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dos próximos capítulos. CAPÍTULO 1 Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente Neste capítulo serão tratados vários conceitos importantes referentes a circui- tos de corrente alternada em regime permanente, com grande aplicação ao longo do texto. Assim, o bom entendimento desses conceitos facilitará a compreensão do conteúdo 1.1 - Geração de Tensões Senoidais. Terminologia. Na área de Engenharia Elétrica é frequente e intenso o trabalho com tensões | ecorrentes alternadas senoidais. Sua utilização apresenta inúmeras vantagens técnicas e econômicas, dentre as quais destacam-se: facilidade de geração, facilidade de trans- missão e simplicidade de tratamento matemático. A obtenção de uma f.e.m. senoidal pode ser explicada com o auxílio de um gerador elementar no qual: a) uma bobina se move no interior de um campo magnético fixo; ou b) um campo magnético se movimenta e enlaça uma bobina estacionária. O gerador elementar de corrente alternada mostrado na Figura 1.1 é represen- Fig. 1.1 - Gerador elementar de c.a.. tativo do segundo caso. A bobina de terminais a - a”, cons- tituída de N espiras, está disposta na parte fixa do gerador, denominada estator. Uma bobina alimentada por corrente contínua, ou um imã permanente, proporciona o fluxo constante 9 e é a parte móvel, denominada rotor. Este gira à velocidade angular cons- tante q, no sentido indicado na Figura 1.1. Em cada instante, a posição do rotor é defi- nida pelo ângulo a, formado entre a reta que define a direção do fluxo e o eixo da bobina do estator. Sendo t o tempo transcorrido desde o instante inicial, o ângulo a passa a ser definido por: a=ut (1.1) 22 Circuitos Polifásicos De acordo com a Lei de Faraday, a movimentação do rotor vai provocar o surgimento de uma f.e.m. na bobina fixa, f.e.m. esta que varia no tempo e é expressa “por: do e=-N “dE (1.2) O fluxo 9, devido ao rotor, tem duas componentes, a saber: 1) 4 cosa, perpendicular ao plano que contém a bobina; 2) P sena, paralela ao plano que contém a bobina; esta componente não contribui para a indução da f.e.m. na bobina do estator porque não corta suas espiras. Partindo da Equação 1.2, a £e.m. induzida na bobina é obtida por: do d e=N "Ng (P cos a) = (1.3) = n£ (Deoswt)=NDwsenmt Como N, d,w são grandezas supostas constantes, pode-se englobá-las numa constante única fazendo E, = N & w. Portanto, é válido escrever: e=Emnsenwt=E,sena (1.4) À medida que o rotor gira, partindo de a = 0, os terminais a e a” da bobina tornam-se, alternadamente, positivo e negativo, um em relação ao outro. Re- sulta então a £e.m. cuja representação e = Emsen ot consta da Figura 1.2 e é chamada forma de onda (ou formato de onda) da f.e.m.. A curva é obtida pela colocação dos valores instantâneos e, da fee.m., no | i eixo das ordenadas, e correspondentes | er tie | Valores do tempo no eixo das abeissas. Em ” Observe-se que a abcissa pode ser expres- sa em função do tempo ou em função do deslocamento angular (radianos ou T- graus). Um ciclo, conjunto completo de valores positivos e negativos, ocorre em Fig. 1.2 - Forma de onda da f.e.m. induzida. 2x radianos ou 360 graus. Considere a senóide cujo ciclo está mostrado na Figura 1.2. Pode-se matema- ticamente representá-la por: e=Emsena=Emsenmt= 2x (1.5) = Em sen 21 ft = Em sen T t 24 Circuitos Polifásicos A diferença de fase entre dmg (tea) ofende (50 Ga por Imsen (wt+B) inici made Dias m tante inicial considerado. Diz-se, o-p para a figura citada, que a forma de ê onda v (t) está adiantada do ângulo Ft O em relação à i(t) ou, o que é o mesmo, a grandeza i (t) está atra- Tx sada do ângulo & em relação à v (t). L Existe atraso de certa grandeza al- ternada em relação a outra quando um determinado ponto em sua onda é alcançado depois de a outra já o ter F) alcançado. Em outras palavras: o máximo positivo da onda adiantada ocorre antes do máximo positivo da onda atrasada. vi EN ef ola Fig. 1.4 - Defasagem angular entre duas senói- des. Exemplo 1.1 Considere as seguintes grandezas senoidais: vi ()=1 sen (vt -20º) vs (t) = 2 sen (w t+ 10º) vs (é) = 2,5 sen (w é - 20º) Determine a diferença de fase entre as grandezas quando se toma: a) vi (t) como referência; b) vs (t) como referência. Solução a) Tomando-se a forma de onda vy (t) como referência, nota-se que a grandeza va (t) está adiantada de 30º em relação à vy (t), e vs (t) está em fase com vi (à). b) Tomando-se agora vz (t) como referência, pode-se ver que vi (t) ou vs (t) estão atrasadas de 30º em relação a vo (t). 