Universidade Federal do Cear´a
Centro de Ciˆencias
Departamento de Computa¸c˜ao
Mestrado e Doutorado em Ciˆencia da Computa¸c˜ao
Constru¸c˜ao e An´alise de Algoritmos
Lista de exerc´ıcios 1
1. Prove as seguintes afirma¸c˜oes sobre nota¸c˜ao assint´otica:
•n3/100 −25n2−100n+ 7 ´e Ω(n2) e Θ(n3)
•77n3−13n2+ 29n−5 ´e O(n4) e Ω(n3)
•34n log7n2+ 13n´e Ω(n) e O(n2)
2. Resolva as seguintes equa¸c˜oes de recorrˆencia segundo o m´etodo da ´arvore de recurs˜ao:
•T(n)=2·T(n/3) + n
•T(n)=3·T(n/3) + n
•T(n)=4·T(n/3) + n
•T(n)=8·T(n/3) + n2
•T(n)=9·T(n/3) + n2
•T(n) = 10 ·T(n/3) + n2
•T(n) = T(0.99 ·n) + n
•T(n) = T(0.99 ·n) + 7
•T(n) = a·T(n1/a) + logb(n), onde aebs˜ao inteiros maiores que 1
3. O algoritmo do k-´esimo m´ınimo ainda seria Θ(n) se tom´assemos grup os de 3 elementos, ao inv´es de 5?
E se tom´assemos grupos de 7 elementos? Justifique usando o m´etodo da ´arvore de recurs˜ao.
4. Uma pessoa sobe uma escada composta de ndegraus, com passos que podem alcan¸car entre 1 e k≤n
degraus. Escrever equa¸c˜oes de recorrˆencia que permitem determinar o n´umero de modos distintos da pessoa
subir a escada.
5. Elabore um algoritmo para resolver o seguinte problema: dado um vetor com nn´umeros inteiros
positivos e um outro n´umero inteiro positivo x, determine se existem ou n˜ao dois elementos cuja soma ´e
igual a x(dica: divis˜ao e conquista).
6. Elabore um algoritmo O(n) de decomposi¸c˜ao de um vetor Sem trˆe subvetores. Esse algoritmo recebe
como entrada, al´em do vetor S, um valor piv pertencente a S, e os ´ındices per, 1 ≤p≤r. O algoritmo deve
rearrumar os elementos em S[p...r] e retornar dois ´ındices q1eq2satisfazendo as seguintes propriedades:
