, la variación de la velocidad cambia con respecto a la varia- ción del tiempo t: v(t)  v 0  gt

En este sentido, ¿para qué sirven las ecuaciones diferenciales? La respuesta general es: para modelar problemas de variación o cambio. A través de una ecuación diferencial se pueden modelar cambios de cualquier variable; por ejemplo, de posición, de tempera- tura, de población, de capital. En fin, de cualquier cambio que se presente en la vida co- tidiana.

1. ¿Qué es una función matemática? 2. Define con tus propias palabras qué es una ecuación diferencial. 3. Indica si las siguientes expresiones corresponden o no a una ecuación diferencial. Justifi- ca con detalle tu respuesta. a) y '  y cos x b) u  v sen 2 u  0

c) 5 dv+ 2 = 3 dx

v

d) +^ −^ =

1 3

x 2 y^52

e) ∂ ∂

=

2 2

y x

x

4. Completa la siguiente tabla.

Ecuación diferencial

Ordinaria o parcial

Variable independiente

Variable dependiente

= − + dy dx

x 3 2 y 3

y ' = 3 x − 1

∂ ∂

= ∂ ∂

∂ ∂

v u

v t

v z

5

2

y '' = senx −y

= −

t v t

' 2 4 3 2 ∂ ∂

= P t

e Pkt

Actividad de aprendizaje 1.

8 ECUACIONES DIFERENCIALES

Clasificación de acuerdo con el grado

El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada de mayor orden.

Ecuación diferencial ordinaria lineal

Una ecuación diferencial lineal es tal que:   (^) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.   (^) Cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solo de la variable independiente x, o es una constante; es decir, tiene la forma:

1

1 a x 1 1 0

d y dx

a x

d y dx

a x

dy dx n a^ x y^ F x

n n n

n

( ) + −( ) n + + ( ) + ( ) = ( )

− −

Ecuación diferencial ordinaria no lineal

Este tipo de ecuaciones diferenciales no cumple las propiedades anteriores. Observa los ejemplos y sus características:   (^) La ecuación diferencial y '' xyy '  sen x es una ecuación diferencial ordinaria, de orden 2, grado 1, no lineal.

  (^) La ecuación diferencial ∂ ∂

2 2

2 c (^2) x t

y r

A es una ecuación diferencial parcial, de orden 2, grado 0.   (^) La ecuación diferencial x^3 y y ''' x^2 y y ''  y  0 es una ecuación diferencial ordina- ria, de orden 3, grado 1, lineal.   (^) La ecuación diferencial y ''  2 x^3 y '  (x  1) y  xy 3 es una ecuación diferencial no homogénea, de orden 2, no lineal.   (^) La ecuación diferencial ∂ ∂

2 2 2

u x

u y

x y

es una ecuación diferencial parcial, de or- den 2, grado 1.

1. Clasifica las siguientes ecuaciones en ordinarias o parciales, y señala su orden, grado, y si es lineal o no lineal.

a) y ''− 4 z y^3 '+ ( z − 1 )y =xz^3

b) =^ −

dP dt

kP at

c) f ( )x = a 1 ( ) x y '+a 0 ( )x y

d) ∂ ∂

∂ ∂

= t x

t y

x y

(^2 ) 2

e) ⎛ ⎝⎜^

⎞ ⎠⎟ = 1 +

2 2

d y^2 dz

dy dx

Actividad de aprendizaje 1.

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 9

1.4 Solución de las ecuaciones diferenciales

La solución de una ecuación diferencial es una función y  (x) determinada en el in- tervalo (a, b), con sus derivadas sucesivas que satisfacen esta ecuación. Esto significa que al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial se obtiene una identidad para toda x en el intervalo (a, b). Por ejemplo, la función y  sen x  cos x es solución de la ecuación diferencial y ' cos x  sen x. Si se deriva la función y y se sustituye en la ecuación diferencial, se obtiene:

cos x  sen x  cos x  sen x

La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se llama curva solución de la ecuación.

f ( x )=sen( x )+cos( x ) f ( x )=sen( x ) f ( x )=cos( x )

y

x

Figura 1.5 Curva solución y curvas que la componen.

f ) = − dy dx

4 e x

g) (^) tt ''+ u t^2 =u

h)

∂ ∂

∂ ∂

⎛ ⎝⎜

⎞ ⎠⎟

=

4 4

2 2

2 u r

ku x n i) u t^5 4 −^ u t^3 ''+^7 t^ =^0