1.2 - Valor Médio. Valor Eficaz. Neste livro, os elementos de circuito considerados são: resistência, indutância e capacitância, todos lineares. Em consegiência, às tensões senoidais aplicadas no circuito irão corresponder correntes também senoidais. Como lidar, então, com grande- zas que estão variando de instante a instante? Um critério inicial usado foi o valor de Corrente Alternada em Regime Permanente 25 médio de função. Esta idéia, entretanto, teve de ser descartada porque o valor médio da e ao longo de um cielo é zero. De fato, por definição, o valor médio de uma função uer, f (t), no intervalo entre ty e tz, é matematicamente expresso por: E médio “— ita dt (1.8) Se a função f (t) for periódica, de período T, a Equação 1.8 passa a ser: 17 médio =p f (0) dt (1.9) A aplicação da Equação 1.9 a uma senóide dará zero como resultado, o que padamente se poderia concluir pela análise da curva da senóide: em um ciclo pleto, a área acima do eixo das abeissas é exatamente igual e de sinal contrário à abaixo deste eixo, cancelando-se mutuamente. Na busca de outro critério que permitisse expressar a capacidade de transfe- iz de energia de uma função periódica, recorreu-se à lei de Joule. Uma corrente ua I percorrendo um resistor R dissipa a potência P = R I' watts. Se uma corrente al, i (8) fluir pelo mesmo resistor E, a potência instantânea dissipada é RP (t) watts, variando de instante a instante. Todavia, se se considera a potência eixo real Fig. 1.7 - Representação gráfica de fasor. Exemplo 1.2 Apresente o fasor da função: s(t) = 141,4 sen (w t + 50º) Solução 1414 ,eno já S= =» 150º - 100/50 Exemplo 1.3 Sabendo-se que a fregiência é de 60 Hz, obtenha a expressão da senóide cujo fasor é S = 200 /45º. Solução s(t) = |5| v2 sen (wt+45º) = 200v2 sen(2.7.f.t+45º) = = 282,2 sen (377 t + 45º) Exemplo 1.4 Obtenha a soma de três correntes senoidais que chegam a um nó de um circuito, expressas por: ij = 5V2 senwt 6v2 sen (w t + 30º) iz is = 8VE sen (mt - 90º) Apresente o diagrama fasorial correspondente. 30 Circuitos Polifásicos TABELA 1.1 ELEMENTO CASO GERAL EM REGIME C.aA. + A + 1 Resistor v R vz Ri V RV=RI (no) ed +L jwl V=jwlI Indutor v L val di (H) dt CAPACITOR |v l. vet ftid Cc =. Vv= I (p) ne me 1.4 - Impedância de Elementos Passivos. Os três elementos de circuitos, passivos, ideais, invariantes no tempo, lineares, bem como as leis que os regem, são apresentados na Tabela 1.1. 1.4.1 - Impedância Complexa Na prática, o resistor pode ser variável com a frequência; o indutor, por ser constituído de bobinas de cobre e núcleo ferromagnético, pode apresentar um modelo bastante complexo incluindo não linearidades; o capacitor não foge à regra porquanto, sendo composto por dielétrico entre placas, pode apresentar resistência de fuga. A modelagem dos elementos dos circuitos é variável em função da precisão desejada. Considerar-se-á ao longo do texto que os elementos dos circuitos são ideais, passivos, lineares e invariantes no tempo. Define-se impedância complexa de um circuito passivo, linear e invariante no tempo, em regime c.a., como =R+jX (1.18) Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente 81 onde R é a parte real de Z, conhecida por resistência; e X é a parte imaginária de Z, classicamente chamada de reatância. Desta forma, as impedâncias dos três elementos de circuitos apresentados na Tabela 1.1, válidos em regime c.a., à frequência f = Er são Resistor: Zp = R Indutor: Z, =j wL Capacitor: Zc = 55 A parte passiva das redes elétricas é obtida ligando-se os elementos recém descritos em série, em paralelo, ou em combinações dessas formas. Obtém-se assim as impedâncias de rede, as quais podem ser manipuladas de maneira semelhante à mani- pulação de resistências em circuitos c.c.. Exemplo 1.6 Calcule a impedância equivalente de uma rede na frequência de 60 Hz, quando se liga em série um resistor de 40 Q, um indutor de 100 mH e um capacitor de 100 F, conforme Figura 1.9. Solução = i ZR Z +o AMA nero Para: 5! pi! Nt o w=2.7.60=377rad, — o Fig. 1.9 - Vide exemplo 1.6. tem-se: Zr = 409 Z = j877.100.10º =;3770 E N 1 =-j— Lo = -;2659 “377.100. 