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Aula 5 – Distribuição amostral da média
Nesta aula você irá aprofundar seus conhecimentos sobre a distribuição amostral da média amostral. Na aula anterior analisamos, por meio de alguns exemplos, o comportamento da média amostral; mas naqueles exemplos, a população era pequena e foi possível obter todas as amostras, ou seja, foi possível obter a distribuição amostral exata. Nesta aula, veremos resultados teóricos sobre a distribuição amostral da média amostral, que nos permitirão fazer análises sem ter que listar todas as amostras.
Objetivos Os principais resultados que estudaremos são:
- média e variância da distribuição amostral da média
- distribuição amostral da média para populações normais
- Teorema Central do Limite
Média e variância da distribuição amostral da média Na aula anterior, vimos, por meio de exemplos, que a média amostral X é um estimador não-viesado da média populacional μ. Na verdade, temos o seguinte resultado geral.
Teorema 5. Seja X1,X2,... ,Xn uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população representada pela variável aleatória X com média μ e variância σ^2. Então,
É importante notar que esse resultado se refere a qualquer população X. O que ele estabelece é que as médias amostrais das diferentes amostras aleatórias simples de tamanho n tendem a “acertar o alvo” da média populacional μ; lembre-se da Figura 4.z, partes (a) e (b). Além disso, à medida que o tamanho amostral n aumenta,
a dispersão em torno do alvo, medida por Var( X ), vai diminuindo e tende a zero quando n → ∞. O desvio padrão
da distribuição amostral de qualquer estatística é usualmente chamado de erro padrão.
Então, o erro padrão da média amostral é
Distribuição amostral da média para populações normais Na prática estatística, várias populações podem ser descritas, aproximadamente, por uma distribuição normal. Obviamente, o teorema anterior continua valendo no caso de uma população normal, mas temos uma característica a mais da distribuição amostral da média: ela é também normal.
Teorema 5. Seja X1,X2,... ,Xn uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população normal, isto é, uma população representada por uma variável aleatória normal X com média μ e variância σ^2. Então, a distribuição
amostral da média amostral X é normal com média μ e variância σ^2 /n, ou seja,
Na Figura 5.1 ilustra-se o comportamento da distribuição amostral da média amostral com base em amostras de tamanho n = 3 para uma população normal com média 2 e variância 9. A título de comparação, apresenta-se a distribuição populacional. Podemos ver que ela é mais dispersa que a distribuição amostral de X, mas ambas estão centradas no verdadeiro valor populacional μ = 2.
Figura 5.1: Distribuição amostral de X com base em aas de tamanho n = 2 de uma população N(2; 9).
Exemplo 5. A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição dos pesos dos usuários é N(70; 100), qual é a probabilidade de que 7 pessoas ultrapassem este limite? E de 6 pessoas? Solução Podemos considerar os 7 passageiros como uma amostra aleatória simples da população de todos os usuários, representada pela v.a. X ∼ N(70; 100). Seja, então, X1,... ,X7 uma aas de tamanho n = 7. Se o peso máximo é 500 kg, para que 7 pessoas ultrapassem o limite de segurança temos de ter
X 71, 429
Mas sabemos que
Logo,Pr( 71, 429) Pr 70 71, 429^70 Pr( 0, 38) 0, 352
X X Z
^
Com 6 pessoas teríamos de ter
Podemos ver que existe uma probabilidade alta (0,35 ou 35% de chance) de 7 pessoas ultrapassarem o limite de segurança. Já com 6 pessoas, essa probabilidade é bastante pequena. Assim, o número máximo de pessoas no elevador deve ser estabelecido como 6 ou menos.
Exemplo 5. Uma v.a. X tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10.
- Calcule Pr(90 < X < 110).
- Se X é a média de uma amostra aleatória simples de 16 elementos retirados dessa população, calcule
Pr(90 < X < 110).
A título de ilustração, apresentam-se na Figura 5.3 as distribuições amostrais de X para n = 16 e n = 4.
Figura 5.3: Distribuição amostral de X com base em amostras de tamanhos n = 16 e n = 4 de uma população N(100;
Exemplo 5. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média μ e desvio padrão 10g.
- Em quanto deve ser regulado o peso médio μ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g?
- Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg? Solução
- Seja X a variável aleatória que representa o peso dos pacotes. Sabemos, então, que X ∼ N(μ; 100). Queremos que
Então, na densidade normal padrão, à esquerda da abscissa (500 − μ) / 10 temos que ter uma área (probabilidade) de 0,10. Logo, essa abscissa tem que ser negativa. Usando a simetria da densidade normal temos as seguintes equivalências:
Veja a Figura 5.4 onde são ilustradas essas equivalências.
Figura 5.4: Solução do Exemplo 5.3.