10º Como os elementos estão ligados em série, temos: Z=Zr+Z1+Zc=40+;87,7-;26,5=40+;11,2=41,5/156º0 Exemplo 1.7 Se uma fonte senoidal de valor eficaz igual a 50 V é conectada aos terminais do circuito resultante do exemplo anterior, qual a corrente que fluirá pelos elementos do mesmo? Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente 33 Como: sen (wt -0)=senwt.cos0 -senO.cos mt senwt.coswt=IsenZwt 2wt=1 1 sen vt=5-5cos2wt pode-se escrever: p(t =Tadm cos6 — Fado (cos 8 cos2wt+senB sen2wt) (1.21) Substituindo nesta última equação a expressão entre parênteses por cos (2 q t — 0) obtém-se a expressão final para a potência instantânea: Val p(y)= dm cos - Jul 5” cos(2wt - 6) (1.22) A forma de onda de p (t) é mostrada na Figura 1.11.b. Cabem aqui algumas observações importantes a respeito da Equação 1.22 e respectiva curva: a) para determinado ângulo de defasagem entre v e i, no caso, 0, a expressão da potência instantânea apresenta uma componente constante e outra variando no tempo com fregiiência igual a duas vezes a freqiiência das senóides em questão; vii) 4 b) a curva de p (t) na Figura i(t) v 1.11.b apresenta valores negativos i nos trechos em que v e i possuem sinais contrários, indicando devolu- ção de potência do circuito B para a fonte (circuito A), durante esses in- wt tervalos. Quanto maior for 6, maior V, será a extensão de trecho negativo; se o O diminuir, o trecho negativo dimi- nuirá. Quando 0 = 0, a curva de p (t) apresenta-se totalmente acima do (a) eixo das abcissas, sem trechos nega- tivos, indicando circuito puramente resistivo. Quando 0 = Z, a curva da po- plt) tência instantânea mostrará áreas positivas exatamente iguais às áreas negativas, cancelando-se mutuamen- te e evidenciando que não há consu- A mo de potência no circuito. wt c) o ângulo de defasagem b entre a tensão e a corrente (0, no caso) (b) é devido aos parâmetros do circuito Fig. 1.11 - Formas de onda dev (t),i (ep (t). (R,L,C)e varia de -õ a+ > 34 Circuitos Polifásicos Como o valor da potência instantânea muda a todo momento, é mais conveniente trabalhar com seu valor médio. Já que se trata de uma função periódica, seu valor médio ao longo de um ciclo será obtido por: T nero cos O dt - fe cos (2 1-0) de) Como fa Im cos? wt-— 0) dt=0, resulta para a potência média a expressão: Vm 1 Vm Im Prédia = E 2 cos O = RR vã es 0 = VIcos0 (1.283) Este resultado tem um importante significado físico porquanto representa a taxa de variação média de energia que flui da rede A para a rede B. Essa potência, denominada Potência Ativa, representa efetivamente a taxa de energia consumida no circuito. Exemplo 1.8 Certa tensão, expressa por v = 180 sen(377 t + 20º) V, é aplicada a um circuito, provocando a circulação de uma corrente identificada por i = 12,3 sen (377t - 24º) A. Qual é a potência média solicitada pelo circuito? Solução Comparando-se v e i, conclui-se que o ângulo de defasagem é igual a 0=20+ 24 = 44º, Portanto, tem-se: Vw 180 Veg = 12728 V In 128 1-5 "B6A P=VIcos44º = 795,64 W 1.6 - Potência Complexa Usando-se agora os fasores V=V/ae]=I/f define-se como potência complexa que flui da rede A para a rede B (vide figura 1.10), o produto SAVT (1.24) onde T' é o complexo conjugado de T. Assim: S=VT=V/al/-B=VI/a-p=VI/o (1.25) A magnitude de S é denominada potência aparente: |S|=S=VI (1.26) 36 Circuitos Polifásicos virtude da sobrecarga a ele imposta. Tudo se passa como no caso do copo de cerveja: o aumento da espuma implica em menor volume para o líquido; e vice-versa. Exemplo 1.9 Calcule a potência complexa correspondente ao circuito mostrado na Figura 1.13. 100 sn BAVAVAVAVA Va 2 OO 10010" ZN 0 Fig. 1.13 - Vide exemplo 1.9. Solução Z=10+;(8-10)=10-;2=10,2/-11,31º 100 /0º D-To2/- 03” 9,8 /(11,81º S=V.T=100/0º.9,8/-11,31º=980/-11,31º=961-; 192 VA O sinal negativo da potência reativa caracteriza carga predominantemente capacitiva (fornecedora de energia reativa). 1.7 - Fator de Potência Considere na Figura 1.10 que a rede A seja ativa e a rede B passiva. Neste caso, é mais conveniente representar a rede passiva por sua impedância equivalente: (1.28) onde 4 é também a fase da impedância Z. Observe que este ângulo é o mesmo da expressão 1.27. Define-se fator de potência como o quociente da potência ativa pela potência aparente. Ou seja: Potência ativa Fator de potência (FP) = Potência Aparente O fator de potência é igual ao co-seno do ângulo 4. No chamado triângulo de potências, visto na Figura 1.14, está assinalado o ângulo 4.. Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente 37 Q (Potência Reativa) Exemplo 1.10 Exemplo 1.11 Solução P (Potência Ativa) Fig. 1.14 - Triângulo de Potências. Deseja-se ampliar certa indústria e para isso é necessário instalar um motor de 100 kW e fator de potência igual a 0,5. Para alimentar tal motor é preciso um transformador de, no mínimo, 100/0,5 kVA, ou seja, 200 kVA de capacidade. A fiação também deverá ser adequada a atender 200 kVA. Melhorando-se o fator de potência da instalação para 1,0, serão neces- sários somente 100 kVA (valor resultande de 100/1). Adicionalmente, a fiação poderá, neste caso, ter seção mais reduzida. O fator de potência pode ser indutivo (atrasado) se a carga for indutiva, ou seja, apresentar a corrente atrasada em relação à tensão. Ele será capacitivo (adiantado) se a carga for capacitiva, ou seja, a corrente estiver adiantada em relação à tensão. Ele é puramente resistivo se a corrente estiver em fase com a tensão. O fator de potência de uma instalação pode ser melhorado pela intro- dução de compensadores síncronos ou pelo uso de capacitores (caso em que a instalação é muito indutiva). Suponha uma instalação na qual P = 100 kW, Q = 125 kVAr e S = 160 kVA. Para melhorar o fator de potência instalou-se um motor síncrono super-excitado (capacitivo) de 100 CV, £.p.= 0,8, rendimento igual a 92% à plena carga. Determine o fator de potência resultante. Antes da ligação do motor síncrono o fator de potência é igual a 100/160 = 0,62. O motor síncrono apresenta: = 100.736 P = 5592.1000 * 804W 80 087 100 kVA Q=V1002- 802 = 60 kVAr (capacitivo) Os triângulos de potências correspondentes estão representados na Figura Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente 39 PROBLEMAS 1.1 - Determine o valor médio e o valor eficaz da forma de onda denominada "dente de serra", mostrada na Figura 1.P.1. -y et 37 Fig. L.P.1 - Vide problema 1.1. 1.2 - Obtenha o valor médio e o valor eficaz da forma de onda representada na Figura 1.P.2. IM (o) T/2 T 3/27 27 5/27 + Fig. L.P.2 - Vide problema 1.2. 1.3 - Em certo circuito chegam a um nó as correntes relacionadas a seguir: 1, = 3/0º 1 = 12º 1 = 13/-120º Obtenha a corrente que se afasta desse nó. 40 Circuitos Polifásicos 1.4 - Conhecidos: X=20 +20 Y=30/-10º Z=5 obtenha: )X+Y+Z b) E+WZ JKRYZ 1.5 - Sendo dados: B=12 C=2+;3 D=15/-65º E=1-j4 F=4e* obtenha: a. BO-DE FC-E 1.6 - Determinado motor de indução monofásico solicita 2.238 W com fator de potência igual a 0,92. Ele é atendido por um gerador cuja tensão é de 50 V. Pede-se: a) o valor da corrente solicitada pelo motor; b) o triângulo de potências. 1.7 - Três motores de indução monofásicos, idênticos, encontram-se ligados em paralelo. Cada motor solicita 3.730 W e apresenta fator de potência igual a 0,88. A tensão de suprimento é de 100 V. Qual é a potência (kVA) do gerador adequado a atendê-los? Apresente o correspondente triângulo de potências. 1.8 - Certo aquecedor elétrico de água absorve 2,2 kW com fator de potência unitário e está ligado em paralelo com um motor de indução monofásico que solicita 1,75 kW e tem fator de potência igual a 0,82. A tensão de suprimento é de 110 V. Qual é o fator de potência da instalação? 