- Sejam X1, X2, X3, X4 os pesos dos 4 pacotes da amostra. Queremos que
Isso é equivalente a Logo,
Com a máquina regulada para 512,8g, há uma probabilidade de 0,00523 de que uma amostra de 4 pacotes apresente peso médio inferior a 500g. Note que com um pacote apenas, essa probabilidade é de 10%. Por isso, as inspeções de controle de qualidade são sempre feitas com base em amostras de tamanho n > 1.
Figura 5.5: Ilustração do Teorema Central do Limite para uma população X ∼ exp(1).
Em termos práticos, esse teorema é de extrema importância, por isso é chamado teorema central e, em geral, amostras de tamanho n > 30 já fornecem uma aproximação razoável.
Exemplo 5. Uma moeda é lançada 50 vezes, com o objetivo de se verificar sua honestidade. Se ocorrerem 36 caras nos 50 lançamentos, o que podemos concluir? Neste caso, a população pode ser representada por uma variável de Bernoulli X com parâmetro p, isto é, X assume o valor 1 com probabilidade p na ocorrência de cara e assume o valor 0 com probabilidade 1 − p na ocorrência de coroa. Para uma variável de Bernoulli, temos que E(X) = p e Var(X) = p(1 – p). Como são feitos 50 lançamentos, o tamanho da amostra é 50 (n grande!) e, pelo Teorema Central do Limite, X é aproximadamente
normal com média E ( X ) = p e variância Var( X ) = p(1−p)/.
Suponhamos que a moeda seja honesta, isto é, que p = 1/2. Nessas condições, qual é a probabilidade de obtermos 36 caras em 50 lançamentos? Com a hipótese de honestidade da moeda, o teorema central do limite nos diz que
A probabilidade de se obter 36 ou mais caras em 50 lançamentos é equivalente à probabilidade de X ser maior ou igual a 36/50 = 0, 72 e essa probabilidade é
Note que essa probabilidade é bastante pequena, ou seja, há uma pequena probabilidade de obtermos 36 ou mais caras em um lançamento de uma moeda honesta. Isso pode nos levar a suspeitar sobre a honestidade da moeda!
Atividade 5. O fabricante de uma lâmpada especial afirma que o seu produto tem vida média de 1.600 horas, com desvio padrão de 250 horas. O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricante. Qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1.650 horas?
Resumo da Aula
Nesta aula, foram estudadas propriedades da média amostral X. Ao final, você deverá ser capaz de
compreender perfeitamente os seguintes resultados:
- Dada uma aas (amostra aleatória simples com reposição) X1, X2,... ,Xn de uma população X com média μ e
variância σ^2 , a média amostral X é um estimador não-viesado de μ com variância igual à variância
populacional dividida pelo tamanho amostral n, isto é:
- O desvio padrão da distribuição amostral de qualquer estatística é usualmente chamado de erro padrão. Então, o erro padrão da média amostral é
- Nas condições anteriores e com a hipótese adicional de a população X ser normal, a distribuição amostral de
X também é normal, isto é:
- O teorema central do limite é um dos mais importantes teoremas da teoria inferencial. Ele nos dá informações sobre a distribuição amostral de X para amostras grandes de qualquer população. Mais precisamente, se X1, X2,... ,Xn é uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) = μ e
Var(X) = σ^2 , então a distribuição de X converge para a distribuição normal com média μ e variância σ^2 /n
quando n → ∞. Equivalentemente,
ou
Exercícios
- Uma amostra de tamanho n = 18 é extraída de uma população normal com média 15 e desvio padrão 2,5. Calcule a probabilidade de que a média amostral (a) esteja entre 14,5 e 16,0; (b) seja maior que 16,1.
(b)
(c)
2. Temos que X ∼ N(150; 13^2 ) e queremos determinar n para que Pr( X – μ)<6, 5) = 0, 95.
Atividade 5.
- Podemos aceitar que as 200 lâmpadas compradas sejam uma amostra aleatória simples da população referente às lâmpadas produzidas por esse fabricante. Como n = 100 é um tamanho suficientemente grande de amostra,
podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos diz que. Logo
Solução dos Exercícios
(a)
(b)
2. X ∼ N(512, 8; 100)
(a) Parada desnecessária: amostra indica que o processo está fora de controle ( X < 497 ou X > 520), quando, na
verdade, o processo está ajustado (μ = 512, 8). Neste caso, podemos usar a notação de probabilidade condicional para auxiliar na solução do exercício. Queremos calcular
(b) Agora queremos
(c)
(d)
- Parafusos pequenos: X < 8, 5, onde X é o comprimento do parafuso.
(a) X ∼ N(μ; 1). Como Pr(X < 8, 5) = 0, 05, resulta que 8,5 tem de ser menor que μ, ou seja, a abscissa 8, 5 − μ tem de estar no lado negativo da escala da normal padronizada.
(b) Parada desnecessária: amostra indica processo fora de controle ( X < 9), quando, na verdade, o processo está
sob controle (μ = 10, 14).
(c) Máquina desregulada: X > 9; processo operando sem ajuste: X ∼ N (9, 5; 1)